Geometría no euclidiana

Tal vez fue este deseo de comprensión conceptual lo que hizo a Gauss reacio a publicar, el hecho de que más y más «dudara de la verdad de la geometría», como él decía. Pues si hubiera una geometría lógicamente consistente que difiere de la de Euclides sólo porque hace un supuesto diferente sobre el comportamiento de las líneas paralelas, también podría aplicarse al espacio físico, y así la verdad de la geometría (euclidiana) ya no se podría asegurar a priori, como había pensado Kant.

Las investigaciones de Gauss sobre la nueva geometría llegaron más lejos de lo que cualquier otra persona pudiera lograr, pero él no las publicó. El honor de ser los primeros en proclamar la existencia de una nueva geometría pertenece a otros dos  matemáticos, que lo hicieron a finales de la década de 1820: Nicolay Ivanovich Lobachevsky en Rusia y János Bolyai en Hungría. Debido a que las similitudes en el trabajo de estos dos hombres son muy superiores a las diferencias, es conveniente describir su trabajo simultáneamente.

Lobachevsky

János Bolyai

Los dos hombres hicieron una suposición sobre líneas paralelas que difería de la de Euclides y procedieron a extraer sus consecuencias. Esta forma de trabajar no puede garantizar la consistencia de los hallazgos de uno u otro, por lo que, en sentido estricto, no pudieron demostrar la existencia de una nueva geometría de esta manera. Ambos describieron un espacio tridimensional diferente del espacio euclidiano apoyando sus hallazgos en el idioma de la trigonometría. Las fórmulas que obtuvieron fueron análogos exactos de las fórmulas que describen a triángulos dibujados en la superficie de una esfera, con las funciones trigonométricas habituales sustituidas por las de la trigonometría hiperbólica. Las funciones coseno hiperbólico, escrito cosh, y seno hiperbólico,  escrito sinh, se definen como sigue:

Se llaman hiperbólicas debido a su uso en la descripción de la hipérbola. Sus nombres se derivan de la evidente analogía con las funciones trigonométricas, que Euler demostró satisfacen estas ecuaciones:

Los dos hombres observaron que se había convertido en una cuestión empírica determinar la naturaleza del espacio; Lobachevsky, incluso llegó tan lejos como para llevar a cabo observaciones astronómicas, aunque éstas no fueron concluyentes.

El trabajo de Bolyai y Lobachevsky fue mal recibido. Gauss respaldó lo que habían hecho, pero con tal discreción que la mayoría de los matemáticos no averiguaron su verdadera opinión sobre el tema hasta que murió. El principal obstáculo que enfrentó cada uno fue sin duda la naturaleza impactante de su descubrimiento. Era más fácil, y en consonancia con 2.000 años de tradición, continuar creyendo que la geometría euclidiana era correcta, y que Bolyai y Lobachevsky había ido a alguna parte por mal camino, al igual que muchos un investigador delante de ellos.

El giro hacia la aceptación se produjo en la década de 1860, después de que Bolyai y Lobachevsky habían muerto. El matemático italiano Eugenio Beltrami decidió investigar el trabajo de Lobachevsky para ubicarlo, si eraposible, en el contexto de la geometría diferencial como había sido redefinida por Gauss. Por lo tanto, se movió independientemente en la dirección ya tomada por Bernhard Riemann. Beltrami investigó la superficie de curvatura negativa constante y encontró que en una superficie tal los triángulos obedecen las fórmulas de la trigonometría hiperbólica que Lobachevsky había descubierto apropiadas a su forma de geometría no euclidiana. Por lo tanto, Beltrami dio la primera descripción rigurosa de una geometría distinta de la de Euclides. La perspectiva  de Beltrami sobre la superficie de curvatura negativa constante era ingeniosa. Dijo que era una superficie abstracta que podía describirse mediante la elaboración de mapas, tanto como se podía describir una esfera por medio de las páginas de un atlas geográfico. No afirmaba haber construido la superficie incrustada en el espacio euclidiano bidimensional; David Hilbert más tarde mostró que no se podía hacer.

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Carl Friedrich Gauss

Una manera conveniente para evaluar la situación de la matemática en el siglo XIX es mirar la carrera de su máximo exponente, Carl Friedrich Gauss, el último hombre en ser llamado el «Príncipe de la Matemática.» En 1801, el mismo año en que publicó su Disquisitiones Arithmeticae, redescubrió el asteroide Ceres (que había desaparecido detrás del Sol poco después de que fuera descubierto por primera vez y antes de que su órbita se conozca con precisión). Él fue el primero en hacer un buen análisis del método de los mínimos cuadrados en el análisis de datos estadísticos. Gauss realizó un importante trabajo en la teoría del potencial y, con el físico alemán Wilhelm Weber, construyó el primer telégrafo eléctrico. Él ayudó a llevar a cabo la primera investigación del campo magnético de la Tierra e hizo tanto trabajo teórico como de campo en cartografía y topografía. Fue un gran pensador que casi sin ayuda abrazó el mundo de la ciencia y el mundo de la matemática. Es su trabajo puramente matemático, sin embargo, lo que en su tiempo fue -y desde entonces ha sido- considerado como la mejor prueba de su genio.

Gauss

Los escritos de Gauss transformaron la teoría de números. Más notables son sus extensos escritos, que datan de 1797 a la década de 1820 pero aún no publicados hasta su muerte, sobre la teoría de las funciones elípticas. En 1827 publicó su descubrimiento crucial acerca de que la curvatura de una superficie puede definirse intrínsecamente, es decir, únicamente en términos de propiedades definidas en la superficie y sin hacer referencia al espacio euclidiano circundante. Este resultado iba a ser decisivo en la aceptación de la geometría no euclidiana. Todo el trabajo de Gauss muestra una preocupación aguda por el rigor y la negatividad de confiar en la intuición o la analogía física, que debía servir de inspiración a sus sucesores. Su énfasis en el logro de una comprensión conceptual completa, que puede haber dado lugar al disgusto de publicar, no fue en absoluto el menos influyente de sus logros.

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Teoría de las ecuaciones

Otro de los temas que se transformó en el siglo XIX fue la teoría de ecuaciones. Desde que Tartaglia y Ferrari en el siglo XVI encontraron reglas que permiten solucionar ecuaciones de tercer y cuarto grado en términos de los coeficientes de las ecuaciones, se habían buscado fórmulas, sin éxito, para las ecuaciones de quinto grado y de más altos grados. Estaba en juego la existencia de una fórmula que expresara las raíces de una ecuación de quinto grado en términos de los coeficientes. Esta fórmula, por otra parte, debía involucrar sólo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, junto con la extracción de raíces, ya que eso era todo lo que había sido requerido para la solución de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y de grado cuatro. Si una fórmula de este tipo existiera, diríamos entonces que la ecuación de quinto grado es resoluble por radicales.

En 1770 Lagrange analizó todos los métodos exitosos que conocía para las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado en un intento de ver por qué funcionaban y cómo podrían ser generalizados. Su análisis del problema en términos de permutaciones de las raíces era prometedor, pero se hizo más y más dudoso a medida que pasaron los años que su línea de ataque podría ser llevada a cabo. La primera prueba válida que la de ecuación quinto grado no es soluble por radicales se ofreció sólo después de su muerte, en un sorprendentemente breve documento de Niels Henrik Abel, escrito en 1824.

Abel también mostró por ejemplo que algunas ecuaciones de quinto grado eran resolubles por radicales y que algunas ecuaciones se podían resolver de forma inesperadamente fácil. Por ejemplo, la ecuación tiene una raíz , pero los cuatro raíces restantes se encuentran justo mediante la extracción de raíces cuadradas, no con raíces cuartas como era de esperar. Por lo tanto, planteó la pregunta «¿Qué ecuaciones de grado mayor que cuatro son resolubles por radicales?»

Abel murió en 1829 a los 26 años de edad y no resolvió el problema que había planteado. Casi al mismo tiempo, sin embargo, el prodigio asombroso de Evariste Galois irrumpió en la escena matemática parisina. Presentó un relato de su novedosa teoría de ecuaciones a la Academia de Ciencias en 1829, pero el manuscrito se perdió. Una segunda versión también se perdió y no se encontró entre los papeles de Fourier cuando Fourier, secretario de la academia, murió en 1830. Galois murió en un duelo en 1832, a la edad de 20 años, y no fue hasta que se publicaron sus artículos en el Diario de Matemática de Joseph Liouville en 1846 que su trabajo comenzó a recibir la atención que merecía. Su teoría finalmente hizo la teoría de ecuaciones en una mera parte de la teoría de grupos. Galois hizo hincapié en el grupo (como él lo llamaba) de permutaciones de las raíces de una ecuación. Este movimiento lo alejó de las ecuaciones mismas y lo desvió en su lugar hacia el estudio marcadamente más manejable de las permutaciones. A cualquier ecuación dada le corresponde un grupo definido, con una colección definida de subgrupos. Para explicar cuáles ecuaciones eran resolubles por radicales y cuáles no, Galois analizó las formas en que estos subgrupos se relacionan entre sí: las ecuaciones que podían resolverse dieron lugar a lo que ahora se llama una cadena de subgrupos normales con cocientes cíclicos. Esta condición técnica hace que sea claro cómo los matemáticos ahora habían traspasado las preguntas familiares de la matemática del siglo XVIII, y marca una característica de transición a  la matemática moderna: la sustitución del cálculo formal por el análisis conceptual. Este es un lujo al alcance del matemático puro que el matemático aplicado no siempre puede permitirse  frente a un problema concreto.

De acuerdo con esta teoría, un grupo es un conjunto de objetos que se pueden combinar de a pares de tal manera que el objeto resultante está también en el conjunto. Por otra parte, esta forma de combinación tiene que obedecer las siguientes reglas (en este caso los objetos del grupo se denotan con , , etc., y la combinación de  y  se escribe ):

• Hay un elemento  tal que para cada elemento en el grupo. Este elemento se denomina el elemento identidad del grupo.
• Para cada elemento existe un elemento, escrito , con la propiedad de que . El elemento se llama el inverso de .
• Para cada , y en el grupo, se cumple la ley asociativa: .

Los ejemplos de grupos incluyen los números enteros con interpretados como la adición, y los números racionales positivos con interpretado como la multiplicación. Una propiedad importante compartida por algunos grupos pero no todos es  la conmutatividad: para cada elemento y , . Las rotaciones de un objeto en el plano alrededor de un punto fijo forman un grupo conmutativo, pero las rotaciones de un objeto de tres dimensiones alrededor de un punto fijo forman un grupo no conmutativo.

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