Algoritmos para Áreas y Volúmenes en China

Los Nueve Capítulos ofrecen fórmulas para figuras elementales planas y sólidas, incluyendo las áreas de triángulos, rectángulos, trapecios, círculos y segmentos de círculos, y volúmenes de prismas, cilindros, pirámides y esferas. Todas estas fórmulas se expresan como listas de operaciones a realizar en los datos para obtener el resultado, es decir, como algoritmos. Por ejemplo, para calcular el área de un círculo, se da el siguiente algoritmo: «multiplique el diámetro por sí mismo, triplique esto, divida por cuatro». Este algoritmo equivale a usar como el valor de . Los comentaristas agregaron valores mejorados para junto con algunas derivaciones. El comentario atribuido a Liu Hui calcula otras dos aproximaciones para , una ligeramente baja (157/50) y otra alta (3,927/1,250). Los Nueve Capítulos también proporcionan la fórmula correcta para el área del círculo: «multiplicando la mitad del diámetro y la mitad de la circunferencia, se obtiene el área», que Liu Hui demostró.

Diagrama de la desigualdad de Liu Hui para el número pi.

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La aritmética de fracciones en China

La división es una operación central en Los Nueve Capítulos. Las fracciones se definen como parte del resultado de una división, el resto del dividendo se toma como numerador y el divisor como denominador. Así, dividiendo 17 por 5, se obtiene un cociente de 3 y un resto de 2. Esto da lugar a la cantidad mezclada 3 + 2/5. Las partes fraccionarias son siempre inferiores a uno, y su aritmética se describe mediante el uso de la división. Por ejemplo, para obtener la suma de un conjunto de fracciones, se ordena lo siguiente

Multiplicar los numeradores por los denominadores que no corresponden a ellos, añadir para obtener el dividendo. Multiplicar los denominadores todos juntos para obtener el divisor. Realizar la división. Si hay un resto, indicarlo con el divisor.

Este algoritmo corresponde a la fórmula moderna

La suma de un conjunto de fracciones es en sí misma el resultado de una división, de la forma «número entero más fracción propia». Todas las operaciones aritméticas que implican fracciones se describen de manera similar.

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El Gran Período Temprano Chino, Siglos I-VII

Los libros escritos en China desde el siglo I a.C. hasta el siglo VII d.C. (y también en el siglo XIII) formaron la base para el desarrollo de la matemática en Asia Oriental. La mayoría de las obras matemáticas posteriores se refieren a ellos. Las referencias encontradas en los escritos matemáticos sobrevivientes de este período, así como las referencias hechas en bibliografías compiladas para los anales dinásticos, indican que hay muchas lagunas en el registro textual. Las obras existentes más antiguas probablemente sobrevivieron porque se convirtieron en libros oficiales, enseñados en el contexto del sistema de examen civil chino.

Los Nueve Capítulos

Los Nueve Capítulos presuponen conocimientos matemáticos sobre cómo representar números y cómo realizar las cuatro operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división. En él los números se escriben en caracteres chinos, pero, para la mayor parte de los procedimientos descritos, los cálculos reales se piensan para ser realizados en una superficie, quizás en la tierra. Muy probablemente, como se deduce de relatos posteriores, en esta superficie, o tablero de conteo, los números fueron representados por barras de conteo que se usaron de acuerdo con un sistema posicional decimal. Los números representados por barras de conteo se podían mover y modificar dentro de un cálculo. Sin embargo, no se registraron cálculos escritos hasta mucho más tarde. Como se verá, el establecimiento de los cálculos con barras de conteo influyó grandemente en los desarrollos matemáticos posteriores.

Los Nueve Capítulos contienen una serie de logros matemáticos, ya en una forma madura, que fueron presentados por la mayoría de los libros posteriores sin cambios sustanciales. Los logros más importantes se describirán brevemente en la próxima entrada.

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