El método axiomático

Quizás la contribución más importante a los fundamentos de la matemática hecha por los antiguos griegos fue el método axiomático y la noción de demostración. Esto fue enfatizado en la Academia de Platón y alcanzó su punto más alto en Alejandría alrededor del año 300 a.C. con los Elementos de Euclides. Esta noción sobrevive hoy, excepto por algunos cambios cosméticos.

La idea es ésta: hay una serie de verdades matemáticas básicas, llamadas axiomas o postulados, de las cuales se pueden derivar otras afirmaciones verdaderas en un número finito de pasos. Puede ser necesario un considerable ingenio para descubrir una demostración. Pero ahora se sostiene que debe ser posible comprobar mecánicamente, paso a paso, si una pretendida prueba es realmente correcta, y hoy en día una computadora debe ser capaz de hacer esto. Los enunciados matemáticos que se pueden probar son llamados teoremas, y se deduce que, en principio, un dispositivo mecánico, como un ordenador moderno, puede generar todos los teoremas.

Dos preguntas sobre el método axiomático fueron dejadas sin respuesta por los antiguos: ¿son todas las verdades matemáticas axiomas o teoremas? (esto se conoce como completitud), y ¿se puede determinar mecánicamente si una determinada afirmación es un teorema? (esto se llama decibilidad). Estas preguntas fueron planteadas implícitamente por David Hilbert (1862-1943) alrededor del 1900 y fueron resueltas más tarde por la negativa: la completitud en manos del lógico austro-americano Kurt Gödel (1906-1978) y la decibilidad en manos del lógico estadounidense Alonzo Church (1903-95) .

El trabajo de Euclides se ocupaba de teoría de números y geometría, esencialmente toda la matemática entonces conocida. Desde mediados del siglo XX, un grupo gradualmente cambiante de matemáticos en su mayoría franceses bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki ha tratado de emular a Euclides en la escritura de un nuevo Elementos de Matemática basado en su teoría de las estructuras. Desafortunadamente, apenas esbozaron las nuevas ideas de la teoría de la categoría.

 

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Ideas Platónicas: Universales

El filósofo ateniense Platón creía que las entidades matemáticas no son sólo invenciones humanas, sino que tienen una existencia real. Por ejemplo, según Platón, el número es un objeto ideal. Esto a veces se llama una «idea», del griego eide, o «universal», del latín universales, que significa «lo que pertenece a todos». Pero Platón no tenía en mente una «imagen mental», como se utiliza generalmente «idea». El número se distingue de una colección de dos piedras o dos manzanas o, en este caso, dos bolas de platino en París.

Platón

¿Cuáles son, entonces, estas ideas platónicas? Ya en la antigua Alejandría algunas personas especulaban que son palabras. Esta es la razón por la cual la palabra griega logos, que originalmente significaba «palabra», adquirió más tarde un significado teológico que denota la realidad última detrás de la «cosa». Un intenso debate se produjo en la Edad Media sobre el estatus ontológico de los universales. Tres puntos de vista dominantes prevalecieron: el realismo, del latín res («cosa»), que afirma que los universales tienen una realidad extra-mental, es decir, que existen independientemente de la percepción; el conceptualismo, que afirma que los universales existen como entidades dentro de la mente pero que no tienen ninguna existencia extra-mental; y el nominalismo, del latín nomen («nombre»), que afirma que los universales no existen ni en la mente ni en el reino extra-mental, sino que son meramente nombres que se refieren a colecciones de objetos individuales.

Parecería que Platón creía en una noción de verdad independiente de la mente humana. En el Menón de Platón, Sócrates afirma que es posible conocer esta verdad mediante un proceso similar a la recuperación de la memoria. Así, mediante un inteligente cuestionamiento, Sócrates logró guiar a una persona sin educación para «recordar», o más bien para reconstruir, la prueba de un teorema matemático. He aquí la situación…

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Paradoja de Zenón

Otra disputa entre los filósofos pre-socráticos estaba más relacionada con el mundo físico. Parménides afirmó que en el mundo real no hay tal cosa como el cambio y que el flujo de tiempo es una ilusión, una visión con paralelos en el modelo espacio-temporal de cuatro dimensiones del universo de Einstein-Minkowski. Heráclito, por otra parte, afirmaba que el cambio es omnipresente y se dice que ha dicho que uno no puede entrar en el mismo río dos veces.

Zenón de Elea, seguidor de Parménides, afirmaba que el cambio es realmente imposible y produjo cuatro paradojas para demostrarlo. La más famosa de estas describe una carrera entre Aquiles y una tortuga. Puesto que Aquiles puede correr mucho más rápido que la tortuga, digamos dos veces más rápido, se le permite a la tortuga una ventaja de una milla. Cuando Aquiles haya corrido una milla, la tortuga habrá vuelto a correr media distancia, es decir, media milla. Cuando Aquiles haya cubierto esa media milla adicional, la tortuga habrá recorrido otro cuarto de milla. Después de etapas, Aquiles ha corrido

millas y la tortuga ha corrido

millas, estando millas adelante. Entonces, ¿cómo puede Aquiles alcanzar a la tortuga?

Las paradojas de Zenón también pueden interpretarse como mostrando que el espacio y el tiempo no están compuestos de átomos discretos, sino que son sustancias infinitamente divisibles. Matemáticamente hablando, su argumento implica la suma de la progresión geométrica infinita

ninguna suma parcial finita de la cual suma . Como diría más tarde Aristóteles, esta progresión es sólo potencialmente infinita. Ahora se comprende que Zenón estaba tratando de enfrentarse a la noción de límite, que no se explicó formalmente hasta el siglo XIX, aunque el enciclopedista francés Jean Le Rond d’Alembert (1717 – 1783) había iniciado algunos avances.

 

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