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Archive for 24/03/17

Los matemáticos han estudiado durante mucho tiempo la base lógica y filosófica de la matemática, incluyendo si los axiomas de un sistema dado aseguran su completitud y su consistencia. Debido a que la matemática ha servido de modelo para la investigación racional en Occidente y se utiliza ampliamente en ciencias, los estudios sobre sus fundamentos tienen consecuencias extremas para la fiabilidad y extensibilidad del mismo pensamiento racional.

Una notable cantidad de matemática práctica, alguna de ella incluso bastante sofisticada, ya había sido desarrollada en el año 2000 a.C. por las civilizaciones agrícolas de Egipto y Mesopotamia, y tal vez incluso más al este. Sin embargo, los primeros que mostraron interés por los fundamentos de la matemática fueron los antiguos griegos.

La filosofía griega temprana estaba dominada por una disputa sobre cuál es más básica, ¿la aritmética o la geometría?, y por lo tanto, si la matemática debería preocuparse principalmente de los enteros (positivos) o de los reales (positivos), siendo estos últimos concebidos como proporciones de cantidades geométricas. (Los griegos se confinaron a los números positivos, ya que los números negativos fueron introducidos mucho más tarde en la India por Brahmagupta). Subyacente a esta disputa se percibía una dicotomía básica, no confinada a la matemática pero que impregnaba toda la naturaleza: ¿está el universo compuesto de átomos discretos (como creía el filósofo Demócrito), que por lo tanto pueden ser contados, o consta de una o más sustancias continuas (como se cree que creía Tales de Mileto) y, por lo tanto, sólo puede medirse? Como señaló más tarde Aristóteles, en un esfuerzo por mediar entre estas posiciones divergentes, el agua se puede medir contando tazas.

La escuela pitagórica de matemática, fundada en las doctrinas del filósofo griego Pitágoras, insistía originalmente en que sólo existen números naturales y racionales. Sus miembros aceptaron a regañadientes el descubrimiento de que \sqrt{2}, la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado, no podía expresarse como una razón de números enteros. La prueba notable de este hecho ha sido preservada por Aristóteles.

La contradicción entre los racionales y los reales fue finalmente resuelta por Eudoxo de Cnido, discípulo de Platón, quien señaló que dos razones de cantidades geométricas son iguales si y sólo si comparten el conjunto de racionales (positivos) de la misma manera, anticipándose así al matemático alemán Richard Dedekind (1831-1916), que definió los números reales como tales particiones.

La próxima vez reseñaré otra gran disputa de la época.

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