El cálculo reabre cuestiones fundamentales

Aunque la matemática floreció después de finalizar el período clásico griego durante 800 años en Alejandría y, después de un interludio en la India y el mundo islámico, de nuevo en la Europa renacentista, las cuestiones filosóficas acerca de los fundamentos de la matemática no se plantearon hasta la invención del cálculo y no por matemáticos sino por el filósofo George Berkeley (1685-1753).

George Berkeley

Sir Isaac Newton en Inglaterra y Gottfried Wilhelm Leibniz en Alemania habían desarrollado independientemente el cálculo sobre la base de reglas heurísticas y métodos marcadamente deficientes en cuanto a justificación lógica. Como es el caso en muchos nuevos desarrollos, la utilidad sobrepasaba el rigor y, aunque las fluxiones (o derivadas) de Newton y los infinitesimales (o diferenciales) de Leibniz carecían de una explicación racional coherente, su poder para responder a preguntas hasta ahora incontrovertibles era innegable. A diferencia de Newton, que hizo poco esfuerzo por explicar y justificar las fluxiones, Leibniz, como un filósofo eminente y muy considerado, influyó en la propagación de la idea de los infinitesimales, que describió como números reales infinitamente pequeños, es decir, menores a  en valor absoluto para cada entero positivo y sin embargo no iguales a cero. Berkeley, preocupado por las implicaciones deterministas y ateas del mecanismo filosófico, se propuso revelar ciertas contradicciones en el cálculo en su influyente libro The Analyst; or, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. Allí escribió mordazmente sobre estas fluxiones e infinitesimales: «No son ni cantidades finitas, ni cantidades infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No los llamamos los fantasmas de las cantidades que se han ido?» Y preguntó: «Los matemáticos, que son tan delicados en los puntos religiosos, ¿son estrictamente escrupulosos en su propia ciencia? Si no se someten a la autoridad, toman las cosas por confianza, y creen en puntos inconcebibles? «

La crítica de Berkeley no se tuvo completamente en cuenta hasta el siglo XIX, cuando se comprendió que, en la expresión , y no necesitaban llevar una existencia independiente. Más bien, esta expresión podía definirse como el límite de las razones ordinarias  cuando  se aproxima a cero sin nunca ser cero. Por otra parte, la noción de límite se explicó entonces con bastante rigor, en respuesta a pensadores como Zenón y Berkeley.

No fue hasta mediados del siglo XX que el lógico Abraham Robinson (1918-1974) demostró que la noción de infinitesimal era en realidad lógicamente consistente y que, por lo tanto, los infinitesimales podían ser introducidos como nuevos tipos de números. Esto condujo a una forma novedosa de presentar el cálculo, llamado análisis no estándar que, sin embargo, no ha llegado a ser tan extenso e influyente como podría serlo.

Abraham Robinson

El argumento de Robinson era éste: si las suposiciones detrás de la existencia de un infinitesimal  condujeron a una contradicción, entonces esta contradicción debería ser obtenible de un conjunto finito de estas suposiciones, digamos de:

Pero este conjunto finito es consistente, como se ve tomando .

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