Una serie de matemáticos del siglo XIX encontró fallas en el programa de reducción de la matemática a la aritmética y la teoría de conjuntos, como sugiere la obra de Cantor y Frege. En particular, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) se opuso a las construcciones impredicativas, que construyen una entidad de cierto tipo en términos de entidades del mismo tipo o de tipo superior, es decir, construcciones y definiciones auto-referenciadas.
Henri Poincaré
Parecía que para hacer un análisis ordinario se requerían construcciones impredicativas. Russell y Whitehead intentaron infructuosamente basar la matemática en una teoría de tipo predicativo.
B. Russell y A. N. Whitehead
Pero, aunque renuentes, tuvieron que introducir un axioma adicional, el axioma de la reducibilidad, que lograba alcanzar el objetivo después de todo. Más recientemente, el lógico sueco Per Martin-Löf presentó una nueva teoría de tipo predicativo, pero nadie afirma que sea adecuada para todo el análisis clásico. Sin embargo, el matemático alemán-americano Hermann Weyl (1885-1955) y el matemático estadounidense Solomon Feferman demostraron que argumentos impredicativos como los anteriores pueden ser evitados y no son necesarios para la mayoría, o incluso para todo el análisis. Por otro lado, como lo señaló el científico italiano Giuseppe Longo (1941-), las construcciones impredicativas son extremadamente útiles en informática, es decir, para producir puntos fijos (entidades que permanecen sin cambios en un proceso dado).
Per Martin-Löf
Hermann Weyl
Solomon Feferman
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