El descubrimiento de Bertrand Russell de una contradicción oculta en el intento de Friedrich Frege de formalizar la teoría de conjuntos hizo que algunos matemáticos se preguntaran cómo podía asegurarse de que no existían otras contradicciones. El programa de Hilbert, llamado formalismo, debía concentrarse en el lenguaje formal de la matemática y estudiar su sintaxis. En particular, la consistencia de la matemática, que puede ser tomada, por ejemplo, como la afirmación metamatemática de que la afirmación matemática 0 = 1 no es demostrable, debía ser demostrable dentro de la sintaxis de la matemática. Este proyecto de formalización sólo tenía sentido si la sintaxis de la matemática era consistente, pues de lo contrario toda afirmación sintáctica sería demostrable, incluso aquella que afirma la consistencia de la matemática.
Desafortunadamente, una consecuencia del teorema de incompletitud de Gödel es que la consistencia de la matemática puede ser probada solamente en un lenguaje que es más fuerte que el lenguaje de la matemática misma. Sin embargo, el formalismo no está muerto -de hecho, la mayoría de los matemáticos puros son formalistas tácitos- pero el intento ingenuo de probar la consistencia de la matemática en un sistema más débil tuvo que ser abandonado.
Aunque nadie, excepto un intuicionista extremista, negará la importancia del lenguaje de la matemática, la mayoría de los matemáticos son también filosóficos realistas que creen que las palabras de este lenguaje denotan entidades en el mundo real. Siguiendo al matemático suizo Paul Bernays (1888-1977), esta posición también se llama platonismo, ya que Platón creía que las entidades matemáticas realmente existen.
Paul Isaac Bernays
Blog de Matemática y TIC's 