Feeds:
Entradas
Comentarios

Archive for 10/07/17

En el programa de Hilbert estaba implícita la esperanza de que la noción sintáctica de la demostración captara la noción semántica de la verdad. Kurt Gödel se topó con el sorprendente descubrimiento de que este no era el caso de la teoría de tipos y lenguas relacionadas adecuadas para la aritmética, siempre que se insistan en las siguientes suposiciones:

  1. El conjunto de teoremas (enunciados probables) es efectivamente enumerable, en virtud de la noción de la prueba que es decidible.
  2. El conjunto de afirmaciones verdaderas de la matemática es ω-completo en el siguiente sentido: dada cualquier fórmula φ(x), que contiene una variable libre x de tipo N, la sentencia universal ∀x ε N, φ(x) será verdadera si φ(n) Es verdadera para cada número n.
  3. El lenguaje es consistente.

En realidad, Gödel también hizo una suposición algo más fuerte, que, como el matemático estadounidense John Barkley Rosser más tarde mostró, podía ser reemplazada asumiendo la consistencia. El ingenioso argumento de Gödel se basó en la observación de que las declaraciones sintácticas sobre el lenguaje de la matemática pueden traducirse en declaraciones de la aritmética, por lo tanto, en el lenguaje de la matemática. Fue inspirado en parte por un argumento que supuestamente se remonta a los antiguos griegos y que fue algo como esto: Epiménides dice que todos los cretenses son mentirosos; Epiménides es un cretense; por lo tanto Epiménides es un mentiroso. Bajo los supuestos 1 y 2, Gödel construyó una declaración matemática g que es verdadera pero no demostrable. Si se supone que todos los teoremas son verdaderos, se deduce que ni g ni ¬g es un teorema.

Ningún matemático duda de la suposición 1. Al mirar una supuesta prueba de un teorema, adecuadamente formalizado, es posible para un matemático, o incluso para un ordenador, decir si es una prueba. Al enumerar todas las pruebas en, digamos, orden alfabético, se obtiene una enumeración efectiva de todos los teoremas. Los matemáticos clásicos también aceptan la suposición 2 y, por tanto, de mala gana acuerdan con Gödel que, contrariamente a la expectativa de Hilbert, hay verdaderas declaraciones matemáticas que no son demostrables.

Sin embargo, los intuicionistas moderados podrían sacar una conclusión diferente, porque no están comprometidos con la suposición 2. Para ellos, la verdad de la afirmación universal ∀x ε N, φ(x) sólo puede conocerse si se conoce la verdad de φ(n) para cada número natural n, de manera uniforme. Este no sería el caso, por ejemplo, si la prueba de φ(n) aumenta en dificultad, por lo tanto en longitud, con n. Por lo tanto, los intuicionistas moderados podrían identificar la verdad con la probabilidad y no sentirse molestados por el hecho de que ni g ni ¬g sean verdaderos, ya que en primer lugar no creerían en el principio del tercero excluido.

Los intuicionistas siempre han creído que, para que una declaración sea verdadera, su verdad debe ser cognoscible. Por otra parte, los intuicionistas moderados podrían conceder a los formalistas que decir que una afirmación se sabe que es verdadera es decir que se ha demostrado. Sin embargo, algunos intuicionistas no aceptan el argumento anterior. Al afirmar que la matemática es independiente del lenguaje, los intuicionistas afirmarían que en la demostración metamatemática de Gödel de su teorema de la incompletitud, citar la ω-completitud para establecer la verdad de una declaración universal produce después de todo una prueba uniforme de ésta última.

Gödel se consideraba un platónico, en la medida en que creía en una noción de verdad absoluta. Él tomó por hecho, como hacen muchos matemáticos, que el conjunto de afirmaciones verdaderas es ω-completo. Otros lógicos son más escépticos y quieren reemplazar la noción de verdad por la de la verdad en un modelo. De hecho, el propio Gödel, en su teoría de la integridad, había demostrado que para que un enunciado matemático fuera demostrable es necesario y suficiente que sea cierto en cada modelo. Su teorema de la incompletitud demostró ahora que la verdad en cada modelo ω-completo no es suficiente para la demostración.

Anuncios

Read Full Post »