Jakob Bernoulli

La familia Bernoulli produjo muchos matemáticos que contribuyeron a diversas ramas de la matemática como la probabilidad, el cálculo y la teoría de números, y Jakob Bernoulli fue el primer miembro de esa impresionante congregación. Su genio estaba en la inteligente solución de ciertos problemas muy específicos, muchos de los cuales cobraron relevancia para el mundo exterior.

Originarios de Amsterdam, los Bernoullis eran una próspera familia de comerciantes que habían emigrado a Basilea. Jakob Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, hijo de Nikolaus Bernoulli, un magistrado de la ciudad, y Margaretha Schönauer, hija de un banquero. Jakob Bernoulli estaba destinado también a una carrera mercantil, pero sus proclividades para la investigación científica marcarían su destino por otro camino. Después de obtener el título de maestría en filosofía en 1671, pasó a recibir una licenciatura en teología cinco años después. Sin embargo, parece que Bernoulli tenía poco interés o predilección hacia el ministerio evangélico; ha sido descrito como obstinado y agresivo, con un complejo de inferioridad. Durante este tiempo estudió matemática y astronomía, aunque su padre trató de disuadirlo de ello. En 1676 llegó a Ginebra como profesor particular, y allí comenzó su diario científico llamado Meditationes; Llego viajó a Francia, donde pasó dos años aprendiendo las metodologías de la filosofía científica cartesiana. Un segundo viaje educativo a los Países Bajos e Inglaterra en 1681 lo puso en contacto con matemáticos contemporáneos. Como resultado, Bernoulli pronto formuló una teoría de cometas (1682) y gravedad (1683). De regreso a Basilea, Jakob comenzó a dar conferencias sobre mecánica de cuerpos sólidos y líquidos; envió informes de sus investigaciones a revistas científicas y, mientras tanto, trabajó con la Géométrie de René Descartes. Sus contribuciones en geometría y álgebra (mostró cómo un triángulo podía dividirse en cuatro partes iguales a través de dos rectas perpendiculares) fueron colocadas en un apéndice de la cuarta edición de la Géométrie.

Bernoulli presentó a continuación cuatro estudios de lógica formal, publicados en medio de una disputa, de 1684 a 1686, y su primer trabajo sobre probabilidad apareció en 1685. También estaba familiarizado con los escritos de John Wallis e Isaac Barrow sobre infinitesimales en óptica y problemas mecánicos, y de esta manera se introdujo al cálculo.

En 1684 Bernoulli se casó con Judith Stupanus, la hija de un rico farmacéutico. Uno de sus hermanos menores, Johann Bernoulli, comenzó a asistir a la Universidad de Basilea; como respondedor a los debates lógicos de Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli obtuvo su maestría en artes en 1685. Estudió medicina formalmente, pero en secreto persiguió la matemática bajo la tutela de Jakob Bernoulli. La relación entre los dos hermanos resultaría dura, ya que sus personalidades similares llevaron a una implacable fricción y rivalidad.

En 1687 Bernoulli fue nombrado profesor de matemática en la Universidad de Basilea, y en este tiempo estudió y dominó el cálculo diferencial de Gottfried Wilhelm Leibniz; como resultado, en 1689 Bernoulli produjo una teoría de series infinitas, estableció la ley de los grandes números de la teoría de la probabilidad, y llamó la atención sobre la importancia de la inducción completa. El análisis de la solución de Christiaan Huygens al problema de la curva de descenso constante en un campo gravitatorio proporciona un excelente ejemplo del dominio de Bernoulli del cálculo leibniziano. Fue en este contexto donde apareció por primera vez el término integral. Posteriormente investigó la elasticidad a través de una simple ecuación diferencial (1694), y también investigó las espirales parabólica y logarítmica (1691). Su procedimiento de determinación de la línea focal de rayos paralelos incidentes de luz sobre un espejo semicircular consiste en generar una curva algebraica a través de la envolvente de sus círculos de curvatura. Esto condujo más adelante a una ecuación diferencial que describió la forma de una vela que era inflada por el viento (1692, 1695). Bernoulli trabajó cuidadosamente en una amplia gama de problemas antiguos y modernos, incluyendo la llamada ecuación diferencial de Bernoulli, utilizando las herramientas del cálculo diferencial con experta facilidad.

Las fricciones entre Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli se hicieron cada vez más frecuentes, principalmente debido a su mutuo conflicto de personalidad. Aunque inferior a su hermano menor en términos de intuición y velocidad de pensamiento, la mente de Jakob Bernoulli podía penetrar más profundamente en un tema. Un famoso problema de 1696 propuesto por Johann Bernoulli, llamado braquistócrona, se refería a la determinación de una curva de descenso más rápido entre dos puntos. Jakob Bernoulli resolvió esto en 1697, y también corrigió la solución de Johann Bernoulli del problema isoperimétrico en 1701, que este último se negó a reconocer hasta mucho después de la muerte de Jakob Bernoulli. Su antipatía mutua pronto llevó a la crítica del trabajo de cada uno, y continuó la discusión a través de la imprenta de 1699 a 1700.

Los principales logros de Bernoulli radican en su inteligente análisis de problemas particulares de interés matemático, clásico y mecánico. Desarrolló una teoría de fenómenos naturales basada en la colisión de partículas de éter, discutió el punto central de oscilación y descubrió las propiedades de la resistencia de los cuerpos elásticos. El centro de gravedad de dos cuerpos en movimiento uniforme, la forma de un cordón estirado, un movimiento acelerado centralmente y el impulso colectivo de muchos choques son algunos de los problemas mecánicos que él consideró. En ingeniería, él trató el problema del puente levadizo en 1695, que consistía en determinar la curva de un peso deslizante que cuelga en un cable que sostiene el puente levadizo en equilibrio.

En Theory of Series (publicado en cinco disertaciones de 1682 a 1704), desarrolla series para pi y el logaritmo de 2, investigó el interés compuesto, las series exponenciales y las series armónicas. La obra más original de Bernoulli, Ars conjectandi, publicada póstumamente en 1713 contiene la teoría de combinaciones, las series exponenciales, los números de Bernoulli, el beneficio esperado de varios juegos de azar, la probabilidad como medida de confianza, y la ley de grandes números. Murió en Basilea, el 27 de diciembre de 1705, de tuberculosis.

Tal vez su contribución a la probabilidad es su legado más significativo, ya que este campo ha sido ampliamente desarrollado a partir de sus primeros esfuerzos. Ciertamente, él avanzó también en álgebra, cálculo infinitesimal, cálculo de variaciones, mecánica y series infinitas. Bernoulli fue ampliamente leído por generaciones posteriores de matemáticos, y es reconocido hoy por sus contribuciones al cálculo y la probabilidad.

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

Daniel Bernoulli

El siglo XVIII estaba relativamente desprovisto de talento matemático en comparación con la riqueza intelectual de los años 1600; sin embargo, Daniel Bernoulli fue uno de los pocos genios raros de ese tiempo, haciendo importantes contribuciones a la medicina, la matemática y las ciencias naturales. En particular, sus trabajos en los aspectos mecánicos de la fisiología, las series infinitas, la mecánica racional, la hidrodinámica, los sistemas oscilatorios y la probabilidad le han ganado gran renombre como científico excepcional.

Daniel Bernoulli nació el 8 de febrero de 1700 en Groningen, Holanda, en la conocida familia Bernoulli: su padre era el famoso matemático Johann Bernoulli, que era entonces profesor en Groningen, y su madre era Dorothea Falkner, miembro de una familia suiza. Daniel Bernoulli estaba cerca de su hermano mayor Nikolaus, pero más tarde cayó víctima de la celosa competitividad de su padre. En 1705 Johann Bernoulli reubicó a la familia en Basilea, haciéndose cargo de la cátedra de matemática recientemente ocupada por su difunto hermano Jakob. Daniel Bernoulli comenzó el estudio de la lógica y la filosofía en 1713 y aprobó su bachillerato en 1716. Mientras tanto, estudió matemática bajo la supervisión de su padre y Nikolaus. Daniel Bernoulli no estaba destinado a los negocios, como testificó un fracasado aprendizaje en el comercio; en cambio, continuó sus estudios de Basilea en medicina, viajando después a Heidelberg (1718) y Estrasburgo (1719) para perseguir el conocimiento. Al año siguiente regresó a Basilea, y obtuvo su doctorado en 1721 con la disertación De respiratione (De la respiración).

Su solicitud para la cátedra de anatomía y botánica fue negada, y tampoco pudo obtener la cátedra de lógica. En 1723 viajó a Venecia para continuar sus estudios médicos bajo Michelotti. Su publicación de Exercitationes mathematicae en 1724 le valió la fama de recibir una oferta de la Academia de San Petersburgo, y se quedó en Rusia de 1725 a 1732, conociendo a Leonhard Euler. Su querido hermano Nikolaus murió repentinamente, y el clima severo no fue a gusto de Bernoulli; estos factores alentaron a Bernoulli a regresar a casa. Después de tres aplicaciones fallidas a Basilea, obtuvo la cátedra de anatomía y botánica en 1732.

El período ruso fue muy fructífero para Bernoulli. Durante este tiempo realizó importantes trabajos en hidrodinámica, teoría de las oscilaciones y probabilidad. Su regreso a Basilea se convirtió en una gira por Europa, donde fue recibido cordialmente por numerosos estudiosos. En este momento su padre competía con Bernoulli por la prioridad del trabajo sobre hidrodinámica llamado Hydrodynamica; completado en 1734 y publicado en 1738, la Hydraulica de su padre  era anterior a 1732.

En el campo de la medicina, al que se vio obligado a trabajar durante algunos períodos de su vida, Bernoulli volvió su intelecto hacia los aspectos mecánicos de la fisiología. Su disertación de 1721 fue una revisión de la mecánica de la respiración, y un artículo de 1728 abordó la mecánica de la contracción muscular, prescindiendo de la noción de fermentación en los glóbulos sanguíneos. Bernoulli también determinó la forma y ubicación de la entrada del nervio óptico en el bulbo, y dio una conferencia sobre el cálculo del trabajo realizado por el corazón; más tarde estableció la cantidad máxima de trabajo (actividad durante un período sostenido) que un ser humano podía realizar en un día.

Sin embargo, los intereses de Bernoulli fueron absorbidos por problemas matemáticos motivados por cuestiones científicas. Sus cuatro volúmenes de Exercitationes  mathematicae  tratan una variedad de temas: el juego del faro, el flujo de agua, las ecuaciones diferenciales y las lúnulas (figuras delimitadas por dos arcos circulares). Posteriormente investigó series divergentes. Bernoulli obtuvo sumas para series trigonométricas e investigó la teoría de las fracciones continuas infinitas. 

Su contribución a la mecánica estaba en las áreas de oscilaciones de cuerpos rígidos y mecánica de cuerpos flexibles y elásticos; estas nuevas áreas fueron abordadas a fondo por los esfuerzos de colaboración de Bernoulli y Euler. Bernoulli explica el principio de la gravedad y el magnetismo, prescindiendo de la teoría del vórtice de René Descartes y Christiaan Huygens. La teoría de los cuerpos giratorios, el centro de la rotación instantánea y la conservación de la fuerza viva son algunas de sus otras contribuciones, así como la fricción de cuerpos sólidos. Obtuvo una amplia fama mediante su Hydrodynamica, donde da una historia de la hidráulica, fórmulas para la salida de un fluido, oscilaciones de agua en un tubo, teoría para maquinaria hidráulica (tales como bombas, incluido el tornillo de Arquímedes de Siracusa), movimientos de » fluidos elásticos «(gases), y la derivación de la ecuación de Bernoulli para corrientes estacionarias. Este libro también contiene la determinación de la presión sobre un contenedor causada por un fluido y la presión de un chorro de agua sobre un plano inclinado -puesto en práctica para propulsar barcos muchos años después.

Junto con Euler, Bernoulli dominó la mecánica de los cuerpos elásticos, derivando curvas de equilibrio para tales cuerpos en 1728. Determinó la curvatura de una banda elástica horizontal fijada en un extremo y definió los «modos simples» y las frecuencias de oscilación de un sistema con más de un cuerpo. Después de salir de San Petersburgo, la continua correspondencia de Bernoulli con Euler dio lugar a más literatura: las pequeñas vibraciones de una placa sumergida en agua y una varilla suspendida de un hilo flexible. Aquí destacó la diferencia entre las vibraciones simples y las compuestas. En trabajos escritos entre 1741 y 1743, Bernoulli trata las vibraciones transversales de las cuerdas elásticas, considerando una barra horizontal fijada a una pared vertical. Para derivar la ecuación de vibración, implementó la relación entre curvatura y momento. Su tratado de 1753 sobre las oscilaciones resultó en una descripción del movimiento general como la superposición de numerosas vibraciones únicas, dada por una serie trigonométrica infinita. Más tarde Bernoulli consideró las oscilaciones de los tubos de un órgano y las vibraciones de las cuerdas de grosor desigual.

Bernoulli también avanzó en la teoría de la probabilidad y la estadística; su obra más novedosa en esta área fue De mensura sortis (Sobre la medida del azar), que aborda un problema en las ganancias de capital, e introduce el concepto de una función de utilidad, descrita por Bernoulli como el valor moral de una cantidad de capital. En 1760 examinó un problema de mortalidad en las estadísticas médicas, dando una ecuación diferencial relacionando las variables relevantes. Más tarde utilizó un modelo de urna en aplicaciones a estadísticas de población, tratando de determinar la duración media del matrimonio para cada grupo de edad. Es interesante que Bernoulli utilice el cálculo infinitesimal en la probabilidad, dando un primer paso hacia la noción de una variable aleatoria continua y la teoría estadística de los errores.

En 1743 Bernoulli pasó a dar conferencias en fisiología, y en 1750 obtuvo finalmente la cátedra de física; continuó dando conferencias hasta 1776, mostrando fascinantes experimentos de física que atraían a una gran audiencia en Basilea. Por ejemplo, fue capaz de conjeturar la ley de Coulomb de la electrostática como resultado de la evidencia experimental de sus conferencias. Murió el 17 de marzo de 1782, habiendo recibido numerosos premios y honores en vida, por ejemplo ganando el Gran Premio de la Academia de París en 1734 y 1737. De hecho, Bernoulli ganó 10 premios por ensayos inscritos en las competiciones de la Academia de París, que generalmente se daban sobre temas de interés público, como la mejor forma de anclaje y la relación entre las mareas y la atracción lunar. Ganó dos premios sobre el tema del magnetismo y mejoró la construcción de la brújula.

Bernoulli fue un destacado científico y matemático. Sus principales contribuciones matemáticas fueron en las ecuaciones diferenciales, la mecánica y la probabilidad. Los esfuerzos de Bernoulli, junto con la obra de Euler, influirían en los matemáticos posteriores del siglo XIX.

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

Thomas Bayes

El campo de la estadística se divide entre dos facciones: Bayesianos y Frecuentistas. Este último grupo, a veces conocido como el ortodoxo, mantiene una perspectiva clásica sobre la probabilidad, mientras que el primer grupo debe su génesis a Thomas Bayes, un predicador inconformista y un estadístico aficionado. Aunque sus escritos no eran copiosos, en comparación con muchos de los matemáticos famosos de la historia, la extensa influencia de un ensayo notable le ha otorgado a Bayes no poca cantidad de fama.

Nacido en 1702 hijo de un teólogo y predicador disidente (se oponía a ciertas doctrinas y tradiciones de la Iglesia anglicana establecida), Bayes fue criado bajo las influencias de las opiniones no tradicionales de su padre. Con una educación privada decente, Bayes ayudó a su padre en sus tareas pastorales en Holborn, Londres, y más tarde se convirtió en ministro en Tunbridge Wells. Nunca se casó, pero poseía un amplio círculo de amigos.

Al parecer, Bayes estaba familiarizado con las matemáticas actuales de la época, incluyendo el cálculo diferencial e integral de Sir Isaac Newton y las ideas bien establecidas de la probabilidad clásica. La obra matemática de Bayes, Introducción a la doctrina de fluxiones, se publicó en 1736. El trabajo de Newton sobre cálculo, que incluía el concepto de infinitesimales, a veces llamado fluxiones, era controvertido, ya que muchos científicos aborrecían el concepto de cantidades infinitamente pequeñas como intelectualmente repugnantes. De hecho, el obispo Berkeley -un filósofo contemporáneo- había escrito el Analista, una crítica completa de la obra de Newton; La Doctrina de Fluxiones de Bayes fue una refutación matemática de Berkeley, y fue apreciada como una de las más sólidas disculpas por el cálculo de Newton. 

Pero Bayes adquirió cierta fama por su artículo «Ensayo para resolver un problema en la doctrina de las oportunidades», publicado póstumamente en 1763. Aunque la teoría de la probabilidad ya estaba bien fundada con textos recientes de Jakob Bernoulli y Abraham de Moivre, bastiones teóricos de similar tenor faltaban para la rama de la estadística. La tarea que Bayes estableció para sí mismo fue determinar la probabilidad, o posibilidad, de la verdad de las hipótesis estadísticas a la luz de los datos observados. El marco de las pruebas de hipótesis, en el cual las afirmaciones científicas podían ser rechazadas o aceptadas (técnicamente, «no rechazadas») sobre la base de los datos, fue vagamente entendido en algunos casos especiales –Sir Ronald Aylmer Fisher formularía posteriormente pruebas de hipótesis con rigor matemático, precisión y generalidad. Por supuesto, rechazar o no rechazar una afirmación da una decisión en blanco o negro a un concepto más susceptible a sombras de gris. Esta es la pregunta que Bayes trató de responder.

La idea básica es que las nociones previas de la probabilidad de un evento son a menudo llevadas a una situación -siempre que existan presuposiciones de sesgo, colorean la evaluación de la probabilidad de ciertos resultados imprevistos y afectan la interpretación de las observaciones. En ausencia de conocimiento previo, se podría asumir una denominada distribución  a priori no-informativa para la hipótesis, que sería lógicamente la distribución de probabilidad uniforme. Bayes demostró cómo calcular la probabilidad de una hipótesis después de las observaciones que se han hecho, lo que fue designado por el término distribución posterior de la hipótesis. Su método de cálculo implicaba una fórmula que expresaba la probabilidad posterior en términos de la probabilidad previa y la distribución asumida de los datos; esto fue llamado posteriormente Teorema de Bayes.

Mientras que la matemática involucrada es bastante elemental (muchos estudiantes aprenden el teorema de Bayes en las dos primeras semanas de un curso sobre probabilidad y estadística), el concepto revolucionario era que a las hipótesis científicas se les asignaran probabilidades de dos especies. Parece que Bayes no estaba satisfecho con su argumento para esta formulación, y se negó a publicar el ensayo, a pesar de que este trabajo teórico dio una base sólida para la inferencia estadística. Un amigo envió el artículo a la Royal Society después de la muerte de Bayes, y el trabajo fue popularizado por el influyente Pierre-Simon Laplace. Bayes era un soltero rico, y pasó la mayor parte de su vida desempeñando funciones religiosas en las provincias. Fue honrado vía su inclusión en la Royal Society de Londres en 1742, tal vez por su Doctrina de Fluxiones. Murió el 17 de abril de 1761, en Tunbridge Wells, Inglaterra.

Mucha controversia ha surgido sobre la metodología de Bayes. Los bayesianos muestran el fundamento lógico de la teoría, que está de acuerdo con la práctica general de la ciencia. La oposición de los Frecuentistas condena la variación en los resultados estadísticos. Conviene señalar que no sólo los análisis de las estadísticas clásicas (especialmente las estadísticas no paramétricas) y las matemáticas, sino los resultados del esfuerzo científico en general, están siempre supeditados a suposiciones presupuestas que no pueden ser completamente justificadas. Algunos bayesianos conciben las probabilidades como grados objetivos de confianza, mientras que otros conciben creencias puramente subjetivas. El marco bayesiano corresponde a la actualización de las estructuras de creencias a través de la acumulación de información empírica.

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »