Enrico Betti

Enrico Betti es conocido por sus contribuciones a la teoría de Galois (una teoría algebraica abstracta utilizada para resolver ecuaciones algebraicas, desarrollada por Evariste Galois) y a la teoría de las funciones elípticas. Su trabajo en el análisis del hiperespacio inspiró más tarde a Henri Poincaré en la fundación de la geometría algebraica. 

Betti nació el 21 de octubre de 1823 en Pistoia, Italia, y su padre murió cuando era muy joven. Como resultado, su madre supervisó su educación, y posteriormente se matriculó en la Universidad de Pisa, recibiendo un grado en ciencias físicas y matemática. Después se involucró en la guerra por la independencia italiana, participando como soldado en las batallas de Curtatone y Montanara. Su profesión posterior fue como profesor de matemática de secundaria en Pistoia, aunque simultáneamente continuó sus propias investigaciones en matemática pura.

Gran parte del trabajo de Betti era en el campo del álgebra. El trabajo de Evariste Galois, que recibió poco reconocimiento durante la breve vida de su autor, se resumió en gran medida en una carta personal de 1832 que posteriormente fue publicada por Joseph Liouville en 1846. Desde entonces, Betti promovió el trabajo de Galois sobre la solubilidad de las ecuaciones algebraicas mediante operaciones por radicales (la cuestión de determinar qué ecuaciones podrían tener sus soluciones expresadas en términos de radicales y números racionales). Conectando el trabajo de Galois con las investigaciones previas de Niels Henrik Abel y Paolo Ruffini, Betti superó la brecha entre los nuevos métodos del álgebra abstracta y los problemas clásicos (como el quíntico) tratados anteriormente. Muchos consideraban entonces que las labores de Galois eran irrelevantes y estériles, pero las elaboraciones de Betti en dos documentos de 1852 y 1855 constituyen un paso importante para revertir esas opiniones adversas; hoy en día la teoría de Galois es vista como un componente fructífero y encantador del álgebra abstracta.

También investigó la teoría de las funciones elípticas, un tema popular en el siglo XIX; Betti describió esta rama de la matemática relacionándola con la construcción de ciertas funciones trascendentales en 1861, y Karl Weierstrass desarrolló estas ideas en los años siguientes. Tomando otra mirada no-algebraica sobre el mismo tema, Betti investigó las funciones elípticas desde la perspectiva de la física matemática. Con la guía de Bernhard Riemann, con quien Betti se había reunido en Göttingen en 1858, Betti investigó los procedimientos utilizados en electricidad y en análisis matemático.

En 1865 Betti aceptó una cátedra en la Universidad de Pisa, que conservó por el resto de su vida. Más tarde se convirtió en rector de la universidad y director de la escuela de profesores en Pisa. Desde 1862 fue miembro del parlamento italiano, sirvió brevemente como subsecretario de Estado para la educación pública en 1874 y se convirtió en senador en 1884. Sin embargo, sus intereses principales no estaban en la política o la administración, sino en la investigación matemática pura; Betti sólo deseaba tener soledad para su propia reflexión intelectual y reuniones animadas con sus amigos más cercanos.

El trabajo de Betti en el campo de la física teórica condujo a una ley de reciprocidad en la teoría de la elasticidad, conocida como el teorema de Betti (1878). Primero aprendió los métodos de George Green para la integración de las ecuaciones de Pierre-Simon Laplace en la teoría de potenciales y utilizó esta metodología en el estudio de la elasticidad y el calor. También analizó el hiperespacio en 1871; Poincaré se inspiraría más tarde en Betti para ampliar estas investigaciones preliminares. Los números de Betti, acuñados por Poincaré, se utilizarían comúnmente como características mensurables de una variedad algebraica. 

Betti fue un excelente maestro, trayendo su pasión y su amplio conocimiento al aula, y fue un ferviente defensor del regreso a la educación clásica. Consideró los Elementos de Euclides de Alejandría como un texto modelo para la instrucción, y abogó firmemente por su regreso a las escuelas secundarias. Influyó en varias generaciones de estudiantes en Pisa, guiando a muchos hacia la búsqueda del conocimiento científico. Murió el 11 de agosto de 1892, en Pisa. 

El impacto de Betti en la matemática todavía se siente hoy. Su investigación temprana en topología algebraica fue fundamental, como lo atestigua la importancia duradera de los números de Betti. Tal vez aún más importante fue su desarrollo de la teoría de Galois, que se ha convertido en un gran componente de los estudios modernos en álgebra abstracta.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Friedrich Wilhelm Bessel

El campo de la astronomía se había desarrollado rápidamente en el siglo XIX, y la matemática conservaba su importancia vital para esta ciencia hermana. Friedrich Bessel no sólo se convirtió en uno de los más grandes astrónomos, calculando con precisión varias distancias astronómicas y siendo calificado como el fundador de la escuela alemana de astronomía práctica, sino que también desarrolló teorías matemáticas sobresalientes para explicar las perturbaciones de las órbitas planetarias. 

El 22 de julio de 1784, Friedrich Bessel nació en Minden, Alemania. Su padre era un funcionario público de esa ciudad, y su madre era hija de un ministro. Bessel tenía una familia grande, conformada por seis hermanas y dos hermanos. Bessel asistió al Gymnasium (instituto alemán) en Minden, pero después de cuatro años lo abandonó para convertirse en aprendiz de comerciante. Mientras estaba en la escuela, tuvo una inclinación hacia la matemática y la física, pero no mostró ningún grado digno de ser  destacado hasta que alcanzó los 15 años de edad. En 1799 comenzó su aprendizaje con Kulenkamp, una firma famosa mercantilista; rápidamente demostró su facilidad con los cálculos y la contabilidad, y como resultado se le proporcionó un sueldo escaso, que permitió que se emancipara de la dependencia de sus padres.

Mientras tanto, Bessel pasaba las noches estudiando varios temas como preparación para su futura carrera como oficial de carga. Pronto dominó la geografía, el español y el inglés, así como el arte de la navegación; esta disciplina despertó por primera vez su fascinación por la astronomía. No contento simplemente con conocer la tecnología de su comercio, Bessel comenzó a investigar los aspectos más profundos de la astronomía y la matemática, considerando que este conocimiento fundamental era esencial. Entre sus primeros logros en el campo de la astronomía encontramos la determinación de la longitud de Bremen, utilizando un sextante que había construido. Él también comenzó a leer literatura astronómica, y de esta manera descubrió las observaciones de 1607 del astrónomo Thomas Harriot del cometa Halley. Después de completar la reducción de las observaciones de Harriot (un proceso que implica compensar la refracción de la luz causada por la atmósfera terrestre y generalmente liberar las observaciones de errores), se la presentó al astrónomo Heinrich Olbers con su propio cálculo de la órbita en 1804. El resultado estaba en estrecho acuerdo con el trabajo de Halley, y Olbers alentó a Bessel a complementar estas reducciones con algunas observaciones adicionales; el fruto de este trabajo fue un artículo impreso en el Monatliche Correspondenz. Con la profundidad digna de un material de tesis doctoral, este artículo atrajo la atención de muchos lectores y marcó una transición en la vida de Bessel.

A principios de 1806, antes de terminar su aprendizaje, Bessel se convirtió en asistente en un observatorio privado cerca de Bremen, que era propiedad de un rico funcionario con interés en la astronomía que tenía contactos con muchos científicos. En el observatorio Bessel adquirió una escolarización completa en la observación de planetas y cometas, y mientras tanto hizo otras contribuciones al cálculo de órbitas de cometas. En 1807 comenzó la reducción de observaciones de James Bradley para 3.222 estrellas, lo que marcó uno de los logros más grandes de Bessel. Friedrich Wilhelm III de Prusia construyó un nuevo observatorio en Königsberg y Bessel fue nombrado director y profesor de astronomía en 1809. Dado que no tenía doctorado, la Universidad de Göttingen le dio uno por sugerencia de Carl Friedrich Gauss, quien había conocido a Bessel en 1807.

Durante la construcción del observatorio, Bessel continuó su trabajo en la reducción de los datos de Bradley; por sus tablas de refracción resultantes, fue galardonado con el Premio Lalande en 1811 por el Institut de France. En 1813 comenzó sus observaciones en el observatorio ya terminado, y permaneció en Königsberg como profesor e investigador por el resto de su vida. En 1812 se casó con Johanna Hagen, con quien tuvo dos hijos y tres hijas. Este afortunado matrimonio fue ensombrecido por la enfermedad y las muertes tempranas de sus hijos, y Bessel encontró distracción en caminar y cazar.

Bessel logró mucho en el campo de la astronomía. La reducción de los datos de Bradley permitió una correcta determinación de las posiciones y movimientos de las estrellas, pero el propio programa de observación y reducción inmediata de Bessel dio como resultado datos altamente precisos. También dio la primera estimación precisa de la distancia a una estrella fija, utilizando técnicas de triangulación y un heliómetro. También participó en la geodesia, la medición de la Tierra, completando una triangulación de Prussia del Este en 1830 con un nuevo aparato de medición y el método de mínimos cuadrados de Gauss. La estimación resultante de Bessel de los parámetros de las dimensiones de la Tierra le valió fama internacional.

Bessel estaba interesado en la matemática a través de su estrecha conexión con la astronomía. El problema de la perturbación en la astronomía era susceptible de análisis utilizando ciertas funciones hipergeométricas confluentes especiales, más tarde llamadas funciones de Bessel. Hubo dos efectos de un planeta intruso en la órbita elíptica de un planeta dado: el efecto directo de la perturbación gravitacional y el efecto indirecto que surge del movimiento del sol causado por el planeta perturbador. Bessel separó las dos influencias, y las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en el desarrollo en serie del efecto indirecto. En su estudio del problema, Bessel hizo un estudio intensivo de estas funciones especiales que se describen en su tratado de Berlín de 1824. Casos especiales de estas funciones se conocían desde hacía más de un siglo, descubiertos por Johann Bernoulli y Gottfried Leibniz; Daniel Bernoulli (1732) y Leonhard Euler (1744) también habían investigado los coeficientes de Bessel. Pero la motivación de Bessel surgió de su aplicación a la astronomía, no como un estudio separado en matemática pura.

Su salud fue en declive a partir de 1840, y su último viaje importante a Inglaterra fue en 1842; como resultado de su participación en el Congreso de la Asociación Británica en Manchester, Bessel se animó a completar y publicar algunas investigaciones restantes. Después de dos años agonizantes luchando contra el cáncer, murió el 17 de marzo de 1846, en Königsberg.

Aunque Bessel es conocido principalmente como astrónomo, al igual que Gauss, hizo contribuciones sobresalientes a la matemática pura que podrían aplicarse a la astronomía. Su nombre está ligado a las funciones especiales mencionadas anteriormente, así como a una desigualdad que se utiliza hoy en el análisis de Fourier y la teoría de los espacios de Hilbert. Tanto las funciones de Bessel como la desigualdad de Bessel tienen una relevancia perdurable para los matemáticos modernos.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Johann Bernoulli

El segundo de los famosos hermanos Bernoulli, Johann Bernoulli, formaba parte de una notable familia de matemáticos. Fue su destino pasar su primera carrera bajo la sombra de su consumado hermano Jakob Bernoulli, pero finalmente se hizo famoso por su propio genio. Bernoulli, uno de los principales proponentes del cálculo diferencial leibniziano en la vida posterior, fue en cierto punto el matemático más eminente de Europa. 

Johann Bernoulli nació el 6 de agosto de 1667 en Basilea, décimo hijo de una rica familia mercantil. Los Bernoulli eran originarios de Holanda, pero el padre de Johann Bernoulli, Nikolaus Bernoulli, se había establecido en Suiza como y se casó con la rica Margaretha Schönauer. Originalmente, Johann Bernoulli estaba destinado a una carrera en los negocios, pero después de un aprendizaje fallido como vendedor, se le permitió en 1683 inscribirse en la universidad. Su hermano mayor Jakob Bernoulli estaba dando conferencias allí sobre física experimental, y Johann Bernoulli se benefició de la tutela de su hermano mayor en matemática. Respondiendo a una de las disputas lógicas en 1685 de Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli fue elevado a magister artium y comenzó el estudio de la medicina. Su primera publicación de procesos de fermentación apareció en 1690, y obtuvo su doctorado en 1694 con una disertación matemática en el campo de la medicina.

Mientras tanto, Johann Bernoulli seguía ávidamente estudiando matemática (sin la aprobación de su padre) y, junto con Jakob Bernoulli, dominó el cálculo diferencial de Gottfried Leibniz. La solución de Johann Bernoulli al problema de la catenaria, planteado por Jakob Bernoulli en 1691, mostró su talento y lo marcó como un matemático líder de Europa. En ese momento estaba en Ginebra, pero pronto se trasladó a París, donde obtuvo reconocimiento gracias a su «teorema de oro»: la determinación de una fórmula para el radio de curvatura de una curva arbitraria. Bernoulli se reunió con Guillaume de L’Hôpital, y fue empleado por este último para darle clases de cálculo infinitesimal, por lo que Bernoulli fue recompensado magníficamente. Cuando Bernoulli volvió más tarde a Basilea, la correspondencia entre ambos continuó y se convirtió en la fuente de un primer libro de cálculo titulado Analyze des infiniment petits (Análisis de los infinitos pequeños). Bernoulli fue un fiel y ávido comunicador, escribiendo 2.500 cartas con 110 eruditos a lo largo de su vida; entre estas personas estaba Leibniz, con quien Bernoulli intercambió sus opiniones científicas a partir de 1693.

Durante este período, un hiato de sus estudios médicos, Bernoulli obtuvo varios resultados matemáticos que fueron publicados como artículos cortos. De principal importancia es su trabajo sobre las funciones exponenciales y el desarrollo en serie de ellas por integración. La integración era vista como la operación inversa a la diferenciación, y por lo tanto podía ser utilizada para resolver ecuaciones diferenciales. La penetrante intuición de Johann Bernoulli permitió una elegancia de solución que las técnicas más brutales de Jakob Bernoulli no lograron, lo que ilustró el contraste entre los dos hermanos. La formulación vía cálculo exponencial de Johann Bernoulli, que es simplemente la aplicación del cálculo diferencial de Leibniz a funciones exponenciales, amplió aún más la aplicabilidad de métodos infinitesimales. En 1695 sumó la serie armónica infinita, desarrolló teoremas de suma para funciones trigonométricas e hiperbólicas, y describió la generación geométrica de pares de curvas. La suma de los cuadrados de los recíprocos permaneció impermeable a ambos esfuerzos de los Bernoulli, y fue calculada más adelante por Leonhard Euler, el estudiante más capaz de Johann Bernoulli.

Habiendo completado su licenciatura en medicina, Bernoulli aceptó la cátedra de matemáticasen la Universidad de Groningen. Ya se había casado con Dorothea Falkner cuando partió para Holanda y estaba lleno de resentimiento hacia Jakob Bernoulli. La relación con su hermano ya había comenzado a desintegrarse: ambos hombres tenían personalidades pendencieras, y Johann Bernoulli era un ávido debatidor y polémico. Sin embargo, la feistiness de Johann Bernoulli extendió más allá de su hermano; en 1702 participó en disputas teológicas con profesores de Groningen, y fue etiquetado un seguidor de Spinoza.

En junio de 1696 Bernoulli planteó el siguiente problema, conocido como la braquistócrona: determinar el camino de descenso más rápido entre dos lugares fijos. Dedicando el problema «a los matemáticos más sagaces de todo el mundo», Bernoulli dio un plazo de medio año para encontrar la solución; Leibniz, que solucionó inmediatamente el problema, predijo con exactitud que sólo cinco personas en el mundo eran capaces de éxito: Sir Isaac Newton, el propio Leibniz, los hermanos Bernoulli y L’Hôpital. La braquistócrona proporciona otro contraste de las habilidades de los hermanos: el análisis engorroso de Jakob Bernoulli puso los fundamentos para el cálculo de variaciones, mientras que el acercamiento de Johann Bernoulli redujo ingeniosamente el problema a una pregunta en óptica, y dedujo la ecuación diferencial correcta de la ley de la refracción. Jakob Bernoulli planteó posteriormente el problema isoperimétrico, cuya solución requería el nuevo cálculo de variaciones, que había sido característicamente subestimado por Johann Bernoulli. Su solución publicada era por lo tanto inadecuada, dando por resultado el desprestigio desenfrenado de Jakob Bernoulli. No fue hasta muchos años después de la muerte de Jakob Bernoulli que Johann Bernoulli admitió la supremacía del cálculo de variaciones. En 1718, Johann Bernoulli produjo una solución elegante del problema isoperimétrico utilizando la metodología de Jakob Bernoulli, y este trabajo contenía las nociones tempranas para el cálculo moderno de variaciones.

El trabajo de Johann Bernoulli sobre la cicloide, en su descripción de la «fatídica curva del siglo XVII», promulga su desarrollo de la integración de funciones racionales a través del método de las fracciones parciales. Un acercamiento algebraico formal a tales cálculos era típico de Johann Bernoulli, y su influencia en las técnicas comunes del cálculo se ha sentido con los tiempos modernos.

Después de la muerte de Jakob Bernoulli en 1705, Johann Bernoulli le sucedió en la cátedra de matemática en Basilea, al parecer una decisión motivada por su familia. Pronto se vio envuelto en la polémica disputa de prioridad entre Newton y Leibniz, y criticó abiertamente el apoyo de Taylor al método de fluxiones (el cálculo newtoniano). En debates y concursos posteriores, Bernoulli pudo analizar con éxito algunos problemas, como la trayectoria de la curva balística en el caso general, para la que el cálculo newtoniano era insuficiente. Después de la muerte de Newton en 1727, Bernoulli sería reconocido como el principal matemático de Europa. En Basilea estudió mecánica teórica y mecánica aplicada, y en 1714 publicó su único libro, Théorie de la manoeuvre des vaisseaux. En este trabajo critica las teorías de navegación francesas y desarrolla el principio de velocidades virtuales, con aplicaciones a sistemas mecánicos conservadores. En otros trabajos investigó la transmisión del momento, el movimiento de los planetas y el fenómeno del barómetro luminoso.

Bernoulli fue sumamente honrado durante su vida, siéndole concedida la calidad de miembro de las academias de París, de Berlín, de Londres, de San Petersburgo y de Bolonia. Se benefició de un alto estatus social en Basilea, debido a sus conexiones maritales y la riqueza de la familia, y ocupó varias oficinas cívicas allí. Murió el 1 de enero de 1748, en Basilea. Su ingenio al resolver problemas matemáticos particulares lo convirtió en uno de los mejores matemáticos de su época. En términos de legado, no fue tan exitoso como su hermano Jakob Bernoulli, pero sin embargo dejó un influyente trabajo sobre mecánica y ecuaciones diferenciales.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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