Uno de los problemas pendientes de la geometría griega era la demostración del quinto postulado de los Elementos de Euclides (a menudo referido como el postulado de las paralelas) a partir de los otros axiomas más intuitivos. Era equivalente a la afirmación de que a través de cualquier punto separado de una línea dada, uno podía construir una línea paralela única; a partir de esta afirmación, se puede deducir que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. Muchos intentos a lo largo de los siglos para establecer rigurosamente este axioma habían fracasado, con el último y más notable intento de Farkas Bolyai. Su hijo, János Bolyai, finalmente construiría una geometría nueva y consistente, e independiente del quinto axioma. A pesar de que la prioridad de este descubrimiento se atribuye a Carl Friedrich Gauss, János Bolyai realizó su investigación ignorando esto y, a menudo, se lo acredita como cofundador de la geometría no euclidiana.
János Bolyai nació el 15 de diciembre de 1802 en Kolozsvár, Hungría, hijo de Farkas Bolyai y Susanna von Árkos. La familia Bolyai descendía de una larga línea de aristócratas, y Farkas Bolyai había cultivado sus propiedades antes de convertirse en profesor de matemáticas, física y química en el Colegio Evangélico Reformado de Marosvásárhely. Farkas también era amigo cercano de Carl Friedrich Gauss. János Bolyai demostró un gran talento en muchas áreas, incluidas la matemática y la música, demostrando dominio del violín a una edad temprana. En 1815 comenzó a estudiar en la universidad de su padre, y en 1818 ingresó en la academia imperial de Viena en preparación para una carrera militar, contrariamente al deseo de Farkas de que estudiara en Göttingen bajo el ala de Gauss.
El joven Bolyai se graduó en 1822, pero mientras tanto su interés en la geometría, especialmente el postulado de las paralelas, había sido despertado por la propia obsesión de su padre. De hecho, Farkas Bolyai había pasado muchos años intentando la deducción del quinto axioma, sin éxito; su correspondencia con Gauss sobre este tema condujo a su propio descubrimiento de la geometría no euclidiana, que su vergonzante conservadurismo nunca reveló. Farkas Bolyai incluso advirtió a su hijo enfáticamente en contra de involucrar su intelecto con ese problema en 1820, deseando ahorrarle muchos momentos de angustia, confusión y desesperación. Sin embargo, su impetuosa juventud continuó contemplando la pregunta.
Después de varios años de vano trabajo, Bolyai se volcó en 1823 hacia la construcción de una geometría que no requiriera el quinto postulado, una geometría que de hecho prescindiera de ese axioma. Mientras tanto, se graduó de la academia y comenzó su primera gira en Rumania como subteniente. Más tarde visitó a su padre en 1825, presentando en su manuscrito su teoría del espacio absoluto, un espacio donde a través de un punto dado no perteneciente a una línea, muchas líneas distintas a través de él podrían construirse paralelas a la línea dada, en refutación directa del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai no pudo aceptar esta nueva geometría, pero envió el manuscrito a Gauss. Este último respondió en 1832, asombrado de que János Bolyai hubiera replicado independientemente su propio trabajo, y reclamando su prioridad por más de tres décadas. Gauss dirigió a János Bolyai para explorar varias preguntas, como el volumen del tetraedro en el espacio absoluto, pero el joven húngaro no se sintió alentado. La afirmación de la prioridad de Gauss fue recibida en principio con aprensión, y luego con resentimiento.
Mientras tanto, Bolyai terminó su carrera militar en Lvov en 1832; a menudo estaba enfermo con fiebre, por lo que el ejército le dio una pensión y lo destituyó del servicio. Aparentemente, se había ganado una reputación como un apuesto oficial con una predilección por los duelos. Regresó a su casa para vivir con su padre, y su manuscrito fue publicado como «Apéndice» en el Tentamen de Farkas en 1832, un tratamiento sistemático de geometría, álgebra y análisis. Sin embargo, este ensayo (así como el libro) no recibió respuesta de los matemáticos, y su desánimo sobre la situación con Gauss condujo a Bolyai a una reclusión tanto social como matemática.
La relación entre padre e hijo también se tensó, principalmente debido a la irritación por la recepción poco entusiasta de su trabajo. János Bolyai se retiró a la pequeña propiedad familiar en Domáld, y en 1834 se casó con Rosalie von Orbán, con quien tuvo tres hijos. En 1837, ambos Bolyai´s intentaron recuperar su reputación matemática mediante la participación en una competencia de la Sociedad Jablonow. El tema versaba acerca de la construcción geométrica rigurosa de números imaginarios, que fue un tema de interés para muchos matemáticos, como Gauss, Sir William Rowan Hamilton y Augustin-Louis Cauchy. La solución de János Bolyai se parecía a la de Hamilton, pero no logró el reconocimiento deseado, lo que solo exacerbó sus tendencias melancólicas. Continuó investigando en matemática esporádicamente, con calidad variable; sus mejores resultados se refieren a la geometría absoluta, la relación entre la trigonometría absoluta y la trigonometría esférica, y el volumen del tetraedro en el espacio absoluto. Un trabajo de Nicolai Ivanovich Lobachevsky sobre el mismo tipo de geometría lo alcanzó en 1848, y actuó como un impulso para avanzar en sus esfuerzos. En sus últimos trabajos, Bolyai se preocupó más por la consistencia del espacio absoluto, y si podían surgir de su construcción contradicciones lógicas; esto no se resolverá hasta más tarde en el siglo XIX.
Continuó trabajando hasta 1856, el año en que murió su padre, y su matrimonio con Rosalie se disolvió al mismo tiempo, aumentando su aislamiento. Bolyai también trabajó en una teoría de la salvación, haciendo hincapié en el vínculo entre la felicidad individual y universal. Murió el 27 de enero de 1860, después de una prolongada enfermedad.
Bolyai hizo una contribución solitaria a la matemática que fue tan sobresaliente en su creatividad e importancia como para merecerle algo de fama, a pesar de su condición de inconformista. Junto con Gauss y Lobachevsky, Bolyai es considerado cofundador de la geometría no euclidiana. Estas inusuales geometrías, inicialmente despreciadas como feas e inútiles, han encontrado aceptación en el siglo XX debido a su gran relevancia para el espacio curvo de nuestro propio universo.
Fuente bibliográfica:
- McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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