George Boole

17 febrero 2018 por Ana María Teresa Lucca

Durante gran parte de la historia, los diversos campos de la matemática se desarrollaron por separado, o al menos se consideraron áreas de estudio distintas. Sin embargo, varios matemáticos intentaron presentar una descripción matemática de los fundamentos de la lógica y construir una aritmética lógica que facilitara la resolución de argumentos filosóficos abstrusos a través de una computación verificable. El primer pensador que hizo un progreso significativo hacia estos objetivos fue George Boole, un notable inglés por sus contribuciones tanto a la lógica como a la teoría de operadores.

George Boole nació el 2 de noviembre de 1815, en Lincoln, Inglaterra, hijo de un zapatero llamado John Boole. El interés real de este último radicaba en la matemática y el diseño de instrumentos ópticos, y su negocio en consecuencia padecía su distracción. George Boole fue educado en los rudimentos de la matemática por su padre, pero debido a la pobreza no pudo seguir la educación superior. Sin embargo, alentado por su padre, Boole avanzó en su comprensión de la matemática y pronto adquirió una familiaridad con el latín, el griego, el francés y el alemán. Aunque su habilidad con la literatura era ejemplar, su principal interés era la matemática.

A los 15 años comenzó a enseñar en Lincoln. El Instituto de Mecánica fue fundado en 1834; publicaciones de la Royal Society circulaban a través de la sala de lectura de la escuela, de la cual John Boole se convirtió en curador, y George Boole dedicó sus momentos libres restantes a la lectura de literatura matemática. En particular, se abrió paso a través de los Principia de Sir Isaac Newton con poca ayuda, y su reputación local lo llevó a un discurso público que marcaba la presentación de un busto de Newton en el Instituto. En 1840 contribuyó regularmente al Cambridge Mathematical Journal y a la Royal Society; sus talentos fueron reconocidos más tarde por la concesión de una Medalla Real en 1844 y la elección de la confraternidad de la Royal Society en 1857.

Los escritos científicos de Boole están compuestos por unos 50 artículos sobre diversos temas, dos libros de texto que resumen su investigación y dos volúmenes sobre lógica matemática. Los textos, sobre ecuaciones diferenciales (1859) y diferencias finitas (1860), se usaron durante décadas y muestran el agudo intelecto y el uso fluido de operadores de Boole. El material sobre ecuaciones diferenciales fue original, utilizando un operador de diferencias y desplazamiento hacia adelante para resolver ecuaciones lineales en diferencias. Los artículos de 1841 y 1843 trataban transformaciones lineales, mostrando un principio de invariancia para formas cuadráticas; la teoría de invariantes sería desarrollada rápidamente por otros matemáticos en la segunda mitad del siglo XIX. Otro trabajo abordó ecuaciones diferenciales, donde Boole hizo mucho uso del operador diferencial D.

En 1849, Boole solicitó el puesto de profesor de matemática en el recién creado Queen’s College de Cork, y su nombramiento a pesar de la ausencia de un título universitario formal dio testimonio de sus habilidades matemáticas ampliamente reconocidas. Aunque cargado con una pesada carga de enseñanza en Cork, Boole ahora habitaba en un entorno más propicio para la investigación. Era un maestro dedicado, creyendo en la importancia de la educación, tal vez en consideración de su propia falta. En 1855 se casó con Mary Everest, la sobrina de un profesor de griego en el Queen’s College.

Después de 1850 Boole incursionó principalmente por la teoría de la probabilidad, ya que esto estaba relacionado con su interés profundo y permanente en los fundamentos de la lógica matemática. Su uso de operadores amplió en gran medida su poder de aplicación, pero Boole fue cauteloso sobre su uso indiscriminado, y siempre tuvo cuidado de verificar las condiciones de su implementación; también hizo hincapié en la necesidad de definiciones claras. Como resultado de estas preguntas precisas, Boole se dio cuenta de que una variable que representa una cantidad no numérica, como una afirmación lógica u otro objeto matemático, no solo era matemáticamente válida sino que también era de gran utilidad en muchas empresas.

Había surgido una disputa entre el filósofo Sir William Hamilton y el matemático Augustus De Morgan sobre si la lógica pertenecía al dominio de la filosofía o de la matemática. De Morgan, que era amigo de Boole, había hecho varias contribuciones a la lógica a través de sus leyes sobre teoría de conjuntos, pero Hamilton era escéptico de que la matemática pudiera ser de algún beneficio; Boole defendió la validez de un enfoque matemático de la lógica en Mathematical Analysis of Logic (1847), y estableció un marco axiomático para la lógica, muy parecido al fundamento de la geometría clásica. La historia probaría más tarde que Boole y De Morgan habían ganado, ya que la lógica matemática se ha convertido desde entonces en una disciplina próspera (y sorprendentemente intrincada).

El intento de reducir la lógica a un cálculo puro había sido intentado previamente por Gottfried Leibniz; el sueño era reemplazar debates filosóficos largos y pendencieros con un sistema algebraico capaz de resolver proposiciones dudosas a través de simples cálculos. Los primeros esfuerzos se basaron en gran medida en la aritmética euclidiana como una analogía para la lógica algebraica, pero encontraron espinosas dificultades. La construcción de Boole era original y diferente, y esencialmente era un álgebra completamente nueva, diferente de la aritmética, pero válida para su propio propósito. Las ideas parecen haberse originado a partir de la familiaridad de Boole con los operadores: aplicaría un operador con una propiedad definida a un universo de elementos, y de ese modo obtendría todos los individuos o elementos con esa propiedad en particular. Por ejemplo, un operador puede definirse para seleccionar zanahorias de cualquier universo de objetos en el discurso, como el contenido de su jardín. La aplicación sucesiva de operadores a un universo, que era conmutativa, definió una multiplicación para el álgebra. A partir de este punto de partida, Boole desarrolló una noción de sustracción (que involucraba el complemento de un conjunto), suma (asociada por Boole al «o» excluyente, aunque en los tiempos modernos, al «o» inclusivo) e incluso una división. Es interesante destacar que este fue el primer álgebra idempotente conocida, que tiene la propiedad de que el cuadrado de cualquier operador es igual a sí mismo, ya que aplicar un operador dos veces seguidas equivale a aplicarlo solo una vez. Esta situación señala una desviación clara e irrevocable de la aritmética más familiar, donde los únicos elementos de juicio son el uno y el cero.

En Investigation of the Laws of Thought, Boole aplica este cálculo a las leyes de la probabilidad. Usando el símbolo P(A) para la probabilidad de un evento A, Boole describe la multiplicación de probabilidades en términos de la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes, la suma de probabilidades como la probabilidad de la unión mutuamente excluyente de dos eventos, y así siguiendo. Este simbolismo le permitió corregir el trabajo anterior en probabilidad. La salud de Boole comenzó a declinar en 1864, y cuando quedó atrapado bajo la lluvia camino a una clase, dio su conferencia con la ropa mojada. Este evento puede haber acelerado su muerte, que ocurrió el 8 de diciembre de 1864, en Ballintemple, Irlanda.

Su Investigation of the Laws of Thought es sin duda el legado más importante de Boole; muchos otros ampliarían su trabajo en lógica matemática y las llamadas álgebras de Boole. Incluso el flujo de programas informáticos, que implementan variables booleanas (una cantidad que toma el valor «verdadero» o «falso»), utiliza su teoría. El diseño de los circuitos eléctricos es especialmente adecuado para el uso de un álgebra de Boole, debido al sistema binario de interruptores de encendido y apagado.