Richard Dedekind

Gran parte del trabajo matemático de finales del siglo XIX se centró en establecer bases rigurosas para temas matemáticos previos, como los conceptos de función, infinito y número. Dedekind trabajó en esta última área, interesándose por la definición del número real y el concepto de continuidad.  

Richard Dedekind nació en Brunswick, Alemania, el 6 de octubre de 1831. Su padre, Julius Dedekind, era profesor de derecho en el Collegium Carolinum de Brunswick, y su madre, Caroline Emperius, era hija de otro profesor de la misma institución. Richard Dedekind era el más joven de cuatro hijos en esta familia intelectual; vivió con su segunda hermana la mayor parte de su vida. De joven, Dedekind asistió al Gymnasium local, donde finalmente cambió su enfoque de la física a la matemática, alegando que la física era demasiado desordenada. En el Collegium Carolinum, al que también asistió Carl Friedrich Gauss, Dedekind dominó la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral y la mecánica superior. 

En 1850 ingresó a la Universidad de Göttingen, y desarrolló una estrecha amistad con Bernhard Riemann, mientras asistía a conferencias de Moritz Stern, Wilhelm Weber y Carl Gauss. Sólo dos años más tarde Dedekind obtuvo su doctorado bajo la tutoría de Gauss con una tesis sobre integrales eulerianas; fue a Berlín para asistir a las conferencias de Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet, completando el resto de su educación. En 1854 obtuvo una cátedra en la Universidad de Berlín, donde enseñó probabilidad y geometría. También en este momento Dedekind se hizo amigo de Dirichlet, quien expandió sus horizontes sociales e intelectuales. En 1858 Dedekind obtuvo un puesto en el Polytechnikum de Zurich, y cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal, Brunswick, donde permaneció hasta su muerte. 

Dedekind es bien conocido entre los matemáticos por kas llamadas cortaduras de Dedekind, que fue un elemento en su construcción de los números reales. Ya había notado la falta de una base verdaderamente rigurosa de la aritmética; él construyó con éxito una definición puramente aritmética de continuidad, y formuló exactamente la noción de número irracional. En este sentido, el trabajo de Dedekind se basa en la antigua teoría de la proporción de Eudoxo de Cnido como base para los números reales, aunque las dos versiones no son exactamente idénticas; Dedekind estableció el hecho de que los postulados euclidianos solos, desprovistos de un principio de continuidad, no podían establecer una teoría completa de los números reales. Sus conceptos han tenido una importancia duradera para el campo del análisis matemático, especialmente a través de su uso del orden para comprender los números reales. 

Publicó estas ideas en un manuscrito de 1872 llamado Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Continuidad y números irracionales), que estableció a Dedekind como un investigador líder en los fundamentos de la matemática, junto con George Cantor y Bernhard Bolzano. Su libro de 1888 sobre números -Was Sind und was Sollen die Zahlen (Lo que los números son y deben ser)- definió la teoría lógica de números, tratando temas como la continuidad del espacio, la esencia de la aritmética y el papel de los números en la geometría. Un descubrimiento importante fue la definición de infinitud de un conjunto a través de mapeos, que fue vital para la posterior investigación de Cantor sobre la teoría de conjuntos. 

Hay muchas similitudes entre Gauss y Dedekind, incluidas sus personalidades: al igual que Gauss, Dedekind era un trabajador intenso y disciplinado que disfrutaba de un estilo de vida frugal. Era un pensador profundo que prefería las nociones matemáticas a las notaciones útiles. Debido a su estrecho parentesco y al hecho de que Dedekind entendía el trabajo de Gauss mejor que nadie, editó varios de los manuscritos inéditos de Gauss, y pudo comentar convincentemente sobre estos trabajos. Este proyecto llevó a Dedekind al examen de los números complejos, y dio la definición general de un ideal algebraico y estableció varios resultados clásicos. Este trabajo en álgebra, por el cual Dedekind es más famoso, dio lugar a muchos desarrollos fructíferos por parte de posteriores matemáticos, como Emmy Noether y David Hilbert. 

Dedekind estuvo activo en el Polytechnikum de Brunswick, del cual asumió la dirección desde 1872 hasta 1875. Recibió muchos doctorados honorarios durante su vida y tenía un gran número de corresponsales. En 1894 se convirtió en profesor emérito, y después de su muerte el 12 de febrero de 1916, los matemáticos en muchos países lo lloraron. 

La contribución de Dedekind a la matemática podría medirse a través de la cantidad de ideas que llevan su nombre, alrededor de una docena. Sus contribuciones a los fundamentos del concepto de número permitieron el progreso del análisis real, desarrollando un conocimiento más profundo de los números reales y el concepto de continuidad; sus teoremas sobre ideales algebraicos han estimulado mucha actividad adicional en el siglo XX.

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

Chu Shih-Chieh

Gran parte de la matemática china se centró en problemas de álgebra y en la suma de series. Chu Shih-Chieh representó un avance significativo en el conocimiento de estas áreas, y se sumó al trabajo de grandes matemáticos del siglo XIII. Sin duda fue el matemático más grande de su tiempo y y de su país. 

Poco se sabe de la vida personal de Chu Shih-Chieh, también conocido como Zhu Shijie, pero nació antes de 1280 y murió después de la publicación de su segundo libro en 1303. En el prefacio de este trabajo, llamado  El precioso espejo de los cuatro elementos, el autor afirma haber pasado 20 años viajando por China como matemático de renombre. Después, visitó la ciudad de Kuang-ling, donde atrajo a numerosos alumnos. Parece que Chu Shih-Chieh floreció en la última parte del siglo XIII después de la reunificación de China a través de la conquista mongola. 

Su primer trabajo, Introducción a los Estudios Matemáticos de 1299, fue un libro de texto para principiantes. Los Cuatro Elementos contienen el método de ese nombre, evidentemente inventado por Chu. Este era el «método del elemento celestial» extendido a cuatro variables; este método anterior era aparentemente bien conocido en China, aunque actualmente no existe ningún registro de ello. El método de Chu representa gráficamente las cuatro cantidades desconocidas, y resolvía ecuaciones de alto grado utilizando un método de transformación. Chu no describe esto, pero fue capaz de resolver complicadas ecuaciones cuárticas (de cuarto grado). Cuando las soluciones exactas de tales ecuaciones no eran posibles, Chu usó una aproximación. Es interesante que al encontrar raíces cuadradas, Chu usó una técnica de sustitución conocida por Ch’in Chiu-Shao que es similar a los métodos modernos. 

En el mismo libro, Chu tiene un dibujo del triángulo de Pascal, que contiene los coeficientes del desarrollo de un binomio. Él da una explicación de su uso, y se refiere a este diagrama como el «método antiguo» (ya era conocido por los matemáticos chinos del siglo XII). Muestra un considerable interés en el cálculo de series, como la suma de n enteros consecutivos. El trabajo de Chu representa un avance sobre el conocimiento previo de tales sumas, y aplicó sus resultados a secciones transversales de pirámides y conos (por ejemplo, la determinación de cuántas bolas hay en una pila piramidal de una altura determinada). Después de Chu, los matemáticos chinos hicieron pocos progresos adicionales en el estudio de tales series superiores. 

Chu también examinó las diferencias finitas, que eran importantes para los astrónomos chinos en sus fórmulas para el movimiento celeste. Los métodos de diferencias finitas eran conocidos desde el siglo VII en China, pero Chu los aplicó a varios problemas.  

Chu Shih-Chieh ayudó a lograr grandes avances en la matemática china a través de sus técnicas para resolver ecuaciones algebraicas y su cálculo de series. Sus obras permanecieron ocultas durante siglos, pero cuando se redescubrieron estimularon investigaciones adicionales en el siglo XVIII.

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

Ch’in Chiu-Shao

La matemática en la China del siglo XIII se ocupaba principalmente de las soluciones de ecuaciones algebraicas y la determinación de áreas de ciertas formas, con aplicaciones importantes a las finanzas, el comercio, la agricultura y la astronomía. Ch’in Chiu-Shao, también conocido como Qín Jiǔshào, trabajó en problemas de este tipo, dejando atrás algunos métodos generales para su solución. Fue una importante influencia en los matemáticos chinos posteriores. 

Ch’in Chiu-Shao nació alrededor de 1202 en la provincia china de Szechuan; su padre era funcionario, y Ch’in seguiría la vocación de su padre. Era un joven poco disciplinado, y más tarde se convirtió en un adulto vengativo y sin escrúpulos. Durante uno de los banquetes de su padre, Ch’in arrojó imprudentemente una piedra en medio de los invitados reunidos en una exhibición de sus habilidades de arquería; más adelante en su vida sería conocido por envenenar a sus adversarios. 

En 1219 Ch’in se unió al ejército como capitán de un escuadrón de voluntarios que ayudaba a reprimir un levantamiento local. En 1224 y 1225 Ch’in siguió a su padre a la ciudad capital de Hangchow. Allí estudió astronomía bajo la tutela de los astrónomos oficiales. Pronto abandonó la capital cuando su padre fue transferido a otra posición, y en 1233 se sabe que Ch’in sirvió como sheriff. 

En 1236 los mongoles invadieron Szechuan, y Ch’in huyó hacia el este, convirtiéndose en un vice-administrador en la provincia de Hupeh, y más tarde en gobernador de Hohsien en la provincia de Anhwei. Su siguiente publicación fue en Nanking en 1244, que sostuvo brevemente, y finalmente llegó a Wu-hsing, donde escribió su Tratado Matemático en 1247. Según su propia cuenta, Ch’in aprendió su matemática de un matemático anónimo. 

El manuscrito de Ch’in, su única escritura matemática conocida, constaba de nueve partes, cada una de las cuales tenía dos capítulos. Allí se ocupa de análisis indeterminados, cálculos astronómicos, medición de la tierra, topografía por triangulación, impuestos a la tierra, dinero, obras estructurales, asuntos militares y trueque, respectivamente. Ch’in representó el apogeo del logro chino en la arena del análisis indeterminado, que apareció por primera vez en el siglo IV. Un tipo de problema involucraba encontrar un número con varios restos dados para divisores dados; estos tipos de problemas ahora caen generalmente bajo el dominio del llamado teorema chino del resto. Uno podría aplicar estos resultados a cálculos de calendario y logística militar, entre otras cosas.  

El método de Ch’in para tales problemas de resto fue general; él dio una fórmula para resolver tales preguntas que no fue descubierta en Europa hasta el siglo XVI. Esta técnica era aplicable cuando los diversos divisores eran relativamente primos (cuando ellos mismos no tenían factores comunes); pero Ch’in también extendió su método a la situación más general cuando los divisores no eran relativamente primos. Esta técnica llegó a conocerse como «el método de la Gran Extensión para buscar la unidad». Por supuesto, Ch’in no usó las notaciones modernas de la aritmética modular, sino que introdujo muchos términos técnicos propios, como mónadas celestiales y números de operación. 

Al resolver ecuaciones algebraicas, Ch’in usó un tablero de conteo con varillas dispuestas en ciertas formaciones para representar números y cantidades desconocidas. De esta forma, calcularía soluciones a varias ecuaciones, de grado hasta 10. Su método, idéntico al descubierto por Paolo Ruffini en 1805, fue etiquetado con algo así como la «evolución armoniosamente alternante»; parece, sin embargo, que Ch’in no fue el inventor de esta técnica, ya que sus contemporáneos también estaban familiarizados con ella.  

Es interesante que el libro de Ch’in da varios valores para el número pi, como 22/7 y raíz cuadrada de 10, así como el viejo valor de 3. Da también áreas de varias formas geométricas, como triángulos (sin el uso de trigonometría), arcos circulares y cuadrángulos. Trata varias ecuaciones lineales simultáneas en varias variables, y Ch’in también discute la suma de ciertas series numéricas. Finalmente, trata problemas que involucran diferencias finitas, ya que estos eran de interés para los creadores de calendarios. 

Después de este trabajo Ch’in regresó a la administración pública en 1254, y fue nombrado gobernador de Hainan en 1258. Fue despedido tres meses después por cargos de corrupción, y regresó a casa con una inmensa fortuna acumulada por su aceptación de numerosos sobornos. Más tarde se convirtió en asistente de su buen amigo Wu Ch’ien (de quien se relata que Ch’in lo engañó con un terreno), y lo siguió a las provincias de Chekiang y Kwangtung. Poco después de recibir un puesto en Mei-hsien, Ch’in murió. El año de su muerte se estima en 1261. 

Ch’in fue conocido como poeta, arquero, esgrimista, ecuestre y músico experto, además de ser un destacado matemático de su tiempo y de su país. Las historias sobre él pintan una imagen desacreditada; se relata que castigó a una mujer miembro de su hogar con la inanición. Sin embargo, su talento matemático es indiscutible, y su dominio del análisis indeterminado le reserva un espacio en la historia matemática.

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »