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Archive for 16/04/18

A comienzos del siglo XIX en Alemania, Carl Friedrich Gauss ya había hecho descubrimientos sobresalientes en teoría de números. De sus muchos sucesores, Dirichlet es memorable como un matemático de gran habilidad que extendió significativamente el conocimiento de la teoría de números.  

Gustav Dirichlet nació en Düren en 1805. Su padre era un administrador de correos, y Gustav se educó en una escuela pública. Antes de los 12 años, expresó un celoso interés por la matemática, incluso gastando su dinero extra en libros de matemática. En 1817 ingresó al Gymnasium en Bonn, y progresó rápidamente en sus estudios. Dos años después, Dirichlet fue transferido a un colegio jesuita en Colonia, donde completó sus exámenes principales a los 16 años. Aunque sus padres deseaban que Dirichlet estudiara derecho, prefirió seguir su pasión: la matemática, y viajó a París en 1822 para aprender más de los grandes matemáticos franceses. 

En París, después de sobrevivir a un ataque de viruela, Dirichlet asistió a las clases en el Collège de France, y en 1823 consiguió un atractivo puesto como tutor de los hijos de un famoso general francés. A través de esta situación, Dirichlet se adentró en la vida intelectual francesa. Entre sus conocidos matemáticos, se sintió especialmente atraído por Jean Baptiste Joseph Fourier, quien continuaría ejerciendo una influencia significativa en el trabajo posterior de Dirichlet. 

Su primer interés fue la teoría de números, y esta continuó siendo la principal área de contribución de Dirichlet a la matemática. En 1825 presentó su primer artículo sobre las llamadas ecuaciones diofánticas de grado cinco (ecuaciones en más de dos variables que implican potencias quintas y que requieren soluciones enteras). Los resultados de este trabajo en la teoría de números algebraicos llevaron a un progreso adicional en el Último Teorema de Fermat, una famosa conjetura sin resolver (probada en 1994 por Andrew Wiles) de la teoría de números. 

En 1825, el empleador de Dirichlet murió y regresó a Alemania. Aunque no tenía un doctorado, obtuvo un puesto en la Universidad de Breslau; Posteriormente, Dirichlet obtuvo sus estipendios con una tesis sobre los divisores principales de ciertos polinomios. También contribuyó con la ley de la reciprocidad bicuadrática, basándose en el trabajo pionero de Gauss. El ambiente en Breslau no era propicio para la investigación, por lo que Dirichlet se trasladó a Berlín en 1828, convirtiéndose allí en profesor de la academia militar. En 1831 se casó con Rebecca Mendelsohn-Bartholdy, y también se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias de Berlín. 

Dirichlet pasó casi tres décadas como profesor en Berlín, y durante este tiempo ejerció una profunda influencia en el desarrollo de la matemática alemana. Entrenó a muchos estudiantes y continuó escribiendo trabajos de la más alta calidad y relevancia. Dirichlet era tímido y retraído, expresando una modesta renuencia a hacer apariciones públicas. Durante estos años, Dirichlet se comunicó con Carl Jacobi, otro gran matemático alemán. 

Los primeros trabajos de Dirichlet en teoría de números ahondaron en temas que Gauss había esbozado en sus Disquisitiones Arithmeticae (Investigaciones Aritméticas) de 1801 -temas como las formas cuadráticas, las leyes cuadráticas y biquádricas de reciprocidad, y la teoría de números de enteros Gaussianos. En una reunión de 1837 de la Academia de Ciencias, Dirichlet presentó su primer trabajo sobre la teoría analítica de números, en el que estableció que cualquier progresión aritmética debe contener un número infinito de primos. Algunos documentos posteriores resolvieron la convergencia de las llamadas series de Dirichlet, así como también determinaron el número de clase para las formas cuadráticas. En esta literatura, uno encuentra por primera vez el “principio del casillero” de Dirichlet, utilizado en muchas pruebas matemáticas, que establece que si se colocan más de n objetos en n agujeros, al menos un agujero debe tener más de un objeto dentro. Dirichlet estaba buscando una teoría general de números algebraicos que fuera válida para campos de grado arbitrario. Sus técnicas incluyeron una generalización de las formas cuadráticas. 

Mientras tanto, Dirichlet estaba investigando el análisis matemático, y estaba especialmente interesado en la serie de Fourier. Estas series de potencias podían aproximar tanto funciones continuas como discontinuas, y Daniel Bernoulli y Leonhard Euler las utilizaron para modelar las vibraciones de las cuerdas. El método de Dirichlet para probar la convergencia de una serie trigonométrica difería del enfoque anterior de Augustin-Louis Cauchy, y su enfoque se convirtió luego en estándar. En un artículo de 1837, Dirichlet formula la noción moderna de una función como una correspondencia especial entre un par de variables. 

Dirichlet también es conocido por sus contribuciones a la mecánica, donde desarrolló un método para evaluar integrales a través de un factor de discontinuidad. La ecuación diferencial parcial de Laplace con una restricción en los valores límite de la solución ahora se conoce como el problema de Dirichlet; un documento de 1850 de Dirichlet trata esta ecuación, que tiene aplicaciones en calor, magnetismo y electricidad. Un artículo de 1852 trata la hidrodinámica, dando la primera integración exacta para las ecuaciones hidrodinámicas. 

Después de la muerte de Gauss en 1855, la Universidad de Göttingen solicitó a Dirichlet como reemplazo del difunto príncipe de la matemática, y Dirichlet pasó sus últimos años en el entorno superior de investigación de Göttingen. Continuó su trabajo en mecánica hasta que sufrió un ataque al corazón, muriendo más tarde el 5 de mayo de 1859. 

Dirichlet debe ser visto como sucesor de Gauss en su trabajo en teoría de números. Sin embargo, sus logros en análisis, mecánica y ecuaciones diferenciales también son bastante notables. A través de su extensa tutela, Dirichlet también transmitió su pasión y conocimiento en matemática a una nueva generación de alumnos, entre los que se incluyen Richard Dedekind y Leopold Kronecker .

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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