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Archive for 31 mayo 2018

Jean-Baptiste-Joseph Fourier era hijo de un sastre. Nació el 21 de marzo de 1768, en la ciudad de Auxerre, Francia. A los nueve años había perdido a sus padres, Joseph y Edmée. El arzobispo lo colocó en la escuela militar local, donde desarrolló una fuerte inclinación hacia la matemática. Antes del final de su vida, Fourier fundaría la teoría de series trigonométricas y realizaría grandes avances en la comprensión de la dinámica del calor. 

Fourier nació en un período tranquilo de la historia de Francia, que pronto estallaría en el caos de la Revolución Francesa. Inicialmente, el joven deseaba unirse a la artillería o ingenieros, pero en cambio fue enviado a una escuela Benedectina en St.-Benoît-sur-Loire. Cuando la revolución comenzó en 1789, regresó a Auxerre como maestro en su antigua escuela militar. Se hizo prominente en asuntos locales, y desafió al gobierno a través de su valiente defensa de las víctimas del Terror. En 1794 fue arrestado, pero fue liberado después de la ejecución de Robespierre y brevemente asistió a la École Normale. Aunque esta escuela solo existió durante un año, parece que Fourier causó una fuerte impresión en la facultad, y fue nombrado profesor asistente en 1795 en la École Polytechnique. Allí cayó en conflicto con la reacción al régimen anterior (contra el que realmente había luchado) y fue encarcelado, pero sus colegas lograron obtener su liberación. En 1798 fue elegido para acompañar a Napoleón en su campaña egipcia, donde se convirtió en secretario del Institut d’Égypte y llevó a cabo diversas misiones diplomáticas. A pesar de estos deberes, Fourier encontró tiempo para atender sus intereses matemáticos. 

En 1801, Fourier regresó a Francia, pero su deseo de regresar a su puesto en la École Polytechnique no se realizó: Napoleón, habiendo determinado el talento administrativo de Fourier, lo nombró prefecto del departamento de Isère. Tuvo éxito en esta designación y Napoleón lo nombró barón en 1808. En esta época, escribió el prefacio histórico de la Description de l’Égypte, completado en 1809, que era un registro de la obra del Institut d’Égypte. Cuando Napoleón fue derrotado en 1814, el grupo que lo escoltaba a Elba planeó pasar por Grenoble, donde Fourier se instaló como prefecto. Fourier negoció un desvío del grupo con el fin de salvar a Napoleón de un encuentro embarazoso. En el regreso de Napoleón de Elba en 1815, Fourier cumplió con sus deberes como prefecto organizando una resistencia simbólica en Lyon. Más tarde, los dos amigos se encontraron en Bourgoin, y Napoleón restableció su confianza en el matemático haciéndole conde y prefecto del Ródano. 

Sin embargo, el nuevo régimen fue brutal, y antes del final de la breve restauración de Napoleón, Fourier había renunciado a su comisión y volvió a París para continuar su investigación sin distracciones. Las cosas fueron difíciles para Fourier, ya que estaba desempleado con una mala reputación política. Pronto, un viejo amigo le aseguró un puesto como director de la Oficina de Estadísticas en el departamento del Sena, obligación que le dejaba tiempo suficiente para progresar en sus estudios matemáticos. 

Los principales logros de Fourier se encuentran en el área de la difusión del calor. Gran parte del trabajo se completó durante su mandato en Grenoble, aunque sus intereses en el calor se remontan a su estancia en Egipto. En 1807 presentó a la Academia un extenso trabajo sobre difusión de calor en cuerpos continuos especiales; el contenido se basó en la ecuación de difusión (o del calor) en tres variables. Debido al uso de las llamadas series de Fourier en el artículo, uno de los revisores, Joseph-Louis Lagrange, impidió la publicación de la obra: Lagrange consideró que las series trigonométricas eran de poca utilidad. En 1810 se presentó una versión revisada del artículo con motivo de un premio en disputa, y la actualización contenía nuevo material sobre difusión del calor en cuerpos infinitos. Las últimas secciones del documento trataban los aspectos físicos del calor, como la radiación, que ocuparía a Fourier cada vez más en años posteriores. Este excelente trabajo ganó el premio, y más tarde se expandió al libro Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor). 

La importancia de las contribuciones de Fourier se puede ver en dos aspectos: primero, la formulación del problema físico como un problema de valor límite en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales lineales; y segundo, las poderosas herramientas matemáticas para la solución de estos problemas. Estas herramientas tendrían una gran influencia en el posterior desarrollo de la matemática, dejando atrás a numerosos descendientes. 

Las primeras nociones sobre mecánica del calor implicaban la idea de que algo transfería calor entre partículas discretas. Finalmente, Fourier pudo descubrir una ecuación diferencial que describía suavemente la dinámica del calor: esta era la llamada ecuación de difusión. El dominio para esta ecuación era una franja “semi-infinita”, esencialmente la parte positiva del eje x, que era uniformemente caliente en un extremo y uniformemente fría en los lados. Esta configuración del problema era simple y físicamente significativa. En este contexto, Fourier construyó una solución en serie al problema que involucraba términos trigonométricos. Era consciente de las dificultades de convergencia involucradas con este tipo de enfoque, y manejó estos problemas con bastante eficacia. Lo sorprendente de su trabajo fue que demostró que para muchas funciones genéricas se podían construir series trigonométricas que eran idénticas a la función en un intervalo. Para funciones no periódicas, parece extraño que uno pueda expresarlas como una suma de senos y cosenos. 

Fourier luego generalizó sus soluciones a tres dimensiones y a otras configuraciones, como un cilindro. Algunos de sus últimos trabajos creativos se produjeron en 1817 y 1818, en los que desarrolló una relación entre las soluciones de transformación integral y el cálculo operativo. La llamada transformada de Fourier de una función, tan útil para la solución de ecuaciones diferenciales, se derivó de estos trabajos. 

En muchos sentidos, Fourier fue muy práctico en su enfoque de la matemática: cada afirmación tenía que poseer un significado físico, y fue guiado en sus investigaciones por su excelente intuición física. Desarrolló un camino coherente a través de un revoltijo de técnicas ad hoc para resolver ecuaciones diferenciales, y un don para interpretar las propiedades asintóticas de sus soluciones en el ámbito de la física. Cuando era posible, probaba sus resultados a través de la experimentación. Su legado matemático es enorme, con gigantes como Bernhard Riemann, George Cantor y Henri-Léon Lebesgue siguiendo su trabajo en análisis matemático. 

En 1817, Fourier fue elegido para la reconstituida Académie des Sciences después de algunos problemas políticos. Poco a poco avanzó en su carrera, a pesar de su enemistad con Siméon Denis Poisson y la oposición de los realistas. Sus honores posteriores incluyen la elección para la Académie Française en 1827 y la elección como miembro extranjero de la Royal Society. A lo largo de su vida ganó el apoyo de muchos amigos a través de su apoyo desinteresado y aliento, y ayudó a muchos matemáticos y científicos en sus últimos años.

Mientras estaba en Egipto, había desarrollado alguna enfermedad, posiblemente mixedema, por lo que cada vez más estaba confinado a su propio cuarto caliente. El 4 de mayo de 1830 tuvo un ataque mientras bajaba unas escaleras en su casa de París. Él murió 12 días después. Sin duda es uno de los mejores matemáticos, ya que el análisis de Fourier es un método enormemente exitoso en ingeniería y estadística; sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales, llamadas análisis armónico, son una rama hermosa y próspera de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Ronald Aylmer Fisher nació en una gran familia de orígenes comunes; antes de su muerte recibiría numerosos honores y recibiría el título de caballero. Este talentoso hombre, a quien muchos describirían como un genio, hizo varias contribuciones importantes a la teoría de la estadística. De hecho, las teorías de la prueba de hipótesis, el análisis de la varianza, el diseño experimental y la estimación están muy en deuda con sus trabajos.  

Los hijos gemelos nacieron el 17 de febrero de 1890, en Londres, Inglaterra, en manos del padre de Fisher, un subastador británico. Uno de ellos murió pronto, y Ronald fue el sobreviviente. En los años siguientes desarrolló sus dones matemáticos, dirigiendo toda su energía en esta dirección. Estudió en Cambridge de 1909 a 1912, concentrándose en matemática y física teórica. Después de su graduación, Fisher tomó diversos empleos no relacionados con la matemática, y en 1917 se casó con Ruth Eileen Guiness, que le dio ocho hijos. Fisher era excéntrico, y con su elocuente lengua causaba una fuerte impresión en la mayoría de las personas que conocía. Sin embargo, a pesar de ser amable con sus seguidores, podía ser bastante agresivo con sus rivales. De hecho, Fisher cosechó muchos enemigos a través de su hostilidad revelada hacia los disidentes, expresada a través de mordaces comentarios personales. 

Fisher comenzó su carrera matemática cuando se unió a la Rothamsted Experimental Station en 1919, con la tarea de clasificar y analizar numerosos datos de campo. Durante su tiempo en Rothamsted, Fisher se establecería como un estadístico líder; más tarde se convertiría en profesor de eugenesia en el University College y profesor de genética en Cambridge. Su primera contribución a la matemática fue el descubrimiento de las distribuciones de muestreo de diversas estadísticas, como el coeficiente de correlación. La distribución de muestreo es importante, ya que le dice al practicante cuán poco probable sería un valor extremo de una estadística, calculado en un conjunto de datos. Fisher desarrolló el trabajo de William Gosset sobre estadística t, construyendo una teoría completa de pruebas de hipótesis para muestras pequeñas. La prueba de hipótesis es ahora un gran componente de la teoría estadística, y es básicamente una formulación matemática de los métodos mediante los cuales la civilización occidental ha perseguido la ciencia empírica. 

Posteriormente, Fisher desarrolló una extensión de la prueba t para múltiples grupos llamada ANOVA (análisis de varianza), ahora uno de los procedimientos estadísticos más utilizados por investigadores médicos e industriales. Dados varios grupos de datos, cada uno separado por un factor (como hombres y mujeres o tipo de sangre), el procedimiento ANOVA evalúa si existen diferencias significativas entre los grupos. Fisher señaló además que la consideración de varios factores simultáneamente (por ejemplo, uno podría variar el género y el tipo de sangre al mismo tiempo) no solo era posible sino que también era crucial para determinar si los factores se afectaban entre sí. Estas contribuciones al diseño experimental son vistas por muchos como las más importantes de todas las que Fisher ha hecho, y de hecho, estas ideas y procedimientos son ampliamente utilizados en toda la ciencia. 

En términos de teoría, Fisher deseaba colocar la estadística sobre una base matemática firme. En el documento “Sobre la base matemática de las estadísticas teóricas” (1922) desarrolló una teoría sensible de la estimación. El tema central fue el siguiente: dada una colección de datos numéricos, ¿cómo se puede resumir, con un número o estadística, una característica particular de las mediciones de la “mejor” manera posible? Fisher formuló los siguientes criterios para una “buena” estadística: debe ser consistente (mayor precisión con mayor tamaño de muestra), eficiente (precisa) y suficiente (se ha utilizado toda la información relevante). Hizo que el concepto de “información” fuera cuantitativo, lo que dio un método para medir la cantidad de orden dentro de los datos. 

Además de hacer la teoría de la estimación más rigurosa y estructurada, Fisher desarrolló matemáticamente el concepto de error estándar. Típicamente, las estimaciones estarían acompañadas por una banda de valores “más o menos”, que formaría un intervalo alrededor de la estimación. Fisher asociaría una probabilidad a cada intervalo; si el intervalo se ampliara, la probabilidad aumentaría hacia uno. La probabilidad era la posibilidad de capturar el parámetro deseado dentro del intervalo. De esta manera, uno podía cuantificar rigurosamente “qué tan bueno” era un intervalo. Como este procedimiento implicaría la ubicación probable de un parámetro, que se suponía que era fijo y desconocido, surgió una controversia entre la escuela de pensamiento de Fisher y sus oponentes. El debate todavía continúa hoy, entre los estadísticos bayesianos  y los frecuentistas.  

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Ronald Fisher también trabajó extensamente en el campo de la genética, y estaba particularmente interesado en la teoría de la selección natural. Formuló un “teorema fundamental de la selección natural”, que establecía que “la tasa de aumento en la aptitud de cualquier organismo en cualquier momento es igual a su varianza genética en la aptitud en ese momento”. Su trabajo, por lo general, era una mezcla de teoría y práctica, y condujo algunos experimentos de crianza en su propio hogar.  

Más tarde en la vida, Fisher recibió muchos honores: en 1929 fue elegido miembro de la Royal Society, y en 1952 recibió el título de caballero. En 1959 se retiró de su puesto en Cambridge y se mudó a Australia. Allí pasó sus últimos tres años trabajando en estadística matemática en la Commonwealth Scientific and Industrial Research Organization. Murió en Adelaide, Australia, el 29 de julio de 1962.  

Fisher es famoso entre los estadísticos modernos por su trabajo sobre los fundamentos matemáticos de la estadística. También es conocido por su investigación en genética. Muchos objetos estadísticos, como el Criterio de información de Fisher, se pueden atribuir a su genio, y el campo moderno de las estadística matemática se basa en gran parte en su trabajo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Después del resplandor de la luz en Grecia durante la era clásica, una gran oscuridad intelectual y cultural consumió a Europa; Leonardo Fibonacci reavivó esa luz durante las primeras sacudidas del Renacimiento italiano, y esa iluminación estaba destinada a crecer más en la brillante armonía de los logros matemáticos actuales. Ciertamente, otros hicieron contribuciones importantes en siglos anteriores en otras partes del mundo, pero Fibonacci fue el primer gran matemático del Occidente cristiano. Como personaje renacentista, revivió el interés por la literatura y los valores clásicos y, en particular, renovó la apreciación del conocimiento matemático. 

Leonardo Fibonacci era un miembro de la familia Bonacci, nacido en Pisa, Italia, de Guglielmo Bonacci. Solo tenemos una estimación de la fecha de su nacimiento, 1170, ya que hay pocos registros de los detalles de su vida; una de las principales fuentes es su propio libro, Liber Abbaci (Libro del ábaco). Fue apodado Bigollo, un término que designa a un holgazán, que puede haber sido un epíteto lanzado por aquellos que pensaban ligeramente acerca del valor del trabajo matemático. Su padre era un funcionario en la República de Pisa, y en 1192 recibió una comisión para dirigir una colonia comercial pisana en Argelia. El joven Fibonacci acompañó a su padre, que esperaba educar a su hijo en las artes del cálculo para poder algún día convertirse en comerciante. Fibonacci superó con creces las expectativas de su padre. 

La instrucción en África de un maestro árabe era bastante buena, probablemente mucho mejor que en Europa, y Fibonacci encontró los “nuevos” números hindúes. Estos números eran simbólicamente bastante similares a los dígitos modernos, y consistían en 10 números distintos, que podían describir cualquier cantidad meramente a través de un arreglo apropiado (lo mismo que el sistema numérico moderno). En ese momento en Europa, la mayoría de los comerciantes aún utilizaban números romanos, por lo que los cálculos de suma y multiplicación eran mucho más difíciles. Fibonacci dominó rápidamente este sistema numérico superior. En los años siguientes, viajó extensamente, incluso por Egipto, Grecia, Sicilia, Siria y Provenza, en la búsqueda de su vocación mercantil, y en todas las ciudades se debatiría con los eruditos locales sobre sus métodos de cálculo. A través de estas disputas, Fibonnaci llegó a ver que estos otros hombres cultos, que no entendían el sistema hindú, estaban en una gran desventaja matemática, y a menudo estaban equivocados. 

Estas experiencias fueron cruciales para el crecimiento intelectual de Fibonacci. En 1200 regresó a su ciudad natal y trabajó durante los siguientes 25 años en el cálculo con números hindúes. Debido a su experiencia en los negocios, se vio impulsado por atender preocupaciones prácticas, y por lo tanto sus investigaciones se vieron motivadas por el deseo de aplicarlas a asuntos comerciales; sin embargo, también realizó un considerable trabajo teórico en álgebra y geometría. 

En 1202 se completó el Liber Abbaci de Fibonacci; como el ábaco que aparece en su título, este trabajo se centró en el cálculo. Se agregó un nuevo material en una segunda versión en 1228. La primera sección trataba sobre los números romanos y los cálculos con los dedos, luego se introdujeron los números de la India, junto con la barra de fracción. La siguiente porción era principalmente relevante para los comerciantes, y se asemejaba a un almanaque: había información sobre el precio de los bienes, el cálculo de los intereses y los salarios, la medición de cantidades y el intercambio de monedas. La tercera sección contenía acertijos y enigmas matemáticos, y reglas para la suma de series (por ejemplo, había una fórmula para la suma de una serie geométrica). 

Un problema famoso se enuncia de la siguiente manera: dado un par de conejos, tardan un mes en madurar y luego producen un par de crías cada mes, ¿cómo aumenta la población? Suponiendo que los descendientes maduran de la misma manera que sus padres, la población mensual sigue la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . Estos números, ahora conocidos como la sucesión de Fibonacci, son uno de los primeros ejemplos de recursión, ya que cada término es igual a la suma de los dos términos anteriores. La recursividad, el concepto de que la definición de una cosa depende de sí misma (o al menos de su pasado), es un concepto poderoso en la matemática moderna, la informática y la filosofía. 

Aún más importante para la historia de la matemática es la introducción de Fibonacci de los números negativos. Antes de este tiempo, los comerciantes tenían un concepto de resta como una forma de mantener un registro de su inventario. Pero dado que era imposible tener un inventario negativo, el concepto de número negativo no tenía sentido para ellos. Por ejemplo, dirían que la ecuación (aunque no la escribirían de esta manera) x+2=1 no tiene solución. Sin embargo, Fibonacci usó números negativos, considerados débitos o deudas, para resolver ecuaciones, y parece que fue el primero en hacerlo. Otros que vinieron después de él formalizarían la noción de un número negativo y construirían los enteros. Es interesante notar que algunos conceptos matemáticos que ahora se dan por descontados, como los números negativos, alguna vez fueron muy misteriosos, y se requirió de genio y creatividad para llegar a la nueva idea. Ciertamente, los contemporáneos de Fibonacci captaron la idea lentamente. 

La cuarta sección de este libro trataba del cálculo de radicales, usando fórmulas de aritmética de los Elementos de Euclides de Alejandría, y contenía ejemplos del antiguo método de aproximación. Por ejemplo, para aproximar pi, los antiguos encontrarían dos fracciones, una un poco más pequeña (como 223/71) y la otra un poco más grande (como 220/70) que pi, que podían calcularse fácilmente. En general, el Liber Abbaci es notable por la riqueza de sus ejemplos y el rigor de las demostraciones. Fibonacci era un maestro en su arte, y presentaría varios métodos diferentes de solución, incluidos enfoques algebraicos y geométricos. 

Fibonacci también escribió Practica Geometriae (Práctica de la geometría) en 1220 o 1221, que obviamente se centra en geometría. Apelando a los Elementos de Euclides, resuelve problemas de raíz cuadrada y cúbica, y da varios cálculos de segmentos y superficies de figuras planas. Una aproximación de pi se da al inscribir un polígono regular de 96 lados. También hay algunas instrucciones prácticas para el inspector de campo; por ejemplo, da instrucciones para el uso del “archipendulum”, un instrumento geodésico utilizado para encontrar proyecciones horizontales de líneas rectas que se encuentran en una colina inclinada. 

Fibonacci también hizo un gran progreso en el análisis indeterminado, el estudio de varias ecuaciones en varias incógnitas. En Flos (1225) y Liber Quadratorum (Libro de números cuadrados) (1225) demuestra su facilidad con la teoría de números, planteando y resolviendo varios problemas antiguos de análisis indeterminado. En 1225 fue presentado al emperador Federico II, y sus últimos escritos fueron en respuesta a las preguntas formuladas por el filósofo imperial Teodoro. El último registro de Fibonacci data de 1240, cuando su ciudad le otorgó un salario anual por su asesoramiento sobre prácticas contables. 

Ciertamente, Fibonacci desempeñó un papel fundamental en el renacimiento de la matemática en Europa Occidental. Su presentación sistemática del conocimiento nuevo y antiguo, moviéndose fluidamente de problemas más fáciles a más difíciles, ayudó a la diseminación de ideas matemáticas. Más importante aún, a través de Fibonacci surgió un nuevo concepto de número en Occidente. Su aprobación de los numerales hindúes fue crucial para avanzar en la ciencia del cálculo, pero fue el primero en reconocer cantidades negativas, así como el cero, como números genuinos. Además, su uso de un símbolo o letra como una representación abreviada de un número genérico fue un paso importante hacia el álgebra moderna, que es abstracta y totalmente simbólica. Fibonacci estaba familiarizado con los textos árabes, que habían preservado la flor del empeño matemático griego; al transmitir y sistematizar este material, Fibonacci revivió el interés en los clásicos. En los años siguientes, los matemáticos europeos harían avances maravillosos desde los fundamentos griegos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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