A mediados del siglo XVI en Italia había mucho interés y debate sobre la solución del polinomio cúbico o de tercer grado. Antes de la publicación en aproximadamente 1545 del polémico libro de Girolamo Cardano, Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus (también conocido como Ars Magna), Scipione del Ferro ya había descubierto la solución general de ciertas ecuaciones cúbicas algunas décadas antes.
Scipione del Ferro nació el 6 de febrero de 1465 en Bolonia, Italia. Su padre era Floriana Ferro, un fabricante de papel, y su madre se llamaba Filippa. De su educación temprana no se sabe nada, pero Del Ferro se convirtió en profesor de aritmética y geometría en la Universidad de Bolonia, donde permaneció desde 1496 hasta 1526. Del Ferro estuvo activo como empresario en los años 1517 a 1523. Murió el 5 de noviembre. de 1526 en Bolonia.
No dejó escritos detrás de él, pero otras fuentes lo declaran un gran algebrista y aritmético. De todos sus logros, el más famoso es su solución de la cúbica de la forma . El descubrimiento de una fórmula para las soluciones de tal ecuación había eludido a los matemáticos desde la antigüedad; los griegos estaban fascinados por este problema. En el siglo XV, a pesar de mucho esfuerzo después de la época de Leonardo Fibonacci, se pensaba que era imposible alcanzar una fórmula tal. El camino al descubrimiento de Del Ferro solo puede conjeturarse, pero probablemente se basó en el Liber abbaci (Libro del ábaco) de Fibonacci. Parece que su logro tuvo lugar dentro de las dos primeras décadas del siglo XVI, pero Del Ferro no dio ninguna evidencia impresa. Más bien transmitió su técnica en forma oral a ciertas personas.
Uno de estos herederos, Antonio Maria Fior, se vio involucrado en una disputa en 1535 con Niccolò Tartaglia, en la cual Fior usó su conocimiento de la solución de la cúbica para obtener ventaja. Este último fue incitado a hacer su propio descubrimiento de la solución a la cúbica, aunque sin que Tartaglia lo supiera, Del Ferro tenía prioridad. En 1542, Annibale dalla Nave -el sucesor de Del Ferro- reveló el método a Cardano, quien posteriormente lo incluyó en su Ars Magna de 1545.
Del Ferro también contribuyó al conocimiento del álgebra mediante el estudio de fracciones con denominadores irracionales. El problema de racionalizar el denominador se remonta a Euclides de Alejandría, que consideró las raíces cuadradas, pero Del Ferro fue el primero en considerar números irracionales más complicados, como los relacionados con las raíces cúbicas. Del testimonio de Ludovico Ferrari, se sabe que Del Ferro también investigó la geometría del compás, aunque no está claro qué contribuciones hizo.
Del Ferro fue sin duda uno de los algebraicos más exitosos de su tiempo, aunque todo el conocimiento moderno de él es de segunda mano. Su solución de la cúbica fue el primer gran paso en una larga progresión de intereses matemáticos; el interés en preguntas relacionadas a esta temática eventualmente daría lugar a la elegante teoría de campos numéricos de Galois.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
Uno de los problemas matemáticos candentes del siglo XVI era la solución del polinomio cúbico (o de tercer grado); los matemáticos buscaban una fórmula general, en términos de los coeficientes, que produjera la respuesta al instante. Algunos de los personajes famosos en esta búsqueda intelectual fueron Girolamo Cardano, Niccolò Tartaglia, Scipione del Ferro y Ludovico Ferrari. Éste último probablemente hizo la contribución más sustancial de ese momento para resolver las ecuaciones cúbicas y cuárticas.
Ludovico Ferrari nació en Bolonia, Italia, el 2 de febrero de 1522. Su padre, Alessandro Ferrari, era un refugiado de Milán, y cuando murió Ludovico se fue a vivir con su tío. En 1536 viajó a Milán para servir en la casa de Girolamo Cardano, donde pudo recibir educación. Ferrari era muy inteligente, y rápidamente absorbió el latín, el griego y la matemática.
En 1540, Ferrari fue nombrado conferenciante público en Milán, y pronto derrotó a un matemático en competencia en una disputa pública. Colaboró con Cardano en su investigación sobre las ecuaciones cúbicas y cuárticas, y los resultados fueron publicados en Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus (también conocido como Ars Magna [Gran Arte]) en 1545. Debido a que Cardano publicó allí información que Tartaglia le había revelado bajo juramento de secreto, Tartaglia se enfureció por la traición y, como resultado, estalló una disputa. Cardano afirmó que Scipione del Ferro ya conocía el método secreto de Tartaglia para resolver cierta cúbica, y que, por lo tanto, era un conocimiento esencialmente público. Tartaglia sostuvo que Cardano había robado su investigación. Ferrari defendió vigorosamente a su mentor y refutó la defensa pública de Tartaglia a través de una serie de cartas (que estaban plagadas de ataques personales), y finalmente a través de una disputa pública en 1548. Este debate, presidido por el gobernador de Milán, parece haber sido ganado por Ferrari, que probablemente fue un matemático superior a Tartaglia.
El método de Ferrari para resolver un determinado tipo de cuártica (o polinomio de cuarto grado) implicó la introducción de una segunda variable, que tenía que cumplir ciertas restricciones. Las restricciones de esta segunda variable conducían a una ecuación cúbica. Con este ingenioso método, Ferrari podía primero resolver la cúbica derivada y luego pasar a resolver la cuártica original.
Como se puede deducir de sus cartas, el personaje de Ferrari fue leal y belicoso. Su manejo de Tartaglia fue beligerante, pero esto puede deberse a su vínculo personal con su antiguo maestro Cardano. Como resultado del éxito de Ferrari en la disputa con Tartaglia, recibió muchas ofertas de empleo, y aceptó convertirse en el tutor del hijo del cardenal de Mantua. Llevó a cabo una encuesta en la provincia de Milán, y después de ocho años se retiró a Bolonia debido a problemas de salud. En 1564 obtuvo un puesto en la Universidad de Bolonia, que mantuvo hasta su muerte, el 5 de octubre de 1565, en Bolonia, Italia.
De los matemáticos de la época, Ferrari fue probablemente el mejor en resolver ecuaciones polinomiales. Su trabajo constituiría algunos de los primeros pasos en el gran esfuerzo para resolver polinomios de cuarto y quinto grado; estos problemas serían definitivamente resueltos por Niels Henrik Abel y Evariste Galois en el siglo XIX.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
Pierre de Fermat es conocido como uno de los matemáticos más grandes del siglo XVI, que hizo contribuciones a los fundamentos del cálculo, la probabilidad y la teoría de números. En este último tema su influencia es particularmente famosa, ya que su investigación sobre la divisibilidad y las propiedades de los números primos alimentaría más tarde la investigación de los siglos XIX y XX.
Pierre de Fermat nació en Beaumont-Lomagne, Francia, el 20 de agosto de 1601. Su padre, Dominique Fermat, era un próspero comerciante, mientras que su madre, Claire de Long, era una mujer noble. Como resultado del pedigrí de su madre, Fermat disfrutó de un alto estatus social y más tarde eligió la profesión de abogado. Recibió una educación secundaria clásica, y probablemente estudió en la Universidad de Toulouse. En cualquier caso, sin duda vivió en Burdeos a finales de 1620, y en este momento comenzó sus investigaciones matemáticas.
Fermat recibió el grado de licenciado en leyes civiles de la Universidad de Orleans en 1631, y se embarcó en su carrera legal en el parlamento local. El mismo año, Fermat se casó con su prima Louise de Long, con quien tuvo cinco hijos. Parece que Fermat disfrutaba de prosperidad financiera, y se le permitió el privilegio, como miembro de la aristocracia, de agregar «de» a su apellido. Sin embargo, su actuación en su oficina no fue satisfactoria, y Fermat avanzó solo a través de la muerte de sus colegas profesionales. En 1642 ascendió a los consejos más altos del parlamento, luego sirvió como presidente de la Chambre de l’Édit, que tenía jurisdicción sobre demandas legales entre hugonotes y católicos. Fermat fue un devoto católico a lo largo de toda su vida.
Fermat disfrutó de cierta fama como matemático durante su propia vida, aunque su renuencia a publicar lo mantuvo alejado del renombre que podría haber obtenido. También tenía fama de ser un erudito clásico, ya que dominaba varios idiomas. Gozó de buena salud, sobrevivió a un ataque de peste en 1652 y murió en Castres el 12 de enero de 1665.
El desarrollo de Fermat como matemático puede haber comenzado durante su período de Burdeos, momento en el que se familiarizó con las obras de François Viète. De Viète fue que Fermat adquirió la nueva álgebra simbólica, así como la concepción del álgebra como una herramienta útil para problemas geométricos. Fermat buscó basarse en los conceptos de Viète, incluida la capacidad de resolver y construir ecuaciones determinadas; su método a menudo implicaba reducir un problema dado a una clase conocida de problemas (muy parecido a un tipo de inducción inversa). Al principio, Fermat dependía en gran medida de los antiguos griegos para obtener ideas sobre análisis matemático, pero a menudo generalizaba los problemas originales considerados, utilizando el análisis de reducción y su genio natural para llegar a soluciones generales.
En la primavera de 1636, Fermat ya había completado su Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a planos y sólidos), un trabajo que establece una geometría analítica que era extremadamente similar a la Géométrie (Geometría) de 1639 de René Descartes. Aunque estos trabajos fueron virtualmente idénticos en el uso de ecuaciones algebraicas para describir curvas geométricas, la cuestión de la prioridad no está resuelta, ya que cada matemático estaba trabajando independientemente. Fermat partió de los trabajos de Pappus de Alejandría y Apolonio de Perga, y se dio cuenta de que los loci de puntos discutidos por este último podían describirse mediante ecuaciones algebraicas en dos incógnitas. Luego empleó un solo eje con origen y ordenada en movimiento (similar al método gráfico de Descartes, que no involucraba coordenadas) para describir una curva dada. Luego, Fermat consideró la ecuación general de segundo grado re dirigiéndola a siete formas irreducibles (o casos especiales), que incluían líneas, hipérbolas, elipses, parábolas y círculos. La presentación de Fermat difería sustancialmente de la de Descartes, quien pasó por alto el tema de la construcción y se centró en una teoría avanzada de ecuaciones. Siguiendo las implicaciones de su investigación después de 1636, Fermat demostró la solución gráfica de ecuaciones algebraicas determinadas. En 1643 trató de extender sus métodos a sólidos de revolución (los sólidos obtenidos al hacer girar una curva sobre un eje fijo). Este último esfuerzo no tuvo éxito, ya que Fermat aún no tenía las herramientas de un sistema de coordenadas tridimensional, aunque estableció la base algebraica correcta para dicho sistema de geometría sólida. Fermat estableció la conexión entre la dimensión y el número de incógnitas, una contribución conceptual importante a la matemática del siglo XVII.
Fermat también desarrolló un método de cálculo de máximos y mínimos de curvas, que esencialmente implicaba un cálculo de la derivada de un polinomio. Sin embargo, Fermat no utilizó ningún infinitesimal en su método, y por lo tanto su trabajo fue periférico a los fundamentos del cálculo. Utilizando su técnica, Fermat pudo determinar los centros de gravedad para figuras geométricas, así como la formación de rectas tangentes para una curva determinada. Este trabajo se convirtió en un punto central en un debate de 1638 con Descartes, quien criticó el trabajo de Fermat porque rivalizaba con sus propia matemática establecida en su Géométrie. Aunque finalmente hicieron las paces cuando Descartes admitió que su crítica a la obra de Fermat era inválida, los dos hombres permanecieron en conflicto; la reputación de Fermat, quien se negó rotundamente a publicar su obra, sufrió como resultado.
La cuadratura de curvas (es decir, el cálculo del área bajo una curva por medio de su aproximación por rectángulos) también fue estudiada por Fermat, quien amplió las labores de Arquímedes de Siracusa sobre la espiral. Fermat fue capaz de aproximar un área determinada con una precisión arbitraria (a través del número de rectángulos elegidos), y así calcular el área debajo de ciertos polinomios simples. Al principio, su estilo era geométrico, basándose en figuras cuidadosamente dibujadas, pero luego adoptó un enfoque más algebraico. Sus diversos resultados sobre cuadraturas finalmente circularon en 1679, y para entonces ya estaban obsoletos, en vista del trabajo más completo de Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Parece que Fermat no se dio cuenta de que el método de las tangentes y la cuadratura eran inversos entre sí, y este trabajo ejerció poca influencia en la matemática posterior.
Fermat es mejor conocido por su trabajo en teoría de números, que fue en gran parte descuidado por sus colegas del siglo XVII. Sus trabajos fueron completamente ignorados hasta que Leonhard Euler revivió el interés en el número; finalmente, en el siglo XIX Carl Friedrich Gauss y otros demostraron muchos de los resultados importantes y establecieron la teoría de números como un campo moderno de investigación matemática. Fermat estaba interesado en soluciones enteras de ecuaciones algebraicas, y su investigación inicial se centró en la divisibilidad y el estudio de los números primos. Sus métodos no son conocidos, porque la mayoría de sus resultados fueron escritos en cartas a amigos o en los márgenes de otros libros; aparentemente, Fermat usó la criba de Eratóstenes de Cirene como criterio de excelencia. Derivó varios teoremas importantes (sin pruebas), investigando la descomposición de primos como sumas de cuadrados. En este sentido, Fermat estaba interesado en soluciones enteras para donde es al menos dos. El hecho (probado recientemente por Andrew Wiles en 1994) de que no hay soluciones para mayores que dos se conoce como el Último Teorema de Fermat; él anotó esta conjetura en el margen de uno de sus libros.
Una técnica que Fermat aplicó repetidas veces era el método del descenso infinito: argumentaba por contradicción, construyendo una sucesión infinita de enteros decrecientes (positivos), que no podían existir. La principal importancia del trabajo de Fermat en teoría de números es el estímulo que le dio a la investigación a fines del siglo XVIII y XIX.
Fermat también contribuyó al estudio de la óptica (sobre cuyo tema también debatió con Descartes, oponiéndose a su razonamiento a priori), y se le atribuye, junto con Blaise Pascal, como el fundador de la teoría de la probabilidad. A través de una serie de cartas escritas durante 1654, estos dos matemáticos intercambiaron una variedad de preguntas sobre probabilidad, como por ejemplo, cómo dividir justamente las apuestas de un juego interrumpido. Aunque sus métodos diferían un tanto (Fermat hacía cálculos directos en lugar de derivar fórmulas generales), ambos usaron el concepto de «ganancias esperadas», definido a través de la expectativa matemática.
Los últimos años de la vida de Fermat vieron poca interacción con otros matemáticos, ya que dedicaba cada vez más su tiempo libre a la teoría de números. Aunque su trabajo, especialmente sus esfuerzos en teoría de números, mereció el reconocimiento de sus colegas, Fermat cayó en una oscuridad creciente debido a su renuencia a publicar. Después del siglo XVII fue completamente olvidado, hasta que fue redescubierto por Euler y otros en el siglo XIX, cuando el renovado interés en la teoría de números se inspiró en su intelecto.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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es al menos dos. El hecho (probado recientemente por Andrew Wiles en 1994) de que no hay soluciones para 
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