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Archive for 6 junio 2018

La teoría de ecuaciones integrales, que se ocupa de encontrar una función desconocida que satisfaga una ecuación que involucra su integral, tiene amplias aplicaciones a la física matemática, y se ha convertido en un campo de interés por derecho propio. Ivar Fredholm hizo algunas contribuciones significativas en este campo, y su trabajo ha alcanzado una importancia clásica para esta rama de la matemática. 

Ivar Fredholm nació en Estocolmo, Suecia, el 7 de abril de 1866, hijo de una familia de clase alta. Su padre era un rico comerciante, y su madre provenía de la élite de Suecia; como resultado, Fredholm recibió la mejor educación. Mostró su brillantez a una temprana edad, pasando su bachillerato en 1885. Un año en el Instituto Politécnico de Suecia fomentó un interés perdurable en la matemática aplicada y la mecánica práctica. Se matriculó en la Universidad de Uppsala al año siguiente, obtuvo su licenciatura en ciencias en 1888 y su doctorado en 1898. Fredholm también tomó clases en la Universidad de Estocolmo, estudiando con el reconocido Magnus Mittag-Leffler, y recibió un puesto allí en 1898; en 1906 se convirtió en profesor de física matemática. Murió el 17 de agosto de 1927 en Estocolmo. 

La tesis de Fredholm trataba un tema de teoría de ecuaciones diferenciales parciales, que tenía aplicaciones al estudio de deformaciones de objetos sometidos a fuerzas interiores o exteriores. Una década más tarde, Fredholm generalizó por completo su trabajo para resolver la ecuación diferencial parcial elíptica general (un tipo particular de ecuación diferencial). 

Fredholm adquirió fama por su solución de la llamada ecuación integral de Fredholm, que tiene amplias aplicaciones en física; por ejemplo, estas ecuaciones surgen en el estudio de la membrana vibratoria. Muchos matemáticos, como Niels Henrik Abel y Vito Volterra, ya habían atacado este problema con un éxito parcial. Fredholm presentó una solución completa en 1903 después de reconocer una analogía fundamental entre la ecuación de Fredholm y una ecuación de matrices; esta observación se convertiría más tarde en una piedra angular en el análisis funcional. Al examinar la analogía del determinante de la matriz para el operador integral, Fredholm fue capaz de formular condiciones precisas bajo las cuales la ecuación era incluso resoluble, y de dar una fórmula para la solución cuando existía. 

Este trabajo ciertamente constituye un hito en el análisis funcional y la teoría de las ecuaciones integrales. Cuando estos avances se comunicaron a David Hilbert, éste se inspiró para avanzar en el estudio de estas ecuaciones; poco después, Hilbert inventó una teoría de autovalores para operadores integrales, en analogía con matrices, y construyó los llamados espacios de Hilbert. Por lo tanto, Fredholm inspiró la construcción de algunas de las herramientas más valiosas del análisis funcional.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El análisis funcional surgió en el siglo XX gracias al genio de varios matemáticos. René-Maurice Fréchet fue uno de estos individuos importantes. Fréchet fue el primero en presentar una noción de topología (el estudio de las funciones continuas y sus efectos en superficies de dimensión alta) para los nuevos espacios funcionales, y sus ideas abstractas se convirtieron en fundamentales para el posterior desarrollo de este campo. 

Fréchet nació el 10 de septiembre de 1878, en Maligny, Francia. Era el cuarto de seis hijos, y sus padres eran protestantes de clase media. Su padre, Jacques Fréchet, era director de un orfanato, pero más tarde se convirtió en maestro de escuela cuando la familia se mudó a París. La madre de Fréchet, Zoé, dirigía una pensión para extranjeros. En el Lycée Buffon de París, Fréchet aprendió matemática de Jacques Hadamard, que reconoció el talento en ciernes del joven. 

Fréchet ingresó a la École Normale Supérieure en 1900 y se graduó tres años después. Durante este tiempo conoció a Émile Borel, y esto se convirtió en una amistad para toda la vida. Fréchet continuó sus estudios bajo la tutela de Hadamard, y completó su disertación en 1906 sobre el tema del cálculo funcional. El estudio de los funcionales era un tema nuevo, y Fréchet introdujo nociones topológicas en el espacio de los funcionales de varias maneras novedosas. En particular, Fréchet pudo definir las nociones de continuidad y límite para estos funcionales. Al generalizar el trabajo de George Cantor para los espacios funcionales, Fréchet pudo definir las nociones de compacidad, separabilidad e integridad que se encuentran en los espacios de puntos. Estas ideas tempranas se convirtieron luego en elementos fundamentales de la teoría moderna del análisis funcional. Hoy en día, el análisis funcional se utiliza en una amplia variedad de aplicaciones de ingeniería y estadística, y es en gran parte responsable del rápido avance de muchas tecnologías (por ejemplo, mediar el efecto de la turbulencia del viento en el vuelo de las aeronaves) de nuestros días. 

Fréchet finalmente obtuvo una cátedra en la Universidad de Poitiers en 1910. Durante la Primera Guerra Mundial, se desempeñó como intérprete del ejército británico. Después de la guerra dirigió el Instituto de Matemática de la Universidad de Estrasburgo en 1919. Se casó con Suzanne Carrive en 1908, y tuvieron cuatro hijos.  

Mientras tanto, Fréchet continuó su investigación en análisis funcional, estableciendo el teorema de representación para funcionales lineales continuos en 1907, que Frigyes Riesz descubrió independientemente. Fréchet generalizó la noción de derivada del cálculo ordinario a operadores en espacios funcionales y también extendió las ideas de integración de Johann Radon y Henri-Léon Lebesgue a espacios sin una topología. También desarrolló algunos de los primeros espacios topológicos abstractos a partir de ciertos axiomas establecidos. Estos resultados son ahora clásicos en el campo del análisis funcional y en topología. 

Fréchet se mudó a la Universidad de París en 1928, donde enseñó matemática hasta su retiro en 1949. Durante este período, se centró en probabilidad y estadística, utilizando el análisis funcional como una herramienta para resolver varios problemas concretos de ese área. Sin embargo, este trabajo no fue igual en originalidad a sus primeras contribuciones a la topología de los espacios funcionales. Murió en París el 4 de junio de 1973.  

El trabajo de Fréchet recibió elogios de sus colegas en América, y recibió varios honores durante su vida, siendo miembro de la Royal Society of Edinburgh y miembro honorario de la Edinburgh Mathematical Society. Hadamard, en un informe de 1934 a la Academia de Ciencias, anunció que el trabajo de Fréchet en análisis funcional, en términos de abstracción y generalidad, podría ser comparado con los trabajos pioneros de Evariste Galois en la teoría de campos algebraicos. Ciertamente, los resultados de Fréchet dieron una base topológica firme al análisis funcional, que ha demostrado ser una de las herramientas más útiles de la matemática moderna, con múltiples aplicaciones en estadística e ingeniería.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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