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Archive for 31 agosto 2018

El matemático árabe y filósofo natural Abu Ali al-Haytham, también conocido como Alhazen, desempeñó un papel importante en la preservación y transmisión del conocimiento clásico de los griegos. Hizo numerosas contribuciones a la óptica y la astronomía, investigando la luz, la visión, la refracción, los relojes de sol y la altura de las estrellas. En matemática, es conocido por su tratamiento del “problema de Alhazen”, donde se basa en el conocimiento de sus predecesores griegos y árabes. 

Poco se sabe de la vida temprana de al-Haytham, y muchas de las versiones de su mediana edad son contradictorias. Aparentemente, dejó Irak durante el reinado del califa egipcio al-Hakim, que había fundado una famosa biblioteca en El Cairo. Al-Haytham, ya famoso matemático, había hecho la afirmación de que podía regular el flujo de las aguas en el Nilo a través de ciertas construcciones; el califa egipcio lo invitó a Egipto a llevar a cabo su jactancia. Al-Haytham había basado su afirmación en la suposición de que el Nilo superior ingresaba a Egipto en terreno elevado, y pronto descubrió que su proyecto sería imposible debido a un terreno inesperadamente diferente. Avergonzado y temeroso de las represalias, confesó su fracaso al califa, que lo puso a cargo de una oficina gubernamental. Allí, al-Haytham fingió estar loco, temiendo la ira del caprichoso califa, y estuvo confinado en su casa hasta la muerte de al-Hakim. Luego, al-Haytham reveló su cordura y pasó el resto de su vida escribiendo textos científicos y enseñando a estudiantes. 

Otro cuento relata que al-Haytham primero ocupó el cargo de ministro en Basora, pero para dedicarse puramente a la búsqueda de la ciencia y el aprendizaje fingió la locura para escapar de sus deberes oficiales. Luego viajó a Egipto, donde pasó su vida en la Mezquita Azhar, haciendo copias de los Elementos de Euclides de Alejandría una vez al año. Murió alrededor del año 1040 en El Cairo. 

En su autobiografía, al-Haytham reflexionó sobre sus dudas con respecto a varias sectas religiosas y se convenció de que solo podía haber una verdad. Se volvió hacia las ciencias filosóficas de la matemática, la física y la metafísica como temas en los que la verdad podría obtenerse más fácilmente mediante la investigación racional a la manera de Aristóteles. Al-Haytham escribió sobre muchos temas, incluidos la lógica, la ética, la política, la poesía, la música y la teología. Logró fama en la matemática por su tratamiento del “problema de Alhazen”, que se refiere al reflejo de la luz en una superficie. Si se toman dos puntos en la superficie reflectante, ya sea plana o curva, el problema es encontrar una tercera posición en la superficie donde la luz de un punto se reflejará en la otra. Claudio Ptolomeo había demostrado que existe un punto único para los espejos esféricos cóncavos. Al-Haytham se propuso resolver el problema para todas las superficies esféricas, cilíndricas y cónicas, ya sean convexas o cóncavas. Aunque no siempre tuvo éxito, demostró su gran facilidad con las matemáticas griegas superiores. Su solución general se basa en seis lemas geométricos; aplicaría estos lemas en sucesión a varios tipos de superficies. Estas soluciones están incluidas en su Optics

Alrededor de otras 20 escrituras de al-Haytham tratan completamente sobre matemática. Algunas de ellas se ocupan de la solución a las dificultades que surgen de ciertas partes de los Elementos de Euclides. Su Solution of the Difficulties in Euclid’s Elements intenta tratar la mayoría de los problemas que surgen de Euclides, dando construcciones alternativas en ciertos casos y reemplazando pruebas indirectas con pruebas directas. Parece que al-Haytham intentó esto, junto con otro trabajo, para formar un comentario sobre Euclides. En los axiomas de Euclides, intenta reemplazar el problemático quinto postulado, que afirma que las líneas paralelas nunca se cruzan, con un postulado que involucra la equidistancia. Hubo muchos intentos islámicos de probar el quinto postulado, y al-Haytham fue capaz de deducir el postulado de las paralelas de su postulado sobre la equidistancia, aunque usó el concepto de movimiento en su demostración, que es algo ajeno a la geometría griega. 

Al-Haytham también compuso dos obras sobre la cuadratura de figuras en forma de lunas crecientes. Estas contienen varias proposiciones sobre la geometría de las lúnulas, y el tema está relacionado con el de cuadrar el círculo (la construcción de un cuadrado con un área igual a la de un círculo dado). En otra sección, al-Haytham demuestra la posibilidad de cuadrar el círculo, sin proporcionar una construcción explícita. En On Analysis, analiza los principios de análisis y síntesis utilizados en el descubrimiento y demostración de teoremas matemáticos y construcciones. Él ilustra estos principios al aplicarlos a la aritmética, la geometría, la astronomía y la música, que en ese momento se consideraban las cuatro disciplinas matemáticas. Él enfatiza el papel de la “intuición científica” cuando cierta propiedad aún no se ha probado y solo puede conjeturarse a partir de la evidencia. Tales conjeturas, dirigidas por la intuición, deben hacerse antes de que se pueda realizar el proceso de análisis y síntesis. Esto parece estar relacionado con nociones más modernas de investigación científica. 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Una de las colaboraciones matemáticas más famosas del siglo XX fue entre Godfrey Hardy y John Littlewood. Su investigación en la teoría numérica moderna, junto con el genio de Srinivasa Ramanujan, avanzó mucho en este campo. Durante su vida, Hardy fue reconocido como el matemático británico líder en la matemática pura. 

Godfrey Harold Hardy nació en Cranleigh, Inglaterra, el 7 de febrero de 1877. Sus padres eran intelectuales con interés en la matemática; su padre, Isaac Hardy, era maestro en la escuela Cranleigh. Por lo tanto, el joven Hardy y sus dos hermanas recibieron una excelente educación, en la que se les animó a hacer preguntas. 

Desde una edad temprana, Hardy era bueno con los números; a los 13 años asistió al Winchester College con una beca, y en 1896 llegó al Trinity College en Cambridge. Hardy fue exitoso en varios concursos que incluyeron el cálculo rápido de problemas, obteniendo un Premio Smith en 1901. Desarrolló una afinidad por el análisis matemático después de leer el Cours d’analyse de Camille Jordan por instigación de uno de sus profesores. En los próximos 10 años, Hardy atacó una serie de problemas de investigación relacionados con la convergencia de series e integrales infinitas. Su texto de 1908 A Course on Pure Mathematics  se convirtió en un clásico, transformando de manera efectiva la educación matemática de pregrado a través de su clara exposición de los temas número, función y límite. 

Hardy fue profesor en el Trinity College hasta 1919, cuando se convirtió en profesor de geometría en Oxford. Durante este tiempo, comenzó su fructífera colaboración con Littlewood, que dio como resultado alrededor de 100 trabajos conjuntos sobre la aproximación diofántica, la teoría multiplicativa y aditiva de números, la función zeta de Riemann y series infinitas.  

En 1913, Hardy recibió un manuscrito del matemático indio aficionado Srinivasa Ramanujan. Rápidamente discernió el genio del autor, que había logrado obtener resultados matemáticos avanzados en teoría de números sin un entrenamiento formal, y arregló que Ramanujan viniera a Inglaterra en 1914. Durante los siguientes tres años, los dos trabajaron intensamente en una serie de resultados matemáticos: la experiencia de Hardy con el análisis y el genio intuitivo de Ramanujan con los números condujo a muchos grandes logros, incluida una fórmula asintótica para el número de particiones de un número entero dado. Tristemente, Ramanujan enfermó en 1917, y regresó a la India dos años después, muriendo en 1920. 

Hardy fundó una floreciente escuela de investigación en Oxford, y regresó a Cambridge en 1931 como profesor de matemática pura. Él nunca se casó, pero vivió con su devota hermana. La principal pasión de Hardy era la matemática, aunque también estaba interesado en el cricket y era un ateo confirmado. Su dominio del idioma inglés aumentó la popularidad de su literatura, y era conocido por ser animado y entusiasta. Murió en Cambridge el 1 de diciembre de 1947. 

La investigación de Hardy sobre la teoría analítica de números produjo grandes avances en el campo. Su trabajo con Ramanujan y Littlewood condujo a resultados fundamentales en el estudio de los números, y estimuló y alentó a muchos matemáticos más jóvenes durante su vida.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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En el siglo XIX, el concepto del número complejo se desarrolló aún más y se descubrió que era una herramienta útil para comprender otras ramas de la matemática. Un tipo similar de número relevante para la mecánica cuántica es el llamado cuaternión, que fue descubierto por el prodigio Sir William Rowan Hamilton. A pesar de que hizo contribuciones a la óptica, la mecánica y el álgebra general, es más famoso por los cuaterniones y su aceptación de la no conmutatividad en los sistemas algebraicos. 

William Rowan Hamilton nació en Dublín, Irlanda, el 4 de agosto de 1805, y desde temprana edad mostró un notable genio para los idiomas. Hamilton fue educado por su tío, y el niño dominó el griego, el hebreo y el latín a los cinco años. También poseía talento matemático, siendo capaz de calcular rápidamente; alrededor de 1820, Hamilton leyó las obras de Sir Isaac Newton y comenzó sus propias observaciones astronómicas a través de su telescopio. 

Alrededor de 1822, el interés de Hamilton por la matemática alcanzó una nueva fase y comenzó su propia investigación. Indagó las propiedades de las curvas y las superficies, lo que eventualmente lo llevó a su Theory of Systems of Rays de 1827. Mientras tanto, había ingresado al Trinity College, habiendo logrado el puntaje más alto en sus exámenes de ingreso; continuó ganando honores especiales en clásicos y ciencias a lo largo de su carrera universitaria. 

Después de graduarse en 1827, Hamilton fue nombrado astrónomo real en el Observatorio Dunsink, y también se convirtió en profesor de astronomía en el Trinity. Sin embargo, hizo poca observación real, enfocando su energía en la matemática pura. Su primer trabajo sobre óptica introdujo su noción de la “función característica”, que describía la porción matemática de la óptica por completo. Su teoría era independiente de si uno veía la luz como una partícula o como una onda, y así Hamilton en gran parte se liberó de este contencioso debate. 

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Luego Hamilton aplicó su función característica a la mecánica celestial en su artículo de 1833 On a General Method of Expressing the Paths of Light and of the Planets by the Coefficients of a Characteristic Function. Más tarde, en 1834, aplicó los mismos principios a la dinámica en On a  General Method in Dynamics. Estos documentos eran difíciles de leer, debido al estilo lacónico de Hamilton, y por lo tanto no disfrutaron de mucha popularidad. Introdujo la llamada ecuación de Hamilton para la energía de un sistema conservativo, que es omnipresente en la mecánica moderna. Aunque la formulación de la mecánica de Hamilton tenía poca ventaja práctica sobre el enfoque lagrangiano anterior, se trasladó fácilmente a la situación de la mecánica cuántica. La teoría de Hamilton también mantuvo una estrecha afinidad entre la óptica y la mecánica. 

Su investigación lo llevó al descubrimiento de métodos generales en el cálculo de variaciones. Más importante aún, Hamilton descubrió los cuaterniones en 1843. Previamente se interesó en una explicación geométrica de los números complejos, y en 1835 presentó Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time, donde describe los números complejos como puntos en el plano con una regla especial para la suma y  la multiplicación. El intrigante título revela la filosofía kantiana de Hamilton: la geometría era la ciencia del espacio puro, y el álgebra era la ciencia del tiempo puro. Desde este punto de vista, Hamilton intentó construir un análogo  del álgebra para el espacio tridimensional. Posteriormente se demostró que esto era imposible, y Hamilton finalmente formuló su nueva álgebra en cuatro dimensiones. Las cuaternas resultantes se llamaron cuaterniones; se podían sumar, multiplicar y dividir entre sí de acuerdo con ciertas reglas. El álgebra resultante fue un primer ejemplo de un sistema no conmutativo; parte del genio de Hamilton consistía en reconocer que no había nada innatamente ilógico en esta situación. Más de un siglo después, los cuaterniones y otras álgebras no conmutativas ejercen una profunda  influencia en la mecánica cuántica y las computadoras cuánticas. 

La historia relata que el descubrimiento repentino de Hamilton ocurrió en un puente sobre el Canal Real en Dublín, el 16 de octubre de 1843; raspó la fórmula relevante en las piedras del puente. Los cuaterniones no fueron aceptados inmediatamente, ya que el análisis vectorial de Josiah Willard Gibbs fue más popular; el difícil tratado de Hamilton, Elements of Quaternions, publicado en 1867 después de su muerte, resultaba inaccesible para la mayoría de sus contemporáneos. 

Hamilton recibió muchos honores durante su vida, y se desempeñó como presidente de la Royal Irish Academy desde 1837 hasta 1845. En Irlanda lo nombraron caballero en 1835 por su trabajo como científico. Hamilton fue frustrado en el amor cuando joven, pero en 1833 se casó con Helen Bayly, con quien tuvo dos hijos y una hija. Hamilton era un ávido poeta, pero su amigo William Wordsworth lo alentó a concentrarse en la matemática, donde estaban sus verdaderos dones. Estaba lleno de energía y tenía muchos amigos literarios, incluidos Ellen de Vere y Samuel Coleridge. Después de la muerte de su primer amor, Catherine Disney, en 1853, Hamilton cayó en el alcoholismo; murió en Dublín el 2 de septiembre de 1865. 

Dado el genio temprano de su infancia, Hamilton pudo haber esperado más de sí mismo matemáticamente. Sin embargo, dejó su marca en el campo de la mecánica mediante el uso del principio de la mínima acción, la derivación de la función característica y la ecuación hamiltoniana para la energía de un sistema. También influyó profundamente en el desarrollo del álgebra abstracta a través de su descubrimiento de los cuaterniones. Las aplicaciones de estos extraños números todavía se están explorando.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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