En el siglo XIX, el concepto del número complejo se desarrolló aún más y se descubrió que era una herramienta útil para comprender otras ramas de la matemática. Un tipo similar de número relevante para la mecánica cuántica es el llamado cuaternión, que fue descubierto por el prodigio Sir William Rowan Hamilton. A pesar de que hizo contribuciones a la óptica, la mecánica y el álgebra general, es más famoso por los cuaterniones y su aceptación de la no conmutatividad en los sistemas algebraicos.
William Rowan Hamilton nació en Dublín, Irlanda, el 4 de agosto de 1805, y desde temprana edad mostró un notable genio para los idiomas. Hamilton fue educado por su tío, y el niño dominó el griego, el hebreo y el latín a los cinco años. También poseía talento matemático, siendo capaz de calcular rápidamente; alrededor de 1820, Hamilton leyó las obras de Sir Isaac Newton y comenzó sus propias observaciones astronómicas a través de su telescopio.
Alrededor de 1822, el interés de Hamilton por la matemática alcanzó una nueva fase y comenzó su propia investigación. Indagó las propiedades de las curvas y las superficies, lo que eventualmente lo llevó a su Theory of Systems of Rays de 1827. Mientras tanto, había ingresado al Trinity College, habiendo logrado el puntaje más alto en sus exámenes de ingreso; continuó ganando honores especiales en clásicos y ciencias a lo largo de su carrera universitaria.
Después de graduarse en 1827, Hamilton fue nombrado astrónomo real en el Observatorio Dunsink, y también se convirtió en profesor de astronomía en el Trinity. Sin embargo, hizo poca observación real, enfocando su energía en la matemática pura. Su primer trabajo sobre óptica introdujo su noción de la «función característica», que describía la porción matemática de la óptica por completo. Su teoría era independiente de si uno veía la luz como una partícula o como una onda, y así Hamilton en gran parte se liberó de este contencioso debate.
Luego Hamilton aplicó su función característica a la mecánica celestial en su artículo de 1833 On a General Method of Expressing the Paths of Light and of the Planets by the Coefficients of a Characteristic Function. Más tarde, en 1834, aplicó los mismos principios a la dinámica en On a General Method in Dynamics. Estos documentos eran difíciles de leer, debido al estilo lacónico de Hamilton, y por lo tanto no disfrutaron de mucha popularidad. Introdujo la llamada ecuación de Hamilton para la energía de un sistema conservativo, que es omnipresente en la mecánica moderna. Aunque la formulación de la mecánica de Hamilton tenía poca ventaja práctica sobre el enfoque lagrangiano anterior, se trasladó fácilmente a la situación de la mecánica cuántica. La teoría de Hamilton también mantuvo una estrecha afinidad entre la óptica y la mecánica.
Su investigación lo llevó al descubrimiento de métodos generales en el cálculo de variaciones. Más importante aún, Hamilton descubrió los cuaterniones en 1843. Previamente se interesó en una explicación geométrica de los números complejos, y en 1835 presentó Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time, donde describe los números complejos como puntos en el plano con una regla especial para la suma y la multiplicación. El intrigante título revela la filosofía kantiana de Hamilton: la geometría era la ciencia del espacio puro, y el álgebra era la ciencia del tiempo puro. Desde este punto de vista, Hamilton intentó construir un análogo del álgebra para el espacio tridimensional. Posteriormente se demostró que esto era imposible, y Hamilton finalmente formuló su nueva álgebra en cuatro dimensiones. Las cuaternas resultantes se llamaron cuaterniones; se podían sumar, multiplicar y dividir entre sí de acuerdo con ciertas reglas. El álgebra resultante fue un primer ejemplo de un sistema no conmutativo; parte del genio de Hamilton consistía en reconocer que no había nada innatamente ilógico en esta situación. Más de un siglo después, los cuaterniones y otras álgebras no conmutativas ejercen una profunda influencia en la mecánica cuántica y las computadoras cuánticas.
La historia relata que el descubrimiento repentino de Hamilton ocurrió en un puente sobre el Canal Real en Dublín, el 16 de octubre de 1843; raspó la fórmula relevante en las piedras del puente. Los cuaterniones no fueron aceptados inmediatamente, ya que el análisis vectorial de Josiah Willard Gibbs fue más popular; el difícil tratado de Hamilton, Elements of Quaternions, publicado en 1867 después de su muerte, resultaba inaccesible para la mayoría de sus contemporáneos.
Hamilton recibió muchos honores durante su vida, y se desempeñó como presidente de la Royal Irish Academy desde 1837 hasta 1845. En Irlanda lo nombraron caballero en 1835 por su trabajo como científico. Hamilton fue frustrado en el amor cuando joven, pero en 1833 se casó con Helen Bayly, con quien tuvo dos hijos y una hija. Hamilton era un ávido poeta, pero su amigo William Wordsworth lo alentó a concentrarse en la matemática, donde estaban sus verdaderos dones. Estaba lleno de energía y tenía muchos amigos literarios, incluidos Ellen de Vere y Samuel Coleridge. Después de la muerte de su primer amor, Catherine Disney, en 1853, Hamilton cayó en el alcoholismo; murió en Dublín el 2 de septiembre de 1865.
Dado el genio temprano de su infancia, Hamilton pudo haber esperado más de sí mismo matemáticamente. Sin embargo, dejó su marca en el campo de la mecánica mediante el uso del principio de la mínima acción, la derivación de la función característica y la ecuación hamiltoniana para la energía de un sistema. También influyó profundamente en el desarrollo del álgebra abstracta a través de su descubrimiento de los cuaterniones. Las aplicaciones de estos extraños números todavía se están explorando.
Fuente bibliográfica:
- McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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