David Hilbert es probablemente mejor conocido por su lista de 23 problemas matemáticos sobresalientes, que guiaron gran parte de la investigación del siglo XX. Sin embargo, mucho más importantes fueron sus contribuciones a la teoría de invariantes algebraicos, la teoría de números algebraicos y los fundamentos de la matemática. Pocos matemáticos han tenido un impacto tan profundo en la investigación posterior como Hilbert. Su previsión sobre el futuro de la matemática fue asombrosamente precisa, incluso rayando lo profético.
La familia de Hilbert estaba integrada por protestantes alemanes que vivían en Prusia Oriental. Su padre, Otto Hilbert, era juez en Königsberg, donde David Hilbert nació el 23 de enero de 1862. Se dice que heredó sus talentos matemáticos de su madre. El joven Hilbert asistió al Friedrichskolleg en Königsberg a partir de 1870, y estudió en la Universidad de Königsberg de 1880 a 1884, obteniendo su Ph.D. en 1885. Después de algunos viajes, Hilbert obtuvo un puesto en la Universidad de Königsberg en 1892, y en el mismo año se casó con Käthe Jerosch. En 1895 fue nombrado presidente de la Universidad de Göttingen, donde permaneció hasta su jubilación en 1930.
La primera investigación de Hilbert, en el período hasta 1893, fue acerca de formas algebraicas. Estudió la teoría de invariantes algebraicos, abordando el tema desde un punto de vista simbólico revolucionario y prescindiendo de los métodos algorítmicos del pasado. Es digno de mención que el enfoque moderno del álgebra sigue el camino abstracto de Hilbert. Fue el primero en proponer estas nuevas técnicas, que más tarde se convirtieron en un clásico. Se debe hacer mención de su famoso Nullstellensatz (principio de posición cero), que da una condición para que un polinomio se incluya en un conjunto especial de funciones llamado ideal.
De 1894 a 1899 Hilbert recurrió a la teoría de números, tomando una perspectiva algebraica del tema. Su Der Zahlbericht (Comentario sobre números) de 1897 fue un resumen de todo el conocimiento desarrollado hasta la fecha, organizado desde un punto de vista contemporáneo. Resultó ser una guía crucial para la próxima mitad de siglo de investigación sobre la teoría de números algebraicos. Las contribuciones de Hilbert a la teoría de números algebraicos fueron tan profundas y extensas que casi parece que comenzó el tema. Su trabajo se centró en la ley de reciprocidad y la noción de clase. Aunque su brillante trabajo proporcionó ideas estimulantes para las próximas décadas, Hilbert se trasladó a los cimientos de la geometría, dejando los detalles adicionales en manos de sus estudiantes y sucesores.
De 1899 a 1903 Hilbert enfatizó el carácter axiomático de la geometría. Su Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría) (1899) intentó establecer la consistencia de los axiomas geométricos y determinar qué teoremas eran independientes de ciertos axiomas. Por ejemplo, la geometría no euclidiana ya había sido inventada, y era un sistema geométrico que era independiente del postulado de las paralelas de Euclides de Alejandría. Hilbert llevó el álgebra a la geometría para obtener resultados relacionados con la consistencia y la independencia. Su trabajo en esta área conduciría a las futuras ideas de campo y espacio topológico.
Aunque el principio de Dirichlet para resolver el problema del valor límite en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales había sido desacreditado por Karl Weierstrass, Hilbert tuvo éxito en dar una prueba rigurosa. Su técnica de diagonalización más tarde se convirtió en clásica en el análisis abstracto. De 1904 a 1909 Hilbert trabajó en el cálculo de variaciones y ecuaciones integrales. Hilbert se centró en ecuaciones homogéneas, llegando a la noción de un espacio funcional con un producto interno (más tarde se llamarían espacios de Hilbert, y son de gran uso práctico en análisis funcional y estadística), y definió el espectro de un operador. El término espectro era profético, ya que los físicos unas dos décadas más tarde conectarían los espectros de los operadores a los espectros ópticos. Frigyes Riesz y John Von Neumann luego seguirían los primeros torpes pasos de Hilbert en el nuevo campo de la teoría de operadores.
Luego, Hilbert recurrió a la física matemática, sintiendo que el tema era demasiado importante para dejarlo a los físicos, obteniendo aquí resultados no muy trascendentes. Después de 1918 Hilbert pasó a involucrarse profundamente en los fundamentos de la matemática. Estaba ansioso por demostrar en particular la consistencia de la teoría de números. Aunque algunos de sus conceptos, como la función transfinita, fueron bastante brillantes, en última instancia el programa estaba condenado al fracaso. Esencialmente, Hilbert estaba obsesionado con probar que la demostración matemática era válida, por lo que estaba involucrado en la «metamatemática» (es decir, el estudio de los procesos de pensamiento matemático, incluida la estructura de las demostraciones). Kurt Gödel dio un golpe mortal a esta tentativa de establecer la coherencia de la teoría de números en 1931. A partir de este momento se fecha la génesis de los estudios modernos en los fundamentos de la matemática.
Hilbert enfermó de anemia en 1925, y solo se recuperó parcialmente debido a los nuevos tratamientos. Su lista de 23 problemas, establecidos como tareas para el siglo XX y expuestos en un discurso de 1900 en el Congreso Internacional de Matemáticos, ha demostrado tener una importancia perdurable. Trata una amplia gama de problemas, incluida la cardinalidad del continuo, la consistencia de la aritmética, la axiomatización de la física, la hipótesis de Riemann y el estudio de los problemas generales de valor de frontera. Algunos de ellos se han resuelto total o parcialmente, otros no se han resuelto y otros han demostrado ser insolubles (o dependientes del axioma de elección). En cualquier caso, han proporcionado un enorme estímulo para los matemáticos. Los temas enumerados en los 23 problemas han sido en su mayor parte áreas principales de investigación en matemática pura.
Hilbert murió el 14 de febrero de 1943 en Göttingen. Era conocido por su intensa personalidad y audacia matemática. Hermann Minkowski era un amigo cercano y tuvo sobre él una significativa influencia, ya que estudiaron juntos en Königsberg. Uno de sus mentores más importantes fue Leopold Kronecker. Hilbert tuvo muchos estudiantes famosos, incluido Hermann Weyl.
Aquí podemos conocer su voz, portadora de una obra que causó un tremendo impacto en la matemática del siglo XX.
Fuente bibliográfica:
- McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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