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Archive for 14/09/18

La topología, el estudio de la forma de los conjuntos matemáticos, se convirtió en una disciplina cada vez más popular en el siglo XX. Nuevas herramientas potentes como la homología y la teoría de anillos algebraicos se aplicaron a problemas importantes, y se avanzó mucho en el proyecto de clasificación topológica. Heinz Hopf fue un jugador clave en estos desarrollos. 

Heinz Hopf nació en Breslau, Alemania, el 19 de noviembre de 1894. Estudió matemática en la universidad de su ciudad natal, pero la Primera Guerra Mundial interrumpió su carrera. Después de un largo período de servicio, Hopf pudo asistir a un curso de teoría de conjuntos en la Universidad de Breslau en 1917; quedó fascinado con el trabajo topológico de Luitzen Egbertus Jan Brouwer y realizó más estudios en Berlín. En 1925, Hopf recibió un doctorado en matemática. Más tarde recibió una beca para estudiar en la Universidad de Princeton en 1927. En 1931, Hopf fue nombrado catedrático de matemática en la Eidgenössische Technische Hochschule en Zurich, Suiza. 

Aunque Hopf publicó solo un pequeño número de artículos, como Fundamentalgruppe und Zweite Bettische Gruppe (Grupos Fundamentales y segundos grupos de Betti), tuvo una influencia tremenda en el campo de la topología, debido a la amplitud y originalidad de sus ideas. Se basó en los métodos de Brouwer, desarrollando los conceptos de grado de mapeo y clase de homotopía: estas fueron herramientas matemáticas que introdujeron la teoría de grupos algebraicos como ayuda en la clasificación de variedades continuas. Hopf tenía una excelente intuición geométrica, pero sus argumentos se volvieron cada vez más algebraicos bajo la influencia de Emmy Noether. 

Algunos de los trabajos más importantes de Hopf se centraron en mapeos de esferas de alta dimensión, campos vectoriales y teoremas de puntos fijos. Definió el homomorfismo inverso, que se convirtió en una poderosa herramienta en el estudio de variedades. En 1931 Hopf identificó un número infinito de relaciones entre la esfera tridimensional y la esfera bidimensional, e hizo conjeturas sobre el llamado mapa de fibra de Hopf. Después de la Segunda Guerra Mundial, las primeras investigaciones de Hopf en estas áreas se convirtieron en un próspero campo de estudio. 

En el área de los campos vectoriales, Hopf estudió formas bilineales, variedades casi complejas y la homología de las variedades de grupos. Su principal herramienta en estas investigaciones fue la homología, que se refiere a las clases de “incrustaciones” de objetos simples (como triángulos y tetraedros) en una variedad dada. Otro trabajo de Hopf en la década de 1940 condujo al desarrollo del álgebra cohomológica, un nuevo y vigoroso campo de la matemática pura. 

Además de todo este excelente trabajo en topología algebraica, Hopf también exploró la geometría diferencial. Por ejemplo, investigó superficies completas, la congruencia de superficies convexas, e isometrías; también escribió sobre la tangente de una curva plana cerrada. Heinz Hopf era enérgico y alegre, y daba conferencias claras y estimulantes. Con su esposa, Anja Hopf, con quien se casó en octubre de 1928, fue un generoso anfitrión para colegas y exiliados políticos. Durante la Segunda Guerra Mundial, proporcionó refugio a sus amigos alemanes en Suiza, donde estarían a salvo de la persecución nazi. Murió el 3 de junio de 1971, en Zollikon, Suiza. Obtuvo varios doctorados honorarios de instituciones como Princeton, Freiburg y Sorbonne, y fue presidente de la Unión Matemática Internacional de 1955 a 1958. 

Heinz Hopf tuvo una enorme influencia en el área de la topología: desarrolló la homología convirtiéndola en una de las herramientas más utilizadas de  la topología algebraica, y obtuvo varios resultados importantes, especialmente en el estudio de esferas de alta dimensión. Los orígenes de la cohomología se remontan a Hopf, al igual que el concepto de grupos de homotopías.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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