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Archive for 5/10/18

Al-Karaji hizo grandes contribuciones al álgebra al ser el primero en tratar los números independientemente de la geometría. A este respecto, difería de los griegos y de sus predecesores árabes. Por ende pudo desarrollar muchas de las propiedades algebraicas básicas de los números racionales e irracionales, y por lo tanto representa un paso importante en la evolución del cálculo algebraico. Al-Karaji es conocido como el primer autor del álgebra de polinomios. 

Hay mucha disputa entre los estudiosos sobre la ortografía del nombre de este hombre. De traducciones anteriores se le conocía como al-Karkhi, pero esto fue discutido más tarde, y fue propuesto el nombre al-Karaji.  La controversia es de cierta relevancia, ya que el nombre al-Karkhi indicaría Karkh, un suburbio de Bagdad, mientras que al-Karaji es indicativo de una ciudad iraní. En cualquier caso, al-Karaji vivió en Bagdad, donde produjo la mayor parte de su trabajo matemático, y sus libros se escribieron desde finales del siglo X hasta principios del siglo XI. Algunos eruditos creen que nació el 13 de abril del año 953. Después de este período, aparentemente partió para los “países de montaña” para escribir obras de ingeniería. 

Su tratado sobre álgebra ofrece la primera teoría del cálculo algebraico desarrollada por los árabes. Al-Karaji se basó en las técnicas de matemáticos árabes anteriores, pero su enfoque era completamente nuevo. Buscó separar las operaciones algebraicas de la representación geométrica que les dieron los griegos. La Aritmética de Diofanto de Alejandría influyó en al-Karaji y desempeñó un papel en la aritmetización del álgebra de al-Karaji. 

En su obra al-Karaji primero estudia la aritmética de los exponentes: la multiplicación y división de monomios se traduce en suma y resta de sus exponentes. Sus sucesores pudieron aplicar estas reglas a la extracción de raíces cuadradas. Al-Karaji dio un paso audaz en la producción de reglas algebraicas para números reales, independientemente de cualquier interpretación geométrica. Por un lado, se sabía que las operaciones algebraicas (como la suma y la multiplicación) y sus reglas básicas (como la asociatividad y la conmutatividad) eran ciertas para los números racionales, pero no se había desarrollado una teoría para los números irracionales (como las raíces cuadradas). Al-Karaji definió la noción de número irracional del Libro X de los Elementos de Euclides de Alejandría. Para Euclides, esta teoría de la inconmensurabilidad se aplicaba solo a cantidades geométricas, no a números. Así, al-Karaji extendió este concepto de irracionalidad a los números en un acto de fe, y extendió las operaciones algebraicas a esta clase. Los matemáticos modernos más tarde desarrollarían rigurosamente un álgebra de números reales que era puramente aritmética. 

Una consecuencia de este salto conceptual fue que los Elementos de Euclides ya no serían considerados como un libro puramente geométrico. Al-Karaji continuó desarrollando el cálculo de radicales, derivando reglas que permitían el cálculo de expresiones simples con raíces cuadradas. En una vía similar, al-Karaji dio fórmulas para el desarrollo de binomios. En su demostración del llamado teorema binomial se pueden ver los inicios de la inducción matemática. Al-Karaji también obtuvo fórmulas para la suma de enteros consecutivos y cuadrados consecutivos. 

Al-Karaji estaba interesado en aplicar estos métodos a la solución de ecuaciones polinómicas. Consideró las ecuaciones lineales, cuadráticas y ciertas ecuaciones especiales de grado superior: en esta área es evidente la influencia de Diofanto en al-Karaji. En el área del análisis indeterminado, al-Karaji pudo aclarar y extender el trabajo de Diofanto y consideró problemas que involucran tres ecuaciones no lineales en tres incógnitas. Diofanto fue conocido por su ingenio para derivar trucos especiales para problemas individuales. En contraste, al-Karaji se esforzó por desarrollar métodos generales que pudieran manejar incluso más casos. 

Poco se sabe de los  últimos días de la vida de Al-Karaji, pero algunos eruditos creen que murió en 1029. Al-Karaji produjo una nueva perspectiva sobre el álgebra. Bajo su guía, el álgebra se hizo independiente de la geometría y más estrechamente vinculado al análisis. Esta actitud divergió significativamente del pensamiento griego y se convirtió en normativa para los matemáticos árabes posteriores. Su transformación del álgebra más tarde tuvo un impacto en Europa a través de Leonardo Fibonacci, quien importó ideas y métodos árabes a Italia en el siglo XII.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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