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Archive for 17 diciembre 2018

Breves vacaciones

Estimados lectores… por un tiempo estaré ausente de mi weblog para tomarme un descanso.

Espero contar con vuestras visitas el año próximo.

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Joseph Liouville desempeñó un papel importante en el avance y la promoción de la matemática del siglo XIX, realizado a través de sus propias publicaciones y su edición del influyente Journal de Liouville. Investigó principalmente en análisis, geometría y teoría de números, publicando una serie de numerosas notas breves y artículos. A través de los cargos académicos que ocupó, Liouville pudo moldear los intereses matemáticos de la siguiente generación.  

Joseph Liouville nació el 24 de marzo de 1809 en St.  Omer, Francia. Fue el segundo hijo de Claude-Joseph Liouville, un capitán del ejército, y Thérèse Balland, ambos de la provincia de Lorena. Inicialmente estudió en las ciudades de Commercy y Toul antes de asistir a la École Polytechnique en 1825. Se trasladó a la École des Ponts et Chaussées en 1827, donde comenzó una investigación original en matemática. Durante los próximos años, Liouville presentó varias memorias a la Academia de Ciencias, en las que trató análisis del calor, electricidad y matemática. Estos fueron recibidos favorablemente, y le permitieron a Liouville obtener un puesto de profesor en la École Polytechnique en 1831, luego de graduarse el año anterior. También en 1831 se casó con su prima Marie-Louise Balland. Tendrían tres hijas y un hijo. 

Liouville permaneció en la profesión docente durante 50 años, y pudo enseñar matemática pura y aplicada en las principales instituciones de París. En 1838 ocupó una cátedra de análisis y mecánica en la École Polytechnique, y en 1851 obtuvo la cátedra de matemática en el Collège de France, permaneciendo allí hasta 1879. Mientras tanto, impartió clases a un nivel más elemental y se metió en política. Fue elegido para la Asamblea Constituyente en 1848, pero dejó su carrera política después de una derrota de 1849. Liouville obtuvo su doctorado con un trabajo sobre aplicaciones de la serie de Fourier a la física matemática en 1836, lo que le permitió enseñar a nivel universitario. En 1857 enseñó simultáneamente mecánica en la Facultad de Ciencias de París. 

Mientras enseñaba, Liouville también participó en varias sociedades, como la Academia de Ciencias y el Bureau des Longitudes, y lo más importante, lanzó el Journal of Pure and Applied Mathematics (más tarde conocido como el Liouville’s Journal) en 1836. Este foro, creado después de La desaparición de dos revistas influyentes, fue crucial para la difusión de la matemática de mediados del siglo XIX. Como editor de la revista, Liouville pudo afectar el desarrollo de la matemática en ese momento; permaneció como editor en jefe hasta 1874. 

Su investigación inicial se centró en el análisis matemático. Lo más importante, Liouville trató temas tales como la clasificación de las funciones algebraicas (definió el número de Liouville, un ejemplo de un número trascendental), la teoría de las funciones elípticas (basándose en el trabajo de Niels Henrik Abel y Carl Jacobi), y ecuaciones diferenciales. Entre 1832 y 1837 formuló una noción de derivada racional; también amplió el conocimiento de las oscilaciones y contribuyó con las teorías de la electricidad y el calor. El trabajo de Liouville era bastante interdisciplinario, y se interesó en las aplicaciones de los métodos matemáticos a problemas de la mecánica celeste.  

Liouville también contribuyó al álgebra, aportando una nueva prueba del teorema fundamental del álgebra y probando uno de los teoremas de Cauchy. Más importante aún, dio a conocer los trabajos de Evariste Galois, exponiéndolos a una audiencia más amplia de matemáticos, y así introdujo nuevas técnicas que se volverían clásicas en el álgebra moderna y la teoría de grupos. Liouville escribió numerosos artículos sobre geometría, estudiando el cálculo de variaciones, las líneas geodésicas de los elipsoides y las propiedades de los polígonos. Introdujo la nueva noción de curvatura total y estudió las deformaciones de una superficie. 

Además de estos estudios, Liouville más tarde se interesó en la teoría de números. Desde 1858 hasta 1865, publicó varios teoremas que pertenecen a la teoría analítica de números, algunas de las primeras publicaciones en este nuevo campo de investigación. En sus últimos años, la investigación de Liouville se centró en problemas más particulares fuera de la corriente principal, y fue de menos interés para otros matemáticos. 

Liouville vivió una vida tranquila y dedicada al estudio. Murió el 8 de septiembre de 1882 en París. Fue capaz de afectar el desarrollo de la matemática a través de su distinguida carrera académica. Su promoción del trabajo de Galois y, más generalmente, su estímulo a los matemáticos más jóvenes a través de su Journal, cambió el panorama de la matemática. Sus propias contribuciones de investigación fueron significativas en alcance y madurez, exceptuando su trabajo posterior en teoría de números hacia el final de su vida. 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Una de las ramas más populares y elegantes de la matemática en el siglo XX ha sido la teoría de grupos de Lie. Esta disciplina combina ideas de álgebra, geometría y análisis, y es relevante para la física teórica. Sophus Lie descubrió estos objetos por primera vez y, por lo tanto, fundó una arena fructífera para futuras investigaciones. 

Marius Sophus Lie, comúnmente conocido como Sophus Lie, nació el 17 de diciembre de 1842 en Nordfjordeide, Noruega. Fue el sexto y más joven hijo de Johann Lie, un pastor luterano. Asistió a una escuela local y, desde 1857 hasta 1859, estudió en la Private Latin School de Nissen en Oslo. De 1859 a 1865 continuó su educación en la Universidad de Christiania en Oslo. Originalmente mostró poco interés en la matemática. Después de su examen en 1865, Lie dio lecciones privadas y se interesó por la astronomía. 

La vida de Lie adquirió una nueva dirección después de que descubriera en 1868 algunos artículos geométricos de los matemáticos Jean-Victor Poncelet y Julius Plücker. La idea de que el espacio podría estar formado por líneas en lugar de puntos tuvo un profundo impacto en la concepción de la geometría de Lie. Obtuvo una beca en el extranjero, viviendo en Berlín durante el invierno de 1869, donde conoció a Felix Klein. Los esfuerzos científicos de ambos hombres se beneficiaron enormemente de la amistad que siguió. Klein era un algebraista intrigado por problemas particulares, mientras que Lie era un geómetra y analista interesado en generalizar conceptos. 

Pasaron el verano de 1870 en París, donde entraron en contacto con Camille Jordan y Gaspard Monge, así como con otros matemáticos franceses. Lie descubrió su famosa transformación, que fue un importante descubrimiento geométrico inicial: fue un primer paso hacia su posterior desarrollo de la teoría de los grupos de Lie. La guerra franco-prusiana estalló el mismo año, y Lie fue arrestado como espía mientras caminaba por el campo. Pronto fue liberado y logró escapar de Francia antes del bloqueo de París. En 1871 regresó a Oslo, donde enseñó en la Private Latin School de Nissen. Obtuvo su doctorado en 1872.  

En este momento, Lie desarrolló la teoría de integración de las ecuaciones diferenciales parciales, que todavía se enseña como método clásico en textos matemáticos. Su trabajo inicial sobre geometría diferencial más tarde lo llevó a su importante trabajo sobre grupos de transformación y ecuaciones diferenciales. El grupo de transformación, más tarde conocido como grupo Lie, trajo herramientas algebraicas para abordar problemas geométricos y analíticos, y en particular resultó ser un poderoso enfoque de las ecuaciones diferenciales parciales. Aunque estas ideas no fueron aceptadas inicialmente, en gran parte debido al estilo engorroso de presentar ideas analíticas que estaba de moda en ese momento, su importancia para la matemática moderna no se puede sobreestimar. Completó su trabajo sobre los grupos de Lie en la década de 1870, pero su publicación llevó varias décadas de esfuerzo. 

En 1872 se creó una cátedra de matemática para Lie en la Universidad de Christiania. Además de la investigación mencionada sobre las transformaciones de contacto, estaba ocupado editando los trabajos recopilados de Niels Henrik Abel. Lie se casó con Anna Birch en 1874, y juntos criaron dos hijos y una hija. 

En Oslo Lie se mantuvo aislado de otros matemáticos; no tenía alumnos, y solo dos matemáticos, Klein y Emile Picard, prestaron atención a su trabajo. Friedrich Engel ayudó a Lie en la publicación de un extenso texto sobre grupos de transformación, que apareció dividido en tres partes entre 1888 y 1893. Su trabajo paralelo sobre la transformación de contacto y las ecuaciones diferenciales parciales con Felix Hausdorff no se completó. En 1886, Lie llegó a Leipzig sucediendo a Klein, y su situación de colaboración mejoró. 

La salud de Lie había sido excelente, y fue descrito como un hombre de corazón abierto y de gran estatura. Sin embargo, en 1889 fue golpeado con una enfermedad mental. Cuando reanudó el trabajo en 1890, su carácter había cambiado mucho, ahora era paranoico y beligerante. Finalmente, regresó a la Universidad de Christiania con el atractivo de una silla especial en 1898. Murió un año después, el 18 de febrero de 1899 en Oslo, por anemia. 

El trabajo de Lie revolucionó el estudio de la geometría y las ecuaciones diferenciales, ya que las técnicas teóricas y algebraicas de grupo ahora podían resolver problemas. El estudio de los grupos de Lie finalmente se convirtió en una disciplina propia. El aprecio por el trabajo de Lie creció gradualmente. Inicialmente, Engel e Issai Schur desarrollaron aún más sus ideas, y más tarde Picard, Killing, Élie-Joseph Cartan y Hermann Weyl continuaron el trabajo teórico de Lie en el siglo XX. A principios del siglo XX, se descubrieron las álgebras de Lie, y el trabajo original de Lie se ha generalizado de muchas maneras. Una razón para la popularidad perdurable de su pensamiento es la aplicación de los grupos de Lie a la física cuántica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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