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Archive for 13/11/19

La revolución en la lógica matemática y la teoría de conjuntos que tuvo lugar a principios del siglo XX tuvo muchos participantes importantes, incluido Ernst Zermelo. Su construcción axiomática de la teoría de conjuntos ha sido de gran importancia para el desarrollo de la matemática, ya que toda la matemática moderna se basa ahora en fundamentos de teoría de conjuntos. 

Ernst Zermelo nació el 27 de julio de 1871, hijo de Ferdinand Rudolf Theodor Zermelo, profesor universitario, y Maria Augusta Elisabeth Zieger. El joven Zermelo recibió su educación secundaria en Berlín, y estudió matemática, filosofía y física en escuelas de Berlín, Halle y Friburgo. Entre sus maestros tenemos a Georg Frobenius, Max Planck y Herman Schwartz. En 1894 obtuvo su doctorado en la Universidad de Berlín con una tesis sobre cálculo de variaciones. A pesar de que Zermelo obtendría fama a través de sus investigaciones sobre la teoría de conjuntos, mantuvo su interés y conocimiento sobre cálculo de variaciones a lo largo de su vida.

Después de trabajar durante varios años en hidrodinámica, Zermelo obtuvo un puesto en la Universidad de Gotinga en 1899, y se convirtió en profesor titular allí un año después de su demostración de 1904 del teorema del buen ordenamiento. Este resultado, que le valió el reconocimiento instantáneo entre los matemáticos contemporáneos, afirma que cualquier conjunto puede ser bien ordenado (es decir, uno puede construir una relación de orden que le permita comparar cualesquiera dos elementos del conjunto y determinar cuál es el primero). Este sorprendente teorema dice que cualquier conjunto se parece al conjunto de los números reales (donde el orden es el “menor que” que simbolizamos con <).

Zermelo estaba interesado en la física y tenía una habilidad especial para encontrar aplicaciones de la matemática en problemas prácticos. Por ejemplo, analizó la tensión entre competidores de ajedrez y estudió la fractura de un terrón de azúcar. En 1900 comenzó a dar conferencias sobre la teoría de conjuntos de Georg Cantor, que había digerido cuidadosamente; unos años más tarde produjo su teorema del buen ordenamiento, y en 1908 dio una segunda demostración. En el mismo año  estableció un sistema de axiomas para la teoría de conjuntos de Cantor que se usa comúnmente hoy en día. Los axiomas evitan cuidadosamente la paradoja de Russell, pero emplean el controvertido axioma de elección, que establece que cualquier unión disjunta de conjuntos no vacíos tiene un subconjunto que contiene exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos originales. La demostrabilidad de la famosa hipótesis del continuo depende de este axioma de elección. Algunos matemáticos lo prescinden, mientras que la mayoría lo ve como intuitivo. 

En 1910, Zermelo aceptó una cátedra en Zürich, pero se retiró seis años después debido a problemas de salud. De 1916 a 1926 vivió en Black Forest, Alemania, recuperando su salud. Luego vino a la Universidad de Friburgo de Brisgovia. (Rompió la conexión con la escuela en 1935 en protesta contra el régimen nazi. Después de la Segunda Guerra Mundial fue reinstalado). Mientras tanto, los lógicos Adolf Fraenkel y Thoralf Skolem habían hecho ciertas críticas al sistema de Zermelo, señalando la debilidad del séptimo axioma del infinito. En 1929, Zermelo respondió a esta crítica con una axiomatización de la propiedad de definición, que se utiliza para definir conjuntos a través de las propiedades comunes de sus elementos.

Zermelo hizo algunas contribuciones adicionales a la teoría de conjuntos, intentando abolir la teoría de la demostración en 1935, pero ya había logrado su trabajo más importante. Murió en la Universidad de Friburgo de Brisgovia el 21 de mayo de 1953. Aunque la demostración de Zermelo del teorema del buen ordenamiento fue importante, es recordado principalmente por su formulación axiomática de la teoría de conjuntos, que todavía es muy influyente. Además de proporcionar una rigurosa base con la teoría de conjuntos a la mayoría (o la totalidad) de la matemática moderna, su trabajo inició una investigación pura sobre teoría de conjuntos. Hoy, muchos matemáticos están investigando las consecuencias de varios sistemas de axiomas, probándolos por sus fortalezas y debilidades en términos de consistencia e integridad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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