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Cuando reordenar trae lío

Posted in Análisis Real, Producción propia, tagged Serie geométrica, Series infinitas on 7 abril 2015| Leave a Comment »

Consideremos la serie infinita

$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots.$

Si ingenuamente comenzamos sumando desde el lado izquierdo, obtenemos una sucesión llamada sumas parciales. En otras palabras, sea $s_{n}$ igual a la suma de los primeros $n$ términos de la serie, de manera que $s_{1} = 1$ , $s_{2} = 1/2$ , $s_{3} = 5/6$ , $s_{4} = 7/12$ , y así sucesivamente. Una observación inmediata es que las sucesivas sumas oscilan en un espacio cada vez más estrecho. Las sumas impares decrecen ( $s_{1}> s_{3}> s_{5}>\ldots$ ), mientras que las sumas pares aumentan ( $s_{2} <s_{4} <s_{6} <\ldots$ ).

Parece razonable –y pronto lo demostraremos– que la sucesión $(s_{n})$ eventualmente se acerca a un valor, llamémoslo $S$ , en el que las sumas parciales pares e impares «se reúnen». En este momento, no podemos calcular $S$ exactamente, pero sabemos que cae en algún lugar entre $7/12$ y $5/6$ . La suma de unos pocos cientos de términos revela que $S\approx 0,69$ . Cualquiera que sea su valor, ahora hay una tentación abrumadora de escribir

$\displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots$

lo que significa, tal vez, que si pudiéramos efectivamente sumar toda esta cantidad infinita de números, la suma sería igual a $S$ . Un ejemplo más familiar de una ecuación de este tipo podría ser

$\displaystyle 2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots,$

la única diferencia es que en la segunda ecuación tenemos un valor más reconocible para la suma.

Pero ahora llega el quid de la cuestión. Los símbolos $+$ , $-$ y $=$ en las ecuaciones anteriores son nociones engañosamente conocidas que se utilizan de una manera muy poco familiar. La pregunta crucial es si las propiedades de la suma y la igualdad que son bien comprendidas para sumas finitas siguen siendo válidas cuando se aplican a objetos infinitos, como las mostradas arriba. La respuesta, como estamos a punto de presenciar, es un tanto ambigua.

Tratando la ecuación

$\displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots$

de manera algebraica estándar, vamos a multiplicar por $1/2$ y sumar el resultado de nuevo a la ecuación arriba):

Ahora, miremos cuidadosamente el resultado. La suma arriba consiste precisamente de los mismos términos que la ecuación de partida, sólo que en un orden diferente. Específicamente, estamos ante un reordenamiento de la serie original, donde se listan los dos primeros términos positivos $(1 + \frac{1}{3})$ seguidos por el primer término negativo $(-\frac{1}{2})$ , seguido por los próximos dos términos positivos $(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})$ y luego el siguiente término negativo $(-\frac{1}{4})$ . Continuando con esto, es evidente que cada término en la serie resultante aparece en la serie original, y viceversa. El quiebre viene cuando nos damos cuenta de que la última ecuación asegura que la suma de este reordenamiento, y no alterado de otro modo, de números es igual a $3/2$ de su valor original. De hecho, la adición de unos pocos cientos de términos de esta ecuación produce sumas parciales en la vecindad de $1,03$ . La adición, en esta configuración infinita, no es conmutativa!!!

Echemos un vistazo a un reordenamiento similar de la serie

$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}(-1/2)^{n}.$

Esta serie es geométrica con primer término $1$ y la razón común $r=-1/2$ . Utilizando la fórmula $1 / (1 - r)$ para la suma de una serie geométrica, obtenemos

$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\frac{1}{64}-\frac{1}{128}+\frac{1}{256}\cdots=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}.$

Esta vez, un poco de experimentación computacional con el reordenamiento «dos positivos, uno negativo»

$\displaystyle 1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}-\frac{1}{8}+\frac{1}{256}+\frac{1}{1024}-\frac{1}{32}\cdots$

produce sumas parciales bastante cercanas a $2/3$ . La suma de los primeros $30$ términos, por ejemplo, es igual a $0,666667$ . La adición infinita es conmutativa en algunos casos pero no en otros!!!

Una interesante caja de sorpresas, no crees?

Son las patologías lo que dan lugar a la necesidad de rigor. Una resolución satisfactoria a estas cuestiones requiere que seamos absolutamente precisos acerca de lo que entendemos cuando manipulamos estos objetos infinitos. Puede parecer que el progreso es lento al principio, pero eso es porque no queremos caer en la trampa de dejar que los prejuicios de nuestra intuición corrompan nuestros argumentos. Las pruebas rigurosas están destinadas a ser un chequeo de nuestra intuición, y al final veremos que en realidad mejoran nuestra imagen mental del infinito matemático.

Como último ejemplo, consideremos la posibilidad de algo tan fundamental como intuitivo como es la propiedad asociativa de la suma aplicada a la serie $\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}$ . La agrupación de los términos de una forma da

$(-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots = 0 + 0 + 0 + 0 + \cdots = 0,$

mientras que la agrupación de otra manera da

$-1 + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1)+\cdots = -1+0+0+0+0+\cdots = -1.$

Las manipulaciones que son legítimas en escenarios finitos no siempre se extienden a escenarios infinitos. Decidir cuándo lo hacen y por qué es uno de los temas centrales del análisis, y lo que lo torna una rama fascinante de la matemática.

Referencias bibliográficas:

Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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Conjuntos potencia y Teorema de Cantor

Posted in Análisis Real, Producción propia, tagged Cardinalidad de conjuntos, Conjunto potencia, Conjuntos no numerables, Conjuntos numerables, Diagonalización de Cantor, Hipótesis del continuo, Teorema de Cantor, Teorema de Schröder-Bernstein on 17 marzo 2015| 1 Comment »

Dado un conjunto $A$ , el conjunto potencia $P(A)$ se refiere a la colección de todos los subconjuntos de $A$ . Es importante entender que $P(A)$ es en sí mismo considerado un conjunto cuyos elementos son los distintos subconjuntos posibles de $A$ .

Teorema de Cantor. Dado un conjunto $A$ , no existe una función $f: A \rightarrow P(A)$ que sea sobre.

Dem. Lo demostraremos, como se ha hecho costumbre en las últimas entradas, por contradicción, es decir que suponemos que existe $f: A \rightarrow P(A)$ sobre. A diferencia de la situación habitual en la que tenemos conjuntos de números para el dominio y el rango, $f$ es una correspondencia entre un conjunto y su conjunto potencia. Para cada elemento $a\in A$ , $f(a)$ es un subconjunto de $A$ . La suposición de que $f$ es sobre significa que cada subconjunto de $A$ aparece como $f(a)$ para algún $a\in A$ . Para llegar a una contradicción lo que haremos es producir un subconjunto $B\subseteq A$ que no sea igual a $f(a)$ para cualquier $a\in A$ .

Construimos $B$ utilizando la siguiente regla. Para cada elemento $a\in A$ , consideremos el subconjunto $f(a)$ . Este subconjunto de $A$ puede o no contener al elemento $a$ . Esto depende de la función $f$ . Si $f(a)$ no contiene a $a$ , entonces lo incluimos en nuestro conjunto $B$ . Más concretamente, sea

$B=\left\{a\in A:a\notin f(a)\right\}.$

Debido a que hemos supuesto que nuestra función $f: A \rightarrow P(A)$ es sobre, debe ser $B=f(a')$ para algún $a'\in A$ . El lector podrá convencerse fácilmente que surge una contradicción cuando consideramos si $a'$ es un elemento de $B$ . Por lo tanto, no existe una función $f: A \rightarrow P(A)$ que sea sobre. $\clubsuit$

Con este resultado podemos ahora profundizar nuestro análisis acerca de la cardinalidad de conjuntos.

La relación de tener la misma cardinalidad es una relación de equivalencia, es decir, más o menos, que todos los conjuntos en el universo pueden ser organizados en grupos disjuntos de acuerdo a su tamaño. Dos conjuntos aparecen en el mismo grupo, o clase de equivalencia, si y sólo si tienen la misma cardinalidad. Por lo tanto, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ se agrupan en una clase con todos los otros conjuntos numerables, mientras que $\mathbb{R}$ está en otra clase que incluye al intervalo $(0, 1)$ entre otros conjuntos no numerables (Recordar el Proceso de diagonalización de Cantor). Una consecuencia del Teorema de Cantor es que $P(\mathbb{R})$ –el conjunto de todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ — pertenece a una clase diferente de $\mathbb{R}$ , y no hay razón para parar aquí. El conjunto de subconjuntos de $P(\mathbb{R})$ –digamos $P(P(\mathbb{R}))$ — está en otra clase, y este proceso continúa indefinidamente.

Después de haber dividido el universo de los conjuntos en grupos disjuntos, sería conveniente conectar un número a cada colección, que se podría utilizar de la misma manera que los números naturales se utilizan para referirse a los tamaños de los conjuntos finitos. Dado un conjunto $X$ , existe algo que se llama el número cardinal de $X$ , denotado por $\text{card }X$ , que se comporta en gran medida de esta manera. Por ejemplo, dos conjuntos $X$ e $Y$ satisfacen $\text{card }X=\text{ card }Y$ si y sólo si $X\sim Y$ . (Definir rigurosamente a $\text{card }X$ requiere un tratamiento más profundo de teoría de conjuntos. Una forma de hacerlo es definir $\text{card }X$ como un conjunto muy particular que siempre se puede encontrar de forma única en la misma clase de equivalencia de $X$ .)

Mirando hacia atrás en el Teorema de Cantor, tenemos la fuerte sensación de que hay un orden en los tamaños de los conjuntos infinitos que debería reflejarse en nuestro nuevo sistema numérico cardinal. Específicamente, si es posible mapear un conjunto $X$ en $Y$ de un modo 1-1, entonces queremos que $\text{card }X\leq\text{ card }Y$ . Escribir la desigualdad estricta $\text{card }X<\text{ card }Y$ debería indicar que es posible mapear $X$ en $Y$ pero que es imposible demostrar que $X\sim Y$ . Reformulado en esta notación, el Teorema de Cantor afirma que para cada conjunto $A$ , $\text{card }A<\text{ card }P(A)$ .

Hay algunos detalles importantes para trabajar. Un tipo de problema metafísico surge cuando nos damos cuenta de que una implicación del Teorema de Cantor es que no puede haber ningún conjunto más grande. Una declaración como, «Sea $U$ el conjunto de todas las cosas posibles» es paradójica, porque conseguimos inmediatamente que $\text{card }U<\text{ card }P(U)$ y por lo tanto el conjunto $U$ no contiene todo lo que en el anuncio advierte. Cuestiones como ésta se resuelven en última instancia mediante la imposición de algunas restricciones sobre lo que se puede calificar como un conjunto. Cuando se formalizó la teoría de conjuntos, los axiomas tuvieron que ser elaborados de manera que simplemente no se permitan objetos tales como $U$ . Un problema más con los pies en la tierra que necesita de atención es demostrar que nuestra definición de $\leq$ entre números cardinales es realmente un ordenamiento. Esto implica demostrar que los números cardinales poseen una propiedad análoga a los números reales, que establece que si $\text{card }X<\text{ card }Y$ y $\text{card }Y<\text{ card }X$ entonces $\text{card }X=\text{ card }Y$ . Al final, esto se reduce a demostrar que si existe $f:X\rightarrow Y$ que es 1-1, y si existe $g: Y\rightarrow X$ que es 1-1, entonces es posible encontrar una función $h: X\rightarrow Y$ que es a la vez 1-1 y sobre. Una demostración de este hecho eludió a Cantor, pero finalmente fue suministrada de manera independiente por Ernst Schröder (en 1896) y por Félix Bernstein (en 1898), y hoy se conoce como Teorema de Schröder-Bernstein.

Había otro problema de fondo derivado de la teoría de los números cardinales en ciernes que ocupó a Cantor y que no resolvió durante su vida. Debido a la importancia de los conjuntos numerables, el símbolo $\aleph_{0}$ («aleph cero») se utiliza con frecuencia para el $\text{card }\mathbb{N}$ . El subíndice «0» es apropiado cuando recordamos que los conjuntos numerables son el tipo más pequeño de conjunto infinito. En términos de números cardinales, si $\text{card }X<\aleph_{0}$ , entonces $X$ es finito. Por lo tanto, $\aleph_{0}$ es el número cardinal infinito más pequeño. La cardinalidad de $\mathbb{R}$ también es lo suficientemente importante como para merecer la designación $\text{\textbf{\textit{c}}}=\text{ card }\mathbb{R}=\text{ card }(0,1)$ . De lo que hemos visto, $\aleph_{0}<\text{\textbf{\textit{c}}}$ . La pregunta que atormentó a Cantor fue si existían números cardinales estrictamente entre estos dos. Dicho de otra manera, ¿existe un conjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ con $\text{card }\mathbb{N}<\text{ card }A<\text{ card }\mathbb{R}$ ? Cantor era de la opinión de que no existía tal conjunto. En el ordenamiento de los números cardinales, conjeturó, $\text{\textbf{\textit{c}}}$ es el sucesor inmediato de $\aleph_{0}$ .

La Hipótesis del continuo de Cantor, como llegó a ser llamada, fue uno de los más famosos retos matemáticos del siglo pasado. Su resolución inesperada se produjo en dos partes. En 1940, el lógico y matemático alemán Kurt Gödel demostró que, utilizando solamente el conjunto acordado de los axiomas de la teoría de conjuntos, no había manera de refutar la hipótesis del continuo. En 1963, Paul Cohen demostró con éxito que, bajo las mismas reglas, también era imposible probar esta conjetura. Tomados en conjunto, lo que estos dos descubrimientos implican es que la hipótesis del continuo es indecidible. Puede ser aceptada o rechazada como una declaración sobre la naturaleza de los conjuntos infinitos, y en ningún caso se producirán contradicciones lógicas.

Para cerrar este tema y repasar lo que hemos visto en las últimas entradas de Análisis Real, los invito a ver la siguiente recreación histórica:

Referencias bibliográficas:

Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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Método de diagonalización de Cantor

Posted in Análisis Real, Producción propia, tagged Cardinalidad de conjuntos, Conjuntos no numerables, Conjuntos numerables, Diagonalización de Cantor, George Cantor on 11 marzo 2015| Leave a Comment »

En la entrada anterior acerca de conjuntos numerables demostramos que el conjunto de los números reales es no numerable. Si bien la demostración presentada es diferente de cualquiera de los argumentos que Georg Cantor dio para este resultado, revela de manera directa la conexión entre los conceptos de numerabilidad y completitud.

Cantor publicó inicialmente su descubrimiento de que $\mathbb{R}$ es no numerable en 1874, pero en 1891 ofreció una demostración más de este mismo hecho que es sorprendente por su sencillez. Se basa en representaciones decimales de los números reales, que aquí aceptaremos y utilizaremos sin ningún tipo de definición formal. El lector interesado en ahondar más en este tema puede recurrir a Apostol.

El intervalo abierto $(0,1)=\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\right\}$ es no numerable.

Dem. Procedemos por contradicción, suponiendo que sí existe una función $f:\mathbb{N}\rightarrow(0,1)$ que es 1-1 y sobre. Para cada $m\in\mathbb{N}$ , $f(m)$ es un número real entre $0$ y $1$ , y lo representamos usando la notación decimal

$f(m)=0,a_{m1}a_{m2}a_{m3}a_{m4}a_{m5}\ldots.$

Esto significa que para cada $m,n\in\mathbb{N}$ , $a_{mn}$ es el dígito del conjunto $\left\{0,1,2,\ldots,9\right\}$ que representa el $n$ -ésimo dígito del desarrollo decimal de $f(m)$ . La correspondencia 1-1 entre $\mathbb{N}$ y $(0,1)$ se puede resumir en la matriz doblemente indexada

El supuesto clave de esta correspondencia es que todo número real en $(0,1)$ se supone aparecerá en algún lugar de la lista.

Ahora la perlita del argumento. Definimos un número real $x\in(0, 1)$ con el desarrollo decimal $x=0,b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots$ usando la regla

Con un poco de profunda reflexión el lector se podrá dar cuenta de que este número real $x$ no se corresponde con ninguno de los que hemos listado en el rango de la función $f:\mathbb{N}\rightarrow(0,1)$ . Esta contradicción nos lleva a concluir que $(0, 1)$ es no numerable. $\clubsuit$

Una imagen visual quizás ayude…

Se deja al lector demostrar que $(0, 1)$ es no numerable si y sólo si $\mathbb{R}$ es no numerable. Como sugerencia, válgase de la función $h:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $h(x)=(2x-1)/(x-x^{2})$ .

Así, tenemos una nueva versión, la dada por el Proceso de Diagonalización de Cantor, que es con el nombre que se conoce la técnica que hemos descrito arriba, de la demostración de la no numerabilidad del conjunto de los números reales.

Hemos visto que demostrar que $(0,1)$ es no numerable lleva su tiempito. Sin embargo, quienes hemos estudiado la Teoría de la Medida de Lebesgue podemos jactarnos de demostrar este hecho en una sola línea. Ocurre que la medida Lebesgue de un intervalo coincide con su longitud, y la medida Lebesgue de todo conjunto numerable es cero. Así, si $(0,1)$ fuera numerable resultaría:

$0=m((0,1))=l((0,1))=1$

lo que claramente es una contradicción. La única línea arriba nos dice que $(0,1)$ es no numerable.

Después de haber distinguido entre la infinidad numerable de $\mathbb{N}$ y la infinidad no numerable de $\mathbb{R}$ , una nueva pregunta ocupó a Cantor: existe un infinito por encima de $\mathbb{R}$ ?. Esto lógicamente es un territorio traicionero. El mismo cuidado que dimos a la definición de la relación tiene la misma cardinalidad que tiene que ser dado a las relaciones que definen tiene cardinalidad mayor que o tiene cardinalidad menor o igual a. Pero esto es tema de otra entrada…