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Archive for the ‘Historia de la Matemática’ Category

Felix Klein fue un personaje importante en el desarrollo de la matemática del siglo XIX: hizo importantes contribuciones al conocimiento actual de la teoría de grupos y las superficies de Riemann, así como en el campo de la geometría hiperbólica y proyectiva, y desarrolló la teoría de las funciones automórficas. Su trabajo dio dirección e ímpetu a la próxima generación de matemáticos en Europa. 

Christian Felix Klein nació en Düsseldorf, Alemania, el 25 de abril de 1849. Después de graduarse de la escuela secundaria local, comenzó a estudiar matemática y física en la Universidad de Bonn, obteniendo su doctorado en 1868. Inicialmente quería ser físico, pero bajo la influencia de su maestro Julius Plücker cambió a la matemática. Su disertación trató temas de geometría lineal (también conocida como geometría proyectiva).  

A continuación, Klein continuó su educación en Göttingen, Berlín y París, con una breve interrupción debido a la guerra franco-prusiana. En 1871 obtuvo una cátedra en Göttingen, y al año siguiente se convirtió en profesor en la Universidad de Erlangen. Durante este tiempo, Klein estudió ciertas superficies y curvas especiales y proporcionó modelos importantes para las nuevas geometrías hiperbólicas y elípticas descubiertas anteriormente por Nicolay Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai. Sus ejemplos se basaron en la geometría proyectiva, y él fue el primero en dar tales construcciones; uno de sus documentos importantes de esta época fue Sobre la llamada geometría no euclidiana, que puso la geometría no euclidiana en una base sólida. A continuación, Klein identificó los grupos que están asociados naturalmente con varios tipos de geometrías. Más tarde conectó estos resultados teóricos a la física a través de la teoría de la relatividad. 

Klein fue catedrático en Munich, Leipzig y finalmente en Göttingen en 1886. En 1875 se casó con Anne Hegel, y tuvieron un hijo y tres hijas. Además de su trabajo inicial en geometría proyectiva y teoría de grupos, Klein hizo contribuciones a la teoría de la función, trabajo que él consideraba como el más importante. Klein pudo relacionar con éxito las superficies de Riemann, una clase de superficies encontradas en el análisis complejo, con la teoría de números, el álgebra, las ecuaciones diferenciales y la teoría de las funciones automórficas. La excelente intuición espacial de Klein le permitió rastrear relaciones notables. Se apartó de la escuela de pensamiento dirigida por Karl Weierstrass, que tenía un enfoque aritmético. En 1913, Hermann Weyl dio una base rigurosa a muchas de las ideas importantes de Klein. 

Klein también estaba interesado en la solución de la ecuación de quinto grado, ya que la teoría que se había desarrollado incluía álgebra, teoría de grupos, geometría, ecuaciones diferenciales y teoría de funciones. Derivó una teoría completa para esta ecuación a través de la proyección estereográfica de las simetrías de grupo del icosaedro, y en consecuencia descubrió las funciones modulares elípticas. Después de estudiar sus propiedades, continuó investigando funciones automórficas y campos de funciones algebraicas. Toda esta investigación estimuló una mayor exploración por parte de sus propios estudiantes, y las ideas tienen una relevancia continua en muchas áreas de la matemática moderna. 

Aunque Klein hizo la mayor parte de su trabajo en matemática pura, estaba muy preocupado por las aplicaciones. En la década de 1890 se dedicó a la física y la ingeniería. Incluso ayudó a fundar el Instituto de Investigación Aeronáutica e Hidrodinámica de Göttingen e intentó alentar a los ingenieros a una mayor apreciación de la matemática. Se retiró en 1913 debido a su mala salud, y murió el 22 de junio de 1925 en Göttingen. 

Klein fue un matemático versátil, contribuyendo a varias ramas de la matemática, y ayudó a establecer a Göttingen como un centro de actividad matemática en Alemania. A través de sus numerosos alumnos y su extensa investigación, Klein ejerció una gran influencia en el desarrollo de la matemática desde el siglo XIX hasta el siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Al-Khwarizmi es un árabe importante en la historia de la matemática de Oriente Medio, ya que desempeñó un papel en la transmisión del conocimiento hindú a Arabia, desde donde se abrió camino a Europa. Su desarrollo del álgebra, aunque rudimentario, fue una base importante para matemáticos posteriores como al-Karaji

La vida de al-Khwarizmi es bastante oscura, pero probablemente nació poco antes del año 800 en Qutrubbull, un distrito entre los ríos Tigris y Éufrates cerca de Bagdad. Bajo el reinado del califa al-Mamun de 813 a 833, al-Khwarizmi se convirtió en miembro de la Casa de la Sabiduría, una academia de científicos en Bagdad. Al-Khwarizmi escribió libros que trataban sobre astronomía, álgebra, números hindúes, calendario judío, geografía e historia. 

Su Algebra fue un trabajo elemental, diseñado para proporcionar ayuda práctica con cálculos comunes utilizados en el comercio. La primera parte se ocupa de la solución de las ecuaciones algebraicas reales, mientras que la segunda y tercera secciones tratan la medición y aplicaciones. Al-Khwarizmi da seis tipos básicos de ecuaciones que incluyen ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable. En esta etapa no hay noción de cero o número negativo, y una parte sustancial de las técnicas se refiere a la eliminación de cantidades negativas. De hecho, la palabra álgebra proviene de al-jabr, que significa “restauración”. Esto se refiere a la operación de agregar una cantidad positiva a ambos lados de una ecuación para eliminar una cantidad negativa. También se usa una operación similar llamada balanceo. El nombre completo del libro es The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Además de estas reglas básicas, el autor proporcionó información sobre cómo encontrar el área de varias figuras planas, como triángulos y círculos, así como el volumen de sólidos como el cono y la pirámide. 

Se cree que el Álgebra de Al-Khwarizmi es el primer trabajo árabe sobre el tema. Existe cierta controversia entre los estudiosos acerca de si obtuvo su información de fuentes griegas o hindúes. Su uso de diagramas indica que puede haber estado familiarizado con los Elementos de Euclides de Alejandría

El tratado de Al-Khwarizmi sobre los números hindúes también es bastante importante para la historia de la matemática, ya que es uno de los primeros trabajos en exponer el sistema numérico superior de los hindúes. Este es esencialmente el sistema moderno, que involucra 10 símbolos numéricos en un sistema posicional. Se les llama erróneamente “números arábigos”, ya que llegaron a los europeos a través de los árabes. Es probable que el sistema numérico hindú ya haya sido introducido a los árabes, pero al-Khwarizmi fue el primero en presentar una exposición sistemática. 

Además de estos trabajos matemáticos, al-Khwarizmi compuso un trabajo sobre astronomía que se derivó del conocimiento de los hindúes. Su Geografía fue una mejora con respecto a la de Ptolomeo, ya que incluía el mayor conocimiento de los árabes. 

Al-Khwarizmi murió en algún momento del siglo IX, quizás alrededor del año 850. El Álgebra de Al-Khwarizmi se utilizó ampliamente tanto en Arabia como en Europa después del siglo XII. Más importante, tal vez, es el impacto de su tratado sobre los números hindúes, que facilitó la explosión de la matemática europea después del siglo XII.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Al-Karaji hizo grandes contribuciones al álgebra al ser el primero en tratar los números independientemente de la geometría. A este respecto, difería de los griegos y de sus predecesores árabes. Por ende pudo desarrollar muchas de las propiedades algebraicas básicas de los números racionales e irracionales, y por lo tanto representa un paso importante en la evolución del cálculo algebraico. Al-Karaji es conocido como el primer autor del álgebra de polinomios. 

Hay mucha disputa entre los estudiosos sobre la ortografía del nombre de este hombre. De traducciones anteriores se le conocía como al-Karkhi, pero esto fue discutido más tarde, y fue propuesto el nombre al-Karaji.  La controversia es de cierta relevancia, ya que el nombre al-Karkhi indicaría Karkh, un suburbio de Bagdad, mientras que al-Karaji es indicativo de una ciudad iraní. En cualquier caso, al-Karaji vivió en Bagdad, donde produjo la mayor parte de su trabajo matemático, y sus libros se escribieron desde finales del siglo X hasta principios del siglo XI. Algunos eruditos creen que nació el 13 de abril del año 953. Después de este período, aparentemente partió para los “países de montaña” para escribir obras de ingeniería. 

Su tratado sobre álgebra ofrece la primera teoría del cálculo algebraico desarrollada por los árabes. Al-Karaji se basó en las técnicas de matemáticos árabes anteriores, pero su enfoque era completamente nuevo. Buscó separar las operaciones algebraicas de la representación geométrica que les dieron los griegos. La Aritmética de Diofanto de Alejandría influyó en al-Karaji y desempeñó un papel en la aritmetización del álgebra de al-Karaji. 

En su obra al-Karaji primero estudia la aritmética de los exponentes: la multiplicación y división de monomios se traduce en suma y resta de sus exponentes. Sus sucesores pudieron aplicar estas reglas a la extracción de raíces cuadradas. Al-Karaji dio un paso audaz en la producción de reglas algebraicas para números reales, independientemente de cualquier interpretación geométrica. Por un lado, se sabía que las operaciones algebraicas (como la suma y la multiplicación) y sus reglas básicas (como la asociatividad y la conmutatividad) eran ciertas para los números racionales, pero no se había desarrollado una teoría para los números irracionales (como las raíces cuadradas). Al-Karaji definió la noción de número irracional del Libro X de los Elementos de Euclides de Alejandría. Para Euclides, esta teoría de la inconmensurabilidad se aplicaba solo a cantidades geométricas, no a números. Así, al-Karaji extendió este concepto de irracionalidad a los números en un acto de fe, y extendió las operaciones algebraicas a esta clase. Los matemáticos modernos más tarde desarrollarían rigurosamente un álgebra de números reales que era puramente aritmética. 

Una consecuencia de este salto conceptual fue que los Elementos de Euclides ya no serían considerados como un libro puramente geométrico. Al-Karaji continuó desarrollando el cálculo de radicales, derivando reglas que permitían el cálculo de expresiones simples con raíces cuadradas. En una vía similar, al-Karaji dio fórmulas para el desarrollo de binomios. En su demostración del llamado teorema binomial se pueden ver los inicios de la inducción matemática. Al-Karaji también obtuvo fórmulas para la suma de enteros consecutivos y cuadrados consecutivos. 

Al-Karaji estaba interesado en aplicar estos métodos a la solución de ecuaciones polinómicas. Consideró las ecuaciones lineales, cuadráticas y ciertas ecuaciones especiales de grado superior: en esta área es evidente la influencia de Diofanto en al-Karaji. En el área del análisis indeterminado, al-Karaji pudo aclarar y extender el trabajo de Diofanto y consideró problemas que involucran tres ecuaciones no lineales en tres incógnitas. Diofanto fue conocido por su ingenio para derivar trucos especiales para problemas individuales. En contraste, al-Karaji se esforzó por desarrollar métodos generales que pudieran manejar incluso más casos. 

Poco se sabe de los  últimos días de la vida de Al-Karaji, pero algunos eruditos creen que murió en 1029. Al-Karaji produjo una nueva perspectiva sobre el álgebra. Bajo su guía, el álgebra se hizo independiente de la geometría y más estrechamente vinculado al análisis. Esta actitud divergió significativamente del pensamiento griego y se convirtió en normativa para los matemáticos árabes posteriores. Su transformación del álgebra más tarde tuvo un impacto en Europa a través de Leonardo Fibonacci, quien importó ideas y métodos árabes a Italia en el siglo XII.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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