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Archive for the ‘Historia de la Matemática’ Category

En el programa de Hilbert estaba implícita la esperanza de que la noción sintáctica de la demostración captara la noción semántica de la verdad. Kurt Gödel se topó con el sorprendente descubrimiento de que este no era el caso de la teoría de tipos y lenguas relacionadas adecuadas para la aritmética, siempre que se insistan en las siguientes suposiciones:

  1. El conjunto de teoremas (enunciados probables) es efectivamente enumerable, en virtud de la noción de la prueba que es decidible.
  2. El conjunto de afirmaciones verdaderas de la matemática es ω-completo en el siguiente sentido: dada cualquier fórmula φ(x), que contiene una variable libre x de tipo N, la sentencia universal ∀x ε N, φ(x) será verdadera si φ(n) Es verdadera para cada número n.
  3. El lenguaje es consistente.

En realidad, Gödel también hizo una suposición algo más fuerte, que, como el matemático estadounidense John Barkley Rosser más tarde mostró, podía ser reemplazada asumiendo la consistencia. El ingenioso argumento de Gödel se basó en la observación de que las declaraciones sintácticas sobre el lenguaje de la matemática pueden traducirse en declaraciones de la aritmética, por lo tanto, en el lenguaje de la matemática. Fue inspirado en parte por un argumento que supuestamente se remonta a los antiguos griegos y que fue algo como esto: Epiménides dice que todos los cretenses son mentirosos; Epiménides es un cretense; por lo tanto Epiménides es un mentiroso. Bajo los supuestos 1 y 2, Gödel construyó una declaración matemática g que es verdadera pero no demostrable. Si se supone que todos los teoremas son verdaderos, se deduce que ni g ni ¬g es un teorema.

Ningún matemático duda de la suposición 1. Al mirar una supuesta prueba de un teorema, adecuadamente formalizado, es posible para un matemático, o incluso para un ordenador, decir si es una prueba. Al enumerar todas las pruebas en, digamos, orden alfabético, se obtiene una enumeración efectiva de todos los teoremas. Los matemáticos clásicos también aceptan la suposición 2 y, por tanto, de mala gana acuerdan con Gödel que, contrariamente a la expectativa de Hilbert, hay verdaderas declaraciones matemáticas que no son demostrables.

Sin embargo, los intuicionistas moderados podrían sacar una conclusión diferente, porque no están comprometidos con la suposición 2. Para ellos, la verdad de la afirmación universal ∀x ε N, φ(x) sólo puede conocerse si se conoce la verdad de φ(n) para cada número natural n, de manera uniforme. Este no sería el caso, por ejemplo, si la prueba de φ(n) aumenta en dificultad, por lo tanto en longitud, con n. Por lo tanto, los intuicionistas moderados podrían identificar la verdad con la probabilidad y no sentirse molestados por el hecho de que ni g ni ¬g sean verdaderos, ya que en primer lugar no creerían en el principio del tercero excluido.

Los intuicionistas siempre han creído que, para que una declaración sea verdadera, su verdad debe ser cognoscible. Por otra parte, los intuicionistas moderados podrían conceder a los formalistas que decir que una afirmación se sabe que es verdadera es decir que se ha demostrado. Sin embargo, algunos intuicionistas no aceptan el argumento anterior. Al afirmar que la matemática es independiente del lenguaje, los intuicionistas afirmarían que en la demostración metamatemática de Gödel de su teorema de la incompletitud, citar la ω-completitud para establecer la verdad de una declaración universal produce después de todo una prueba uniforme de ésta última.

Gödel se consideraba un platónico, en la medida en que creía en una noción de verdad absoluta. Él tomó por hecho, como hacen muchos matemáticos, que el conjunto de afirmaciones verdaderas es ω-completo. Otros lógicos son más escépticos y quieren reemplazar la noción de verdad por la de la verdad en un modelo. De hecho, el propio Gödel, en su teoría de la integridad, había demostrado que para que un enunciado matemático fuera demostrable es necesario y suficiente que sea cierto en cada modelo. Su teorema de la incompletitud demostró ahora que la verdad en cada modelo ω-completo no es suficiente para la demostración.

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Ante todo pido disculpas por este periodo de pausa en mi weblog,
pero motivos personales hicieron que debiera alejarme por un tiempo…

Retomando la temática que estábamos tratando, si bien la lógica intuicionista se obtiene de la lógica clásica dejando de lado el principio del tercero excluido, también se han propuesto otras lógicas, aunque ninguna ha tenido un impacto comparable sobre los fundamentos de la matemática. Se pueden mencionar a las lógicas multivaluadas o multivaloradas, que admiten un número finito de valores de verdad; a la lógica borrosa, con una relación de pertenencia imprecisa (aunque, paradójicamente, una relación de igualdad precisa); y a  la lógica cuántica, donde la conjunción puede ser sólo parcialmente definida y la implicación puede no ser definida en absoluto. Quizá más importantes han sido las denominadas lógicas subestructurales en las que las propiedades habituales del símbolo de deducción se debilitan: la lógica de la relevancia es estudiada por los filósofos, la lógica lineal por los informáticos y una versión no conmutativa de ésta por los lingüistas.

He aquí algunos videos para explorarlas…

 

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El matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) a comienzos del siglo XX tuvo la idea fundamental de que los argumentos no constructivos se evitarían si uno abandona un principio de la lógica clásica que está detrás de las leyes de De Morgan. Este es el principio del tercero excluido, que afirma que, para cada proposición p, p o no p; y equivalentemente que, para cada p, no no p implica p. Este principio es básico para la lógica clásica y ya había sido enunciado por Aristóteles, aunque con algunas reservas, ya que señaló que la afirmación de que “habrá una batalla naval mañana” no es ni verdadera ni falsa.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Brouwer no afirmó que el principio del tercero excluido siempre falla, sólo que puede fallar en la presencia de conjuntos infinitos. De dos números naturales x e y uno siempre puede decidir si x=y o x\neq y, pero de dos números reales esto podría no ser posible, ya que uno podría tener que saber un número infinito de dígitos de sus desarrollos decimales. Objeciones similares se aplican a las leyes de De Morgan, una consecuencia del principio del tercero excluido. Para un conjunto finito A, si se ha demostrado que la aserción \forall_{x\in A}\neg\phi(x) conduce a una contradicción, \exists_{x\in A}\phi(x) puede ser verificada mirando cada elemento de A por vez; es decir, la afirmación de que ningún miembro de un conjunto dado tiene una determinada propiedad puede ser refutada examinando sucesivamente cada elemento del conjunto. Para un conjunto infinito A, no hay forma de realizar tal inspección.

La filosofía de la matemática de Brouwer se llama intuicionismo. Aunque el propio Brouwer sentía que la matemática era independiente del lenguaje, su discípulo Arend Heyting (1898-1980) estableció un lenguaje formal para la aritmética intuicionista de primer orden. Algunos de los seguidores posteriores de Brouwer incluso estudiaron la teoría del tipo intuicionista, que difiere de la teoría de tipos clásicos sólo por la ausencia de un solo axioma (doble negación):

\forall_{x\in\Omega}(\neg\neg x\supset x)

donde \Omega es el tipo de valores de verdad.

Arend Heyting

Aunque no se puede decir que muchos matemáticos practicantes han seguido a Brouwer al rechazar este principio por razones filosóficas, fue una gran sorpresa para las personas que trabajan en la teoría de categorías que a ciertas categorías importantes llamadas topoi (singular: topos) les han asociado un lenguaje que es intuicionista en general.

La forma moderada del intuicionismo considerada aquí abarca el constructivismo de Kronecker, pero no la posición más extrema del finitismo. De acuerdo con esta visión, que se remonta a Aristóteles, no existen conjuntos infinitos, excepto potencialmente. De hecho, es precisamente en la presencia de conjuntos infinitos que los intuicionistas abandonan el principio clásico del tercero excluido.

Una posición aún más extrema, llamada ultrafinitismo, sostiene que incluso no existen números muy grandes, digamos números mayores de 10^{(10^{10})}. Por supuesto, la gran mayoría de los matemáticos rechaza este punto de vista al referirse a 10^{(10^{10})}+1, pero los verdaderos creyentes tienen maneras sutiles de superar esta objeción, la cual, sin embargo, está fuera del alcance de esta discusión.

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