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Archive for the ‘Producción propia’ Category

Hoy 27 de Febrero he sido invitada a dar una conferencia en las II Jornadas de Enseñanza de las Ciencias Básicas de la Patagonia Sur, organizadas conjuntamente por la Facultad de Ingeniería de la UNPSJB y la Unidad Académica Caleta Olivia de la UNPA. Comparto aquí mi presentación.

Muchas gracias a todos los que asistieron y a los organizadores que me dieron la oportunidad de participar. Espero ansiosa poder compartir un nuevo encuentro tan grato como el de hoy.

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Los egipcios, como los romanos después de ellos, expresaron los números  de acuerdo a un esquema decimal, utilizando símbolos separados para 1, 10, 100, 1.000, y así sucesivamente. Cada símbolo aparecía en la expresión de un número tantas veces como el valor que representa aparecía en el propio número.

Se utiliza esta notación bastante engorrosa dentro de la escritura jeroglífica encontrada en inscripciones en piedra y en otros textos formales, pero en los documentos sobre papiro los escribas empleaban una escritura abreviada más conveniente, llamada  escritura hierática.

En tal sistema, para sumar y restar cantidades se contaba el número de símbolos que hay de cada tipo  en las expresiones numéricas y luego se escribía el número resultante de símbolos. Los textos que sobreviven no revelan los procedimientos especiales que los escribas utilizaban para ayudarse en estos casos. Sin embargo, para la multiplicación introdujeron un método de duplicación sucesiva.

Para dividir 308 por 28 los egipcios aplicaban el mismo procedimiento a la inversa.

En la mayoría de los casos, por supuesto, no había un resto que fuera menor que el divisor.

Para números más grandes este procedimiento puede mejorarse teniendo en cuenta los múltiplos de uno de los factores por 10, 20, ... o incluso por órdenes superiores de magnitud (100, 1000, ...), según sea necesario (en la notación decimal egipcia estas multiplicaciones son fáciles de hacer). Así, puede hallar el producto de 28 por 27 mediante los múltiplos de 28, a saber, 1, 2, 4, 8, 10, 20, se observa que los elementos 1, 2, 4 y 20 suman 27, por lo que basta sumar los múltiplos correspondientes para encontrar la respuesta.

Los cálculos con fracciones se llevaban a cabo bajo la restricción de considerar fracciones unitarias (es decir, fracciones que en notación moderna se escriben con numerador igual a 1). Expresar el resultado de dividir 4 por 7, por ejemplo, en notación moderna no es más que escribir 4/7, sin embargo el escriba escribía 1/2+1/14. El procedimiento para encontrar cocientes de esta forma se limitaba a extender el método habitual para la división de números enteros, inspeccionando ahora los  elementos en las tablas para 2/3, 1/3, 1/6, etc., y 1/2, 1/4, 1/8, etc., hasta que los múltiplos correspondientes del divisor sumaran el dividendo. (Se puede observar que los escribas incluían 2/3 como excepción a al exclusividad del uso de fracciones unitarias.) En la práctica el procedimiento a veces puede llegar a ser bastante complicado (por ejemplo, el valor de 2/29 que se da en el papiro Rhind es 1/24+1/58+1/174+1/232) y puede ser llevado a cabo de diferentes maneras (por ejemplo, la misma fracción 2/29 podría encontrarse como  1/15+1/435 o como 1/16+1/232+1/464, entre otros.). Una parte considerable de los textos en papiro está dedicada a tablas para facilitar el hallazgo de tales fracciones  unitarias.

Estas operaciones elementales son todo lo que se necesita para resolver los problemas aritméticos en los papiros. Por ejemplo, “para dividir 6 panes entre 10 hombres” (Problema 3 del papiro Rhind), simplemente se divide para obtener la respuesta 1/2+1/10. En un grupo de problemas hay un truco interesante: “Una cantidad (aha) y su séptima  parte suman 19; ¿cuál es la cantidad?” (Problema 24 del papiro Rhind). Aquí el escriba supone  primero que la cantidad es 7; dado que 1\ 1/7 de esa cantidad se convierte en 8, el resultado no es 19 como se esperaba, sino 19/8 (es decir, 2+1/4+1/8, que multiplicado  por 7 se convierte en la respuesta requerida. Este tipo de procedimiento (a veces llamado el método de “falsa posición”) es conocido en muchas otras tradiciones aritméticas (por ejemplo, en chinos, hindúes, musulmanes y renacentistas europeos), a pesar de que parecen no haber tenido una relación directa con los egipcios.

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Consideremos la serie infinita

\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots.

Si ingenuamente comenzamos sumando desde el lado izquierdo, obtenemos una sucesión llamada sumas parciales. En otras palabras, sea s_{n} igual a la suma de los primeros n términos de la serie, de manera que s_{1} = 1, s_{2} = 1/2, s_{3} = 5/6, s_{4} = 7/12, y así sucesivamente. Una observación inmediata es que las sucesivas sumas oscilan en un espacio cada vez más estrecho. Las sumas impares decrecen (s_{1}> s_{3}> s_{5}>\ldots), mientras que las sumas pares aumentan (s_{2} <s_{4} <s_{6} <\ldots).

 Parece razonable –y pronto lo demostraremos– que la sucesión (s_{n}) eventualmente se acerca a un valor, llamémoslo S, en el que las sumas parciales pares e impares “se reúnen”. En este momento, no podemos calcular S exactamente, pero sabemos que cae en algún lugar entre 7/12 y 5/6. La suma de unos pocos cientos de términos revela que S\approx 0,69. Cualquiera que sea su valor, ahora hay una tentación abrumadora de escribir

\displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots

lo que significa, tal vez, que si pudiéramos efectivamente sumar toda esta cantidad infinita de números, la suma sería igual a S. Un ejemplo más familiar de una ecuación de este tipo podría ser

\displaystyle 2=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots,

la única diferencia es que en la segunda ecuación tenemos un valor más reconocible para la suma.

Pero ahora llega el quid de la cuestión. Los símbolos +, - y = en las ecuaciones anteriores son nociones engañosamente conocidas que se utilizan de una manera muy poco familiar. La pregunta crucial es si las propiedades de la suma y la igualdad que son bien comprendidas para sumas finitas siguen siendo válidas cuando se aplican a objetos infinitos, como las mostradas arriba. La respuesta, como estamos a punto de presenciar, es un tanto ambigua.

Tratando la ecuación

\displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\cdots

de manera algebraica estándar, vamos a multiplicar por 1/2 y sumar el resultado de nuevo a la ecuación arriba):

Ahora, miremos cuidadosamente el resultado. La suma arriba consiste precisamente de los mismos términos que la ecuación de partida, sólo que en un orden diferente. Específicamente, estamos ante un reordenamiento de la serie original, donde se listan los dos primeros términos positivos (1 + \frac{1}{3}) seguidos por el primer término negativo (-\frac{1}{2}), seguido por los próximos dos términos positivos (\frac{1}{5}+\frac{1}{7}) y luego el siguiente término negativo (-\frac{1}{4}). Continuando con esto, es evidente que cada término en la serie resultante aparece en la serie original, y viceversa. El quiebre viene cuando nos damos cuenta de que la última ecuación asegura que la suma de este reordenamiento, y no alterado de otro modo, de números es igual a 3/2 de su valor original. De hecho, la adición de unos pocos cientos de términos de esta ecuación produce sumas parciales en la vecindad de 1,03. La adición, en esta configuración infinita, no es conmutativa!!!

Echemos un vistazo a un reordenamiento similar de la serie

\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}(-1/2)^{n}.

Esta serie es geométrica con primer término 1 y la razón común r=-1/2. Utilizando la fórmula 1 / (1 - r) para la suma de una serie geométrica, obtenemos

\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\frac{1}{64}-\frac{1}{128}+\frac{1}{256}\cdots=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}.

Esta vez, un poco de experimentación computacional con el reordenamiento “dos positivos, uno negativo”

\displaystyle 1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}-\frac{1}{8}+\frac{1}{256}+\frac{1}{1024}-\frac{1}{32}\cdots

produce sumas parciales bastante cercanas a 2/3. La suma de los primeros 30 términos, por ejemplo, es igual a 0,666667. La adición infinita es conmutativa en algunos casos pero no en otros!!!

Una interesante caja de sorpresas, no crees?

Son las patologías lo que dan lugar a la necesidad de rigor. Una resolución satisfactoria a estas cuestiones requiere que seamos absolutamente precisos acerca de lo que entendemos cuando manipulamos estos objetos infinitos. Puede parecer que el progreso es lento al principio, pero eso es porque no queremos caer en la trampa de dejar que los prejuicios de nuestra intuición corrompan nuestros argumentos. Las pruebas rigurosas están destinadas a ser un chequeo de nuestra intuición, y al final veremos que en realidad mejoran nuestra imagen mental del infinito matemático.

Como último ejemplo, consideremos la posibilidad de algo tan fundamental como intuitivo como es la propiedad asociativa de la suma aplicada a la serie \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}. La agrupación de los términos de una forma da

(-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots = 0 + 0 + 0 + 0 + \cdots = 0,

mientras que la agrupación de otra manera da

-1 + (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1)+\cdots = -1+0+0+0+0+\cdots = -1.

Las manipulaciones que son legítimas en escenarios finitos no siempre se extienden a escenarios infinitos. Decidir cuándo lo hacen y por qué es uno de los temas centrales del análisis, y lo que lo torna una rama fascinante de la matemática.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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