Feeds:
Entradas
Comentarios

Archive for the ‘Videos’ Category

En el programa de Hilbert estaba implícita la esperanza de que la noción sintáctica de la demostración captara la noción semántica de la verdad. Kurt Gödel se topó con el sorprendente descubrimiento de que este no era el caso de la teoría de tipos y lenguas relacionadas adecuadas para la aritmética, siempre que se insistan en las siguientes suposiciones:

  1. El conjunto de teoremas (enunciados probables) es efectivamente enumerable, en virtud de la noción de la prueba que es decidible.
  2. El conjunto de afirmaciones verdaderas de la matemática es ω-completo en el siguiente sentido: dada cualquier fórmula φ(x), que contiene una variable libre x de tipo N, la sentencia universal ∀x ε N, φ(x) será verdadera si φ(n) Es verdadera para cada número n.
  3. El lenguaje es consistente.

En realidad, Gödel también hizo una suposición algo más fuerte, que, como el matemático estadounidense John Barkley Rosser más tarde mostró, podía ser reemplazada asumiendo la consistencia. El ingenioso argumento de Gödel se basó en la observación de que las declaraciones sintácticas sobre el lenguaje de la matemática pueden traducirse en declaraciones de la aritmética, por lo tanto, en el lenguaje de la matemática. Fue inspirado en parte por un argumento que supuestamente se remonta a los antiguos griegos y que fue algo como esto: Epiménides dice que todos los cretenses son mentirosos; Epiménides es un cretense; por lo tanto Epiménides es un mentiroso. Bajo los supuestos 1 y 2, Gödel construyó una declaración matemática g que es verdadera pero no demostrable. Si se supone que todos los teoremas son verdaderos, se deduce que ni g ni ¬g es un teorema.

Ningún matemático duda de la suposición 1. Al mirar una supuesta prueba de un teorema, adecuadamente formalizado, es posible para un matemático, o incluso para un ordenador, decir si es una prueba. Al enumerar todas las pruebas en, digamos, orden alfabético, se obtiene una enumeración efectiva de todos los teoremas. Los matemáticos clásicos también aceptan la suposición 2 y, por tanto, de mala gana acuerdan con Gödel que, contrariamente a la expectativa de Hilbert, hay verdaderas declaraciones matemáticas que no son demostrables.

Sin embargo, los intuicionistas moderados podrían sacar una conclusión diferente, porque no están comprometidos con la suposición 2. Para ellos, la verdad de la afirmación universal ∀x ε N, φ(x) sólo puede conocerse si se conoce la verdad de φ(n) para cada número natural n, de manera uniforme. Este no sería el caso, por ejemplo, si la prueba de φ(n) aumenta en dificultad, por lo tanto en longitud, con n. Por lo tanto, los intuicionistas moderados podrían identificar la verdad con la probabilidad y no sentirse molestados por el hecho de que ni g ni ¬g sean verdaderos, ya que en primer lugar no creerían en el principio del tercero excluido.

Los intuicionistas siempre han creído que, para que una declaración sea verdadera, su verdad debe ser cognoscible. Por otra parte, los intuicionistas moderados podrían conceder a los formalistas que decir que una afirmación se sabe que es verdadera es decir que se ha demostrado. Sin embargo, algunos intuicionistas no aceptan el argumento anterior. Al afirmar que la matemática es independiente del lenguaje, los intuicionistas afirmarían que en la demostración metamatemática de Gödel de su teorema de la incompletitud, citar la ω-completitud para establecer la verdad de una declaración universal produce después de todo una prueba uniforme de ésta última.

Gödel se consideraba un platónico, en la medida en que creía en una noción de verdad absoluta. Él tomó por hecho, como hacen muchos matemáticos, que el conjunto de afirmaciones verdaderas es ω-completo. Otros lógicos son más escépticos y quieren reemplazar la noción de verdad por la de la verdad en un modelo. De hecho, el propio Gödel, en su teoría de la integridad, había demostrado que para que un enunciado matemático fuera demostrable es necesario y suficiente que sea cierto en cada modelo. Su teorema de la incompletitud demostró ahora que la verdad en cada modelo ω-completo no es suficiente para la demostración.

Read Full Post »

Ante todo pido disculpas por este periodo de pausa en mi weblog,
pero motivos personales hicieron que debiera alejarme por un tiempo…

Retomando la temática que estábamos tratando, si bien la lógica intuicionista se obtiene de la lógica clásica dejando de lado el principio del tercero excluido, también se han propuesto otras lógicas, aunque ninguna ha tenido un impacto comparable sobre los fundamentos de la matemática. Se pueden mencionar a las lógicas multivaluadas o multivaloradas, que admiten un número finito de valores de verdad; a la lógica borrosa, con una relación de pertenencia imprecisa (aunque, paradójicamente, una relación de igualdad precisa); y a  la lógica cuántica, donde la conjunción puede ser sólo parcialmente definida y la implicación puede no ser definida en absoluto. Quizá más importantes han sido las denominadas lógicas subestructurales en las que las propiedades habituales del símbolo de deducción se debilitan: la lógica de la relevancia es estudiada por los filósofos, la lógica lineal por los informáticos y una versión no conmutativa de ésta por los lingüistas.

He aquí algunos videos para explorarlas…

 

Read Full Post »

El descubrimiento en el siglo XIX de geometrías alternativas consistentes precipitó una crisis. Se demostró que la geometría euclidiana, basada en aparentemente supuestos axiomáticos más intuitivamente obvios, no se correspondía con la realidad como los matemáticos creían. Esto, junto con los audaces descubrimientos del matemático alemán Georg Cantor en la teoría de conjuntos, dejó claro que, para evitar más confusión y responder satisfactoriamente a resultados paradójicos, era necesario un fundamento nuevo y más riguroso para la matemática.

Los matemáticos del siglo XIX descubrieron que el lenguaje de la matemática podía reducirse al de la teoría de los conjuntos (desarrollada por Cantor), tratando la pertenencia \in y la igualdad =, junto con una aritmética rudimentaria que contenía al menos símbolos para cero 0 y sucesor S. Subyacentes a todo ello se encuentran los conceptos lógicos básicos: la conjunción \wedge, la disyunción \vee, la implicación \supset, la negación \neg y los cuantificadores universal \forall y existencial \exists (formalizados por el matemático alemán Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925). La notación moderna se debe más a la influencia del lógico inglés Bertrand Arthur William Russell (1872-1970) y al matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) que a Frege.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege

Bertrand Arthur William Russell

Giuseppe Peano

Durante algún tiempo, los lógicos estuvieron obsesionados con un principio de parsimonia, llamado navaja de Ockham, que los justificó en la reducción del número de estos conceptos fundamentales, por ejemplo, definiendo p\supset q como \neg p\vee q o incluso como \neg(p\wedge\neg q). Si bien esta definición, aunque innecesariamente engorrosa, es legítimamente clásica, no está permitida en la lógica intuicionista. En el mismo espíritu, muchos matemáticos adoptaron la definición de Wiener-Kuratowski del par ordenado \left\langle a,b\right\rangle como \left\{\left\{a\right\},\left\{a,b\right\}\right\}, donde \left\{a\right\} es el conjunto cuyo único elemento es a.

La lógica había sido estudiada por los antiguos, en particular por Aristóteles y los filósofos estoicos. Filón de Megara (hacia 250 a.C.) había observado (o postulado) que $p\supset q$ es falso si y sólo si p es verdadero y q es falso. Sin embargo, la conexión íntima entre la lógica y la matemática tuvo que esperar la intuición de los pensadores del siglo XIX, en particular de Frege.

Frege fue capaz de explicar la mayoría de las nociones matemáticas con la ayuda de su esquema de comprensión, que afirma que para todo \phi (fórmula o enunciado) debería existir un conjunto X tal que, para todo x, x\in X si y sólo si \phi(x) es verdadera. Por otra parte, por el axioma de extensionalidad, este conjunto X está determinado únicamente por \phi(x). Un defecto en el sistema de Frege fue descubierto por Russell, quien señaló algunas contradicciones obvias que implican conjuntos que se contienen como elementos, por ejemplo, tomando \phi(x) como \neg(x\in x). Russell ilustró esto por lo que ha llegado a ser conocido como la Paradoja del Barbero: Un barbero establece que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero? Cualquier respuesta contradice la declaración del barbero. Para evitar estas contradicciones, Russell introdujo el concepto de tipos, una jerarquía (no necesariamente lineal) de elementos y conjuntos de tal manera que las definiciones siempre proceden de elementos más básicos a conjuntos más inclusivos, esperando que las auto-referencias y las definiciones circulares serían excluidas. Con este tipo de distinción, x\in X sólo si X es de un tipo superior más apropiado.

La teoría de tipos propuesta por Russell, desarrollada posteriormente en colaboración con el matemático inglés Alfred North Whitehead (1861-1947) en su monumental Principia Mathematica (1910-1913), resultó ser demasiado engorrosa para atraer a los matemáticos y lógicos, quienes lograron evitar la paradoja de Russell de otras maneras.

Alfred North Whitehead

Los matemáticos hicieron uso de la teoría de conjuntos de Neumann-Gödel-Bernays, que distingue entre conjuntos pequeños y clases grandes, mientras que los lógicos prefieren un lenguaje de primer orden esencialmente equivalente, los axiomas de Zermelo-Fraenkel, que permiten construir nuevos conjuntos sólo como subconjuntos de conjuntos dados. Cabe mencionar también el sistema del filósofo americano Willard Van Orman Quine (1908-2000), que admite un conjunto universal. (Cantor no había permitido tal conjunto “más grande”, ya que el conjunto de todos sus subconjuntos tendría que ser aún más grande.) Aunque la teoría de tipos fue simplificada en gran medida por Alonzo Church y el matemático estadounidense Leon Henkin (1921-2006), sólo comenzó a destacarse con el advenimiento de la teoría de categorías.

Read Full Post »

Older Posts »