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Los matemáticos griegos clásicos rehuyeron el estudio del infinito, tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño (lo infinitesimal). Los infinitesimales son la piedra angular del cálculo, y muchos griegos, como Arquímedes de Siracusa, dieron los primeros pasos vacilantes hacia un descubrimiento completo del cálculo. Sin embargo, la mayoría rechazó la noción de cantidades infinitamente divisibles, como un continuo, y esta reacción se debió en gran parte a las paradojas de Zenón.

Zenón de Elea nació aproximadamente en el año 490 a.C. en Elea, Italia. Él es de ascendencia griega a pesar de su nacimiento en Italia, y es considerado en la historia miembro del grupo de filósofos griegos. Existe muy poca información confiable sobre su vida, pero se dice que su padre era Telautagoras. Zenón finalmente estudió en la escuela de filosofía de Elea, donde conoció a su maestro Parménides. La escuela eleática, fundada por Parménides, enseñó el monismo, el concepto de que todo es uno. Esta filosofía influyó en Zenón para formular varias paradojas que desafiaban los conceptos de divisibilidad infinita.

Platón afirma que Zenón y Parménides viajaron a Atenas en el 450 a.C., donde se encontraron con el joven Sócrates y discutieron filosofía con él. Antes de viajar a Atenas, Zenón ya había adquirido cierta fama a través de la publicación de un libro (que no ha sobrevivido) que contenía 40 paradojas. Estas paradojas forman una disección profundamente estimulante del concepto del continuo, perturbando así las cómodas nociones de cosas comunes como el movimiento, el tiempo y el espacio. Una de las suposiciones de Zenón es la divisibilidad: si una magnitud se puede dividir en dos, entonces se puede dividir para siempre. El trabajo de Richard Dedekind luego establecería esta propiedad de continuo para los números reales. Zenón también asumió que no existe ningún objeto de magnitud cero (no lo expresó de esta manera, ya que los griegos no tenían el cero).

En la paradoja llamada “La dicotomía”, Zenón afirma que para atravesar una distancia, primero es necesario atravesar la mitad de esa distancia; pero para llegar a la mitad, primero se requiere ir un cuarto del camino. Continuando con este razonamiento indefinidamente, Zenón concluye que comenzar es imposible y que, por lo tanto, el movimiento es imposible. Esta paradoja generalmente se resuelve sumando la serie geométrica de potencias recíprocas de dos. En “La flecha”, Zenón declara que el movimiento es imposible, porque (suponiendo que la instancia actual de tiempo “ahora” es indivisible) si una flecha se mueve cierta distancia en un instante de tiempo indivisible, entonces se movió la mitad de esa distancia en la mitad del tiempo, lo que resulta en una división del instante. Esto puede resolverse permitiendo que el tiempo sea un continuo, infinitamente divisible.

La paradoja más famosa de Zenón es la de Aquiles: establece que se ejecuta una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga, donde la lenta tortuga comienza con una ventaja. Después de un tiempo, Aquiles alcanza la mitad de la distancia intermedia. Pero la tortuga ha seguido su camino; Aquiles luego corre la mitad de la distancia restante, pero nuevamente la tortuga ha avanzado más. ¡Llevando este argumento hasta el infinito, Zenón concluye que Aquiles nunca puede ponerse al día! Esto también se puede resolver configurando una serie geométrica adecuada. Sin embargo, las resoluciones de estas paradojas se basan en ciertas nociones de infinito y propiedades del continuo. La estructura matemática detrás de estos conceptos no se desarrolló hasta muchos siglos después. Sir Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Blaise Pascal sentaron las bases modernas del cálculo. A finales del siglo XIX, Georg Cantor, Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Bertrand Arthur William Russell realizaron trabajos más avanzados sobre el continuo, así como las propiedades básicas de los números reales, entre otros. Por lo tanto, la influencia de Zenón fue de gran alcance, ya que hizo algunas preguntas muy profundas sobre el tiempo, el espacio y el movimiento.

Zenón murió en algún momento alrededor del año 425 a.C., y una fuente cuestionable relata que fue ejecutado después de un intento fallido de eliminar a un tirano de Elea. Aunque era filósofo, las ideas de Zenón provocaron una revolución matemática milenios después, ya que sus paradojas apuntaban a la necesidad de proporcionar una base rigurosa a los conceptos intuitivos del espacio y el tiempo. Sus paradojas sobre el movimiento demostraron las dificultades de considerar la velocidad como una distancia dividida por el tiempo, ya que esta relación parece ser cero dividida por cero cuando el tiempo transcurrido de viaje se reduce a cero; solo con el descubrimiento de límites e infinitesimales en la disciplina del cálculo diferencial se resolvió este enigma. Además de proporcionar una gran cantidad de obstáculos mentales para los intelectuales posteriores, Zenón también sirvió para inhibir el crecimiento de las matemáticas griegas para abarcar el infinito; por lo tanto, fue una influencia retardadora clásica, pero milenios más tarde se convirtió en un impulso para el desarrollo matemático.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Hermann Weyl, uno de los grandes matemáticos de principios del siglo XX, desarrolló con éxito las ideas de otros en teorías rigurosas. Sus documentos son notables por su originalidad y profundidad de conocimiento, y su trabajo ha ejercido una gran influencia en la investigación actual.

Hermann Weyl nació el 9 de noviembre de 1885 en Elmshorn, Alemania. Cuando era niño, asistió al Gymnasium en Altona e ingresó a la Universidad de Gotinga a los 18 años. Permaneció allí durante varios años estudiando matemática. Después de obtener su título, se convirtió en profesor en la Universidad de Zurich en 1913.

Weyl había estudiado con David Hilbert en Gotinga y seguramente fue uno de sus alumnos más talentosos. El primer trabajo importante de Weyl, que data de 1910, fue sobre la teoría espectral de las ecuaciones diferenciales, que era un área que Hilbert también estaba investigando. En 1911 comenzó a estudiar la teoría espectral de ciertos operadores en los llamados espacios de Hilbert. Sus métodos proporcionaron una idea geométrica de estos espacios abstractos y se convirtieron en técnicas importantes dentro del análisis funcional.

En 1916 Weyl publicó un famoso artículo sobre teoría analítica de números, que trata la distribución de ciertas secuencias especiales de números. Con un ingenio característico, dio una solución novedosa a preguntas no resueltas haciendo conexiones con la teoría de la integración. Sus técnicas han seguido siendo relevantes para la teoría aditiva de números.

Después de este trabajo en teoría de números, Weyl volvió a la geometría (anteriormente, en 1913, había dado una base rigurosa para la definición intuitiva de una variedad riemanniana). En 1915 atacó un problema relacionado con ciertas deformaciones de superficies convexas, y describió un método de demostración que finalmente resultaría fructífero. Weyl vió interrumpido su trabajo a raíz de la Primera Guerra Mundial, pero fue liberado del servicio militar en 1916. En Zurich trabajó con Albert Einstein y, en consecuencia, se interesó en la teoría general de la relatividad. Se propuso proporcionar una base matemática para las ideas físicas, descubriendo el concepto de conexión lineal. Élie-Joseph Cartan desarrolló aún más esta importante idea.

En la década de 1920, Weyl se interesó en los grupos de Lie, y sus artículos sobre este tema son probablemente los más importantes e influyentes. Parte del genio de su enfoque fue el uso de métodos topológicos sobre objetos algebraicos como los grupos de Lie. Sophus Lie había introducido los grupos de Lie como un nuevo e interesante campo de la matemática, pero Weyl avanzó mucho en esta rama a través de su nueva metodología.

Como matemático, Weyl creía en la importancia de las teorías abstractas, y creía que eran capaces de resolver problemas clásicos cuando se combinaban con un pensamiento cuidadoso y penetrante. Difirió con el formalista Hilbert en la filosofía de los fundamentos matemáticos, y en su lugar aceptó el intuicionismo de Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Sin embargo, en muchos otros aspectos, mostró la influencia de Hilbert. En 1930 sucedió a Hilbert en Gotinga, pero decidió abandonar la Alemania nazi en 1933, llegando al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Permaneció en los Estados Unidos hasta que se retiró en 1951. Dividió los últimos años de su vida entre Princeton y Zurich. Murió el 8 de diciembre de 1955.

Hermann Weyl realizó varias contribuciones significativas a la teoría de números, la geometría y las ecuaciones diferenciales. Cuando resolvía un problema difícil, a menudo ideaba una técnica completamente nueva para la demostración; Estos nuevos métodos generalmente se convirtieron en herramientas estándar o, a veces, condujeron a nuevas áreas de investigación. Su trabajo sobre la teoría de los grupos de Lie proporcionó una base para avances posteriores.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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A Tales se le atribuye la fundación del estudio de la matemática en Grecia, aunque gran parte de su historia es cuestionable debido a la falta de registros confiables. En un momento en que muchos en Grecia estaban más preocupados por la mera supervivencia, Tales dedicó sus energías a contemplar la ciencia y, en particular la matemática. Quizás debería recordársele mejor por haber introducido una estructura lógica a las investigaciones matemáticas, y por ser el responsable del concepto de demostración. Para los griegos de la era clásica, Tales fue una figura exaltada, que se ubica entre los Siete Sabios. 

Se cree que Tales nació alrededor del año 625 a.C. en la ciudad de Mileto. A pesar de que esta ciudad estaba ubicada en lo que hoy es Turquía, en su momento estaba habitada por pueblos griegos, y era un próspero centro económico. Sus padres fueron Examyes y Cleobuline, que probablemente eran miembros de una distinguida familia milesiana. Se registra que murió a los 78 años.

Poco se sabe de su juventud y sus primeros años. Al parecer, Tales tuvo bastante éxito como comerciante, ya que tuvo la oportunidad de dedicarse a la filosofía natural y la ciencia primitiva. Se dice que hizo su fortuna comprando todas las prensas de oliva circundantes; en cualquier caso, pasó algún tiempo en Egipto mientras comerciaba. No había matemática formal en Egipto, pero los egipcios sí tenían ciertas reglas básicas sobre las “medidas de la tierra”, que consistían en conocimientos geométricos prácticos útiles para demarcar el área del río Nilo, frecuentemente inundada. A lo que Tales trajo de Egipto lo llamó geometría, que en griego significa “medición de la tierra”. En el proceso, transformó un montón de hechos y afirmaciones en una disciplina cohesiva. Introdujo la abstracción en el estudio de la geometría para poder hacer afirmaciones generales, y utilizó el razonamiento deductivo, lo que ahora se conoce como una prueba matemática, como un medio para el verdadero conocimiento. Es difícil apreciar el salto conceptual involucrado en este cambio de pensamiento. Los egipcios sabían por mucho tiempo que los números 3, 4, 5 forman los lados de un triángulo rectángulo, pero no les preocupaba por qué era cierto. La mentalidad griega fue diferente; su curiosidad intelectual impulsó su cultura matemática mucho más allá de la de sus predecesores, y Tales fue el padre de este movimiento.

Varias otras hazañas se asignan a Tales. Ciertamente, estaba interesado en la astronomía, y se le atribuye la introducción de esa ciencia en Grecia desde Babilonia, a donde podría haber viajado. Se dice que predijo un eclipse de Sol usando un calendario babilónico de meses lunares y calculó la altura de las pirámides egipcias a través de la longitud de sus sombras. Aparentemente, también llevaba un sombrero de político, persuadiendo a los estados circundantes para que formaran una confederación. Los griegos también lo reclaman como el autor de un trabajo sobre navegación, The Nautical Star Guide, donde se  supone calculó la distancia desde la costa hasta un barco en el mar a través de un conocido teorema de congruencia de triángulos. Los griegos posteriores, como Eudemo, acreditan a Tales con varios teoremas, como la afirmación de que el círculo está bisecado por su diámetro.

Tales también es conocido como el fundador de la filosofía natural, que busca explicar los fenómenos del mundo sin hacer referencia a misteriosas fuerzas místicas y espíritus. Postuló que el mundo flotaba en el agua, el elemento primordial, lo que daba una explicación para los terremotos que no dependía de Poseidón, el agitador de la Tierra. Este enfoque representó un cambio de paradigma en el pensamiento sobre la realidad y serviría como base para siglos de filosofía y ciencia griegas. De hecho, se dice que Tales es el primer filósofo que cree en una estructura innata del mundo.

En cuanto a la matemática, le debe su forma y método actuales a Tales. Muchas culturas, como Egipto, India y los mayas, habían perseguido lo que podría llamarse “matemática”, pero sus investigaciones se limitaron a reglas prácticas, y no había ningún método para establecer la validez de esas reglas. El razonamiento deductivo, a partir de axiomas aceptables y de llegar a conclusiones a través de pasos lógicos cuidadosamente construidos, convirtió a la matemática en una ciencia creíble, y esta contribución vital se debe a Tales.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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