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Bertrand Russell fue una de las personalidades matemáticas más coloridas del siglo XX, y se encuentra entre los lógicos más importantes de la era moderna. Creía en el potencial de que toda la matemática se redujera a la lógica y ejerció mucho esfuerzo para validar este paradigma. Russell también fue un activo filósofo y revolucionario social, aplicando sus ideas lógicas a la ciencia, la ética y la religión.

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Bertrand Russell nació el 18 de mayo de 1872 en Ravenscroft, Gales. Era nieto de lord John Russell. Su madre y su padre murieron en 1874 y 1876, respectivamente, por lo que sus abuelos lo criaron. Este abuelo había servido dos veces como primer ministro bajo la reina Victoria, pero murió en 1878 y su abuela continuó con la educación del niño. Recibió educación privada al principio, y luego fue instruido en el Trinity College, en Cambridge, donde obtuvo los primeros logros en la matemática.

Russell se convirtió en académico, y finalmente fue elegido miembro de la Royal Society en 1908. Pasó sus primeros años en su programa centrado en la lógica, creyendo que toda la matemática podía reducirse a afirmaciones lógicas. En este sentido, era seguidor de Friedrich Ludwig Gottlob Frege, quien tenía una filosofía similar. El trabajo de Russell de 1910 sobre los Principia Mathematica, escrito junto con Alfred North Whitehead, estableció que las pruebas matemáticas podrían reducirse a pruebas lógicas. Los primeros volúmenes de este trabajo trataron sobre teoría de conjuntos, aritmética y lateoría de la medida; un cuarto volumen, sobre geometría, no fue completado. Parte de este enfoque, inspirado en las ideas de Frege, fue expresar los números y otros objetos matemáticos como conjuntos de clases que comparten una propiedad común. Este ambicioso proyecto perdió fuerza en los últimos años, probablemente debido a las tendencias filosóficas que se alejan del logicismo.

Antes de los Principia, Russell adquirió fama a través de la construcción de la llamada paradoja de Russell. Formó el conjunto (conjunto A) de todos los conjuntos que tienen la propiedad de que no son miembros de sí mismos. Luego uno hace la pregunta: ¿Es A (visto como un elemento) un miembro del conjunto A? Esto no se puede resolver como verdadero o falso, ya que cualquiera de las respuestas conduce a una contradicción. Esto demostró el problema fundamental de tomar colecciones de conjuntos y suponer que dicha colección es en sí misma un conjunto. Kurt Gödel utilizará posteriormente este concepto de autorreferencia para producir sus teoremas de incompletitud. 

La solución de Russell a la paradoja fue desarrollar su teoría de tipos, principalmente desarrollada en su lógica matemática de 1908, basada en la teoría de tipos. En esto Russell describió una jerarquía de clases para la cual la idea de conjunto está especialmente definida en cada nivel. Otras resoluciones a la paradoja han resultado del debilitamiento del poder del axioma básico de comprensión formulado por George Cantor, que establece que siempre se pueden reunir objetos que comparten una propiedad común en un conjunto. La consecuencia inmediata de la paradoja fue poner en duda el programa lógico propuesto por David Hilbert, que buscaba establecer rigurosamente los fundamentos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos. Parecía que incluso el concepto intuitivo de conjunto se proyectaba en la sombra.

Además de estas importantes contribuciones a la lógica, Russell también fue famoso por su “filosofía analítica”, que intentaba plantear cuestiones filosóficas en el riguroso marco de la lógica matemática. Por supuesto, este enfoque computacional de la filosofía tiene una larga historia, que se remonta a René Descartes y otros matemáticos.

La vida personal y pública de Russell interfirió con el avance de su carrera. Fue declarado culpable de actividad contra la guerra en 1916, y esto resultó en su despido del Trinity College. Dos años más tarde fue nuevamente condenado y sometido a una breve pena de prisión. Durante su encarcelamiento, escribió su famosa Introducción a la Filosofía Matemática (1919). Tropezó con cuatro matrimonios que estuvieron plagados de asuntos extra matrimoniales, e incluso fue despedido de un puesto de profesor en el City College de Nueva York en 1940 después de que un juez dictaminó que era moralmente incapaz. Se postuló (pero no fue elegido) para el Parlamento tres veces; se convirtió en Earl Russell en 1931 después de la muerte de su hermano. Abrió una escuela experimental con su segunda esposa a finales de los años veinte. Sus sentimientos contra la guerra ganaron una mejor aceptación en las décadas de 1950 y 1960, cuando fue reconocido como líder en el movimiento antinuclear. El manifiesto de Russell-Einstein de 1955 exigía el abandono de las armas nucleares. En 1957, Russell organizó la Conferencia Pugwash, una convención de científicos contra las armas nucleares, y se convirtió en presidente de la Campaña por el Desarme Nuclear en 1958. Russell fue arrestado nuevamente en 1961 por protestas nucleares. 

Después de una vida llena de matemática, filosofía y protesta pública, Russell murió el 2 de febrero de 1970 en Penrhyndeudraeth, Gales. Fue reconocido por sus extensas contribuciones a la literatura y la ciencia, ganando el Premio Nobel de literatura en 1950. Es mejor conocido por su paradoja y su posterior resolución a través de la teoría de tipos, pero también a través de sus investigaciones posteriores sobre el logicismo y el problema de la incompletitud estudiado por Gödel. El pensamiento de Russell ha sido enormemente influyente en la lógica, la matemática y la filosofía, así como en la ética, la religión y la responsabilidad social. 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Pocos matemáticos pueden compararse con Bernhard Riemann en términos de creatividad y profundidad de conocimiento. No solo encontró la nueva disciplina de la geometría riemanniana que se volvería tan importante para la teoría de la relatividad general un siglo más tarde, sino que también avanzó significativamente en otros campos de la matemática, incluido el análisis complejo, la teoría de funciones elípticas, las ecuaciones diferenciales y la teoría de la integración y topología. Es quizás más famoso por descubrir la función zeta de Riemann, que es importante para la teoría analítica de números. Como las de muchos genios, las ideas de Riemann eran tan avanzadas que pocos podían aceptarlas inmediatamente; después de su temprana muerte, el impacto de su investigación comenzó a apreciarse.

Georg Friedrich Bernhard Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, Alemania. Su madre fue Charlotte Ebell, y su padre Friedrich Bernhard Riemann. Riemann mantuvo una estrecha relación con su padre, un ministro luterano, durante toda su vida. Fue el segundo de seis hijos. Su padre lo educó personalmente hasta que tenía 10 años, y en 1842 el niño ingresó en el Johanneum Gymnasium en Lüneburg. Era un buen alumno, pero aún no mostraba un talento extraordinario en la matemática. Aunque sus estudios principales fueron clásicos y teológicos, se interesó por la matemática después de devorar rápidamente un libro de teoría de números de Adrien-Marie Legendre.

En 1846, Riemann se matriculó en la Universidad de Göttingen, donde siguió estudiando matemática. Aunque Carl Friedrich Gauss enseñaba allí en ese momento, no reconoció el talento de Riemann, al igual que algunos de sus otros maestros. Al año siguiente, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín, donde pudo estudiar con Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet; este último fue especialmente influyente en Riemann, quien adoptó su enfoque intuitivo y no computacional para las ideas matemáticas. Gran parte del trabajo de Riemann carecía del rigor preciso común en ese momento: centró sus energías en desarrollar conceptos y marcos correctos para comprender la matemática. Durante este tiempo formuló los principios básicos de su teoría de variables complejas.

Riemann regresó a Göttingen en 1849 para un trabajo de doctorado, y presentó su tesis, dirigida bajo la supervisión de Gauss, en 1851. Este trabajo presenta los objetos geométricos que se conocieron como superficies de Riemann. Fue influenciado por ideas de la física y la topología, y aplicó estas técnicas en su análisis de estas superficies, basándose en la teoría más básica de las variables complejas de Augustin-Louis Cauchy. Algunos de sus resultados se probaron utilizando una técnica variacional conocida como principio de Dirichlet (Riemann atribuyó el método a Dirichlet, aunque Gauss y otros lo habían desarrollado anteriormente). Esta tesis fue sorprendente por su originalidad, incluso el soberano Gauss quedó impresionado.

Para su trabajo postdoctoral, Riemann comenzó a investigar la representación de funciones en términos de una base de funciones trigonométricas (análisis de Fourier); en el curso de su investigación, desarrolló una rigurosa teoría de la integración, construyendo lo que más tarde se conocería como la integral de Riemann de una función. Estaba trabajando en Göttingen, y Gauss le exigió que diera una conferencia sobre geometría para completar su beca; la conferencia de Riemann sobre geometría más tarde se hizo muy famosa, ya que estableció los principios básicos y las ideas claves detrás de la teoría de la geometría diferencial. Esta conferencia de 1854 desarrolló conceptos generales de espacio, dimensión, líneas rectas, métricas, ángulos y lugares tangentes para superficies curvas. El resultado de esta exposición notablemente original fue el establecimiento de la geometría diferencial como un campo importante de investigación matemática (hubo trabajos anteriores sobre geometría diferencial, pero Riemann plantó las ideas principales que continuarían guiando el tema a lo largo del próximo siglo), que luego resultó tener una aplicación notable a la teoría general de la relatividad: Albert Einstein, a principios del siglo XX, describió la fuerza de la gravedad como esencialmente una curvatura del espacio, y la teoría geométrica de Riemann fue la base matemática perfecta para esta importante nueva rama de la física.

Esta conferencia probó el concepto fundamental de espacio con una profundidad notable, y pocos científicos y matemáticos pudieron apreciar el genio extraordinario del pensamiento penetrante de Riemann; quizás solo Gauss fue capaz de comprender verdaderamente el significado del nuevo paradigma. Riemann luego pasó a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales, tema sobre el que dio un curso con poca asistencia. Obtuvo una cátedra en Göttingen en 1857, el mismo año en que publicó la teoría de las funciones abelianas. Este trabajo investiga más a fondo las propiedades topológicas de las superficies de Riemann, así como los llamados problemas de inversión. Aunque otros matemáticos, incluido Karl Weierstrass, trabajaban en esta área, el trabajo de Riemann fue tan amplio que se convirtió en un pensador destacado en esta rama de la matemática. Riemann utilizó nuevamente el principio de Dirichlet para sus resultados, y Weierstrass declaró que no era válido para las aplicaciones de Riemann. La búsqueda de una prueba alternativa durante las siguientes décadas condujo a varios otros desarrollos algebraicos fructíferos; David Hilbert finalmente dio la formulación correcta y la prueba de los resultados de Riemann a finales de siglo. Como resultado de la correcta crítica de Weierstrass, muchos matemáticos abandonaron las teorías desarrolladas por Riemann, quien sostuvo que eran ciertas.

En 1858, Riemann recibió la visita de Enrico Betti, quien importó las ideas topológicas de Riemann a su propio trabajo. El año siguiente murió Dirichlet, y Riemann lo reemplazó como presidente de matemática en Göttingen; también fue elegido para la Academia de Ciencias de Berlín a través de las fuertes recomendaciones de Ernst Eduard Kummer y Weierstrass. La siguiente área de investigación de Riemann fue la teoría de números: exploró la función zeta, ya definida por Leonhard Euler, extendiéndola primero al plano complejo. Esta función zeta da la suma de varias series infinitas y ya se sabía que estaba relacionada con el conjunto de números primos. El trabajo de Riemann amplió enormemente el conocimiento de esta función, así como sus aplicaciones; la famosa hipótesis de Riemann, que sigue sin resolverse hoy en día, establece que todas las raíces no triviales de la función zeta se encuentran en la línea en el plano complejo definida por los números complejos cuya parte real es igual a un medio. Esta extraña conjetura ha sido ampliamente verificada numéricamente, pero una prueba completa ha escapado a los esfuerzos concertados de cientos de matemáticos. La función zeta tiene varias aplicaciones para la teoría numérica analítica, como estimar el número de primos menores que un entero dado.

Riemann sufrió de mala salud durante toda su vida. Su constitución débil más tarde impediría su investigación y le quitaría la vida prematuramente. Se casó con Elise Koch en 1862, pero poco después contrajo un resfriado y luego desarrolló tuberculosis. Pasó gran parte de su tiempo en los próximos años en el extranjero, en Italia, con la esperanza de que el clima más suave alivie su enfermedad. Regresó a Göttingen en 1865, y su salud declinó rápidamente a partir de entonces; viajó a Italia en 1866 nuevamente por razones de salud, pero no se recuperó. Murió el 20 de julio de 1866 en Selasca, Italia.

Riemann fue fácilmente uno de los matemáticos más influyentes y creativos del siglo XIX y, de hecho, de toda la historia. Afectó de manera significativa la geometría y el análisis complejo sobre todo, proporcionando esencialmente el marco a través del cual se estudian estos temas hoy. Y las preguntas y los problemas profundos que abordó en el campo de la geometría son extremadamente relevantes para las concepciones modernas del universo físico. Su trabajo en teoría de números ha estimulado un esfuerzo de investigación sin igual: la investigación de la función zeta de Riemann debe ser uno de los campos de actividad matemática más concurridos. Gauss estaría de acuerdo en que Riemann fue sin duda uno de los mejores matemáticos que este mundo ha visto.

En Septiembre del año pasado (2018) ocurrió un hecho de gran trascendencia en Heidelberg Laureate Forum. El matemático Michael Atiyah (1929-2019) anunciaba haber demostrado finalmente la Hipótesis de Riemann. Su conferencia fue vista por decenas de miles de personas por internet y numerosos ciudadanos mostraron su entusiasmo en Twitter, alabando al octogenario experto: “Los héroes a veces no llevan capa”.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El matemático indio Ramanujan llevó una corta vida llena de matemática. Con un trasfondo altamente desfavorable, pudo hacer contribuciones sustanciales a la teoría de números. Su preocupación febril por la matemática, que se centra en la obsesión, es notable por su intensidad y devoción. Es recordado como uno de los genios matemáticos más grandes de la India.

Srinivasa Aiyangar Ramanujan nació en Erode, provincia de Madrás, India, el 22 de diciembre de 1887. Aunque descendía de la casta brahmana, su familia era bastante pobre, ya que su padre era contador de un comerciante de telas local. Sobresalió en su educación temprana, y en 1900 comenzó sus propias investigaciones matemáticas. En 1903 tomó prestada la Synopsis of Pure Mathematics de G.S. Carr, que contenía miles de teoremas. Ramanujan rápidamente devoró este libro, y la matemática se convirtió en su único interés.

Se dice de Ramanujan que era tranquilo y meditativo, con una afición por los cálculos numéricos y una memoria inusual. En 1904 ganó una beca en Government College, pero no se graduó debido a su abandono del inglés. Durante un tiempo estuvo sin una ocupación definida; pasaba su tiempo anotando los resultados y sus cálculos en un pequeño cuaderno. En 1909, a los 22 años, se casó, a petición de su madre, con una niña de 9 años. Poco después, consiguió un empleo y, en 1912, trabajó en Madras Port Trust. En este momento, apareció su primera publicación, titulada Some Properties of Bernoulli Numbers (1911), una comunicación sobre series, productos infinitos y una construcción geométrica aproximada de pi. En el área de Madrás fue cada vez más reconocido por su brillante trabajo.

La famosa correspondencia de Ramanujan con el matemático británico Godfrey Harold Hardy, especialista en teoría analítica de números, inició la siguiente fase de su vida. En una carta a Hardy, describió algunos de sus principales resultados, y Hardy respondió con entusiasmo. A través de esta credencial, Ramanujan pudo obtener una beca de dos años en la Universidad de Madrás. En 1914, Ramanujan llegó al Trinity College de Inglaterra por invitación de Hardy, y en los próximos cinco años produciría 21 artículos de investigación sobre una variedad de temas: aproximaciones a pi, números altamente compuestos (es decir, no primos) y el número promedio de divisores principales. Más importante en términos de legado intelectual, Ramanujan estudió la partición de números en sumandos. Demostró muchas propiedades de esta función de partición utilizando la teoría de la función elíptica y estimuló el trabajo posterior en esta área. Además, trabajó en muchas otras áreas, como la combinatoria y la teoría de la función.

Lo notable del logro de Ramanujan es su falta de entrenamiento formal. En el momento de la correspondencia de Hardy, existían grandes lagunas en el conocimiento matemático de Ramanujan y su concepto de demostración era nebuloso. Sus argumentos se construían a partir de la intuición y la inducción, y carecían del rigor característico del pensamiento europeo. Aunque su dominio de las fracciones continuas y las integrales elípticas era extenso, la ignorancia de Ramanujan de otros aspectos de la matemática era sorprendente; algunos de sus teoremas sobre los números primos estaban completamente equivocados. Sin embargo, sus contribuciones a las funciones elípticas, las fracciones continuas y las series infinitas eran profundas.

Había luchado contra la mala salud durante muchos años, y en 1917 volvió a enfermarse, quizás contra la tuberculosis. En 1918 fue elegido miembro de la Royal Society de Londres, el primer indio en recibir ese honor, y los elogios parecían mejorar su salud. Al año siguiente regresó a la India con la perspectiva de ser profesor en la Universidad de Madrás. Desafortunadamente, su salud empeoró y rechazó la asistencia médica. Ramanujan continuó su investigación matemática hasta sus últimos días, y murió el 26 de abril de 1920 en Chetput, India.

Los matemáticos reconocieron a Ramanujan como uno de los genios más grandes de todos los tiempos. Dada la falta de recursos apropiados, la profundidad de su talento matemático fue verdaderamente excepcional. Su trabajo más famoso abordó el tema de la partición de números, pero sus resultados en series hipergeométricas también han impulsado investigaciones adicionales. 

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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