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Stefan Banach

Stefan Banach es conocido como el principal fundador del análisis funcional, el estudio de ciertos espacios de funciones. Él influenció a muchos estudiantes durante su intensa carrera como matemático en investigación, y muchos de los resultados más importantes del análisis funcional llevan su nombre. 

Poco se sabe de la personalidad de Banach, aparte de que era trabajador y dedicado a la matemática. Nacido en Cracovia el 30 de marzo de 1892, hijo de un funcionario ferroviario, Banach fue entregado a una lavandera por sus padres; esta mujer, que se convirtió en su madre adoptiva, lo crió y le dio su apellido, Banach. A la edad de 15 años daba lecciones particulares para apoyar su sustento. Se graduó de la escuela secundaria en 1910. Después de esto se matriculó en el Instituto de Tecnología de Lvov, en Ucrania, pero no se graduó. Cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal. Allí conoció al matemático polaco Hugo Steinhaus en 1916. Desde entonces se dedicó a la matemática; parece que ya poseía un amplio conocimiento de la disciplina, y junto con Steinhaus escribió su primer trabajo sobre la convergencia de series de Fourier.

En 1919 Banach fue nombrado profesor en el Instituto de Tecnología de Lvov, donde enseñó matemática y mecánica. En este mismo año recibió su doctorado en matemática, a pesar de que su educación universitaria era incompleta. Su tesis, según se dice, señaló el nacimiento del análisis funcional, tratando acerca  de ecuaciones integrales. En 1922 Banach fue promovido en consideración de un excelente artículo sobre la teoría de la medida (las medidas son funciones especiales que calculan las longitudes, las áreas y los volúmenes de los conjuntos). Después de esto fue nombrado profesor asociado, y luego profesor titular en 1927 en la Universidad de Lvov. Además, en 1924 fue seleccionado para integrar la Academia Polaca de Ciencias y Artes.

Banach hizo contribuciones a series y topologías ortogonales. Investigó una versión más general de la diferenciación en los espacios de medida y descubrió resultados clásicos sobre la continuidad absoluta. El teorema de Radon-Nikodym fue estimulado por sus contribuciones en el área de medida e integración. También estableció conexiones entre la existencia de medidas y la teoría axiomática de conjuntos. 

Sin embargo, el análisis funcional fue la contribución más importante de Banach. Poco se había hecho de manera unificada en el análisis funcional: Vito Volterra tenía unos pocos papeles de las décadas de 1890 sobre ecuaciones integrales, y Erik Ivar Fredholm y David Hilbert habían observado espacios lineales. A partir de 1922, Banach investigó los espacios lineales normados con la propiedad de la completitud -ahora llamados espacios de Banach. Aunque algunos otros matemáticos contemporáneos, como Hans Hahn, Maurice René Fréchet, Eduard Helly y Norbert Wiener, desarrollaban simultáneamente conceptos de análisis funcional, ninguno realizaba la tarea tan minuciosamente y sistemáticamente como Banach y sus alumnos. Sus tres resultados fundamentales fueron el teorema sobre la extensión de funcionales lineales continuos (ahora llamado teorema de Hahn-Banach, ya que tanto Banach como Hahn lo demostraron independientemente); el teorema sobre las familias acotadas de mapeos (llamado el teorema de Banach-Steinhaus); y el teorema sobre mapeos lineales continuos de espacios de Banach. Introdujo las nociones de convergencia débil y clausura débil, que se ocupan de la topología de los espacios lineales normados.

Banach y Steinhaus fundaron la revista Studia mathematica, pero Banach se distrajo a menudo de su trabajo científico debido a su escritura de textos para la universidad y la escuela secundaria. De 1939 a 1941 se desempeñó como decano de la facultad de Lvov, y durante este tiempo fue elegido como miembro de la Academia de Ciencias de Ucrania. Sin embargo, la Segunda Guerra Mundial interrumpió su brillante carrera; en 1941 los alemanes ocuparon a Lvov. Durante tres años, Banach se vio obligado a investigar enfermedades infecciosas en un instituto alemán, donde se alimentaba de piojos. Cuando los soviéticos recapturaron Lvov en 1944, Banach regresó a su puesto en la universidad; desafortunadamente, su salud quedó destrozada por las malas condiciones bajo el ejército alemán, y murió el 31 de agosto de 1945.

La obra de Banach se hizo más ampliamente conocida por los matemáticos que trabajaban en el campo del análisis funcional. Su nombre está atado a varios objetos matemáticos y teoremas, demostrando su importancia como uno de los principales fundadores del análisis funcional.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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A finales del siglo XIX algunas de las ideas sobre límites de sucesiones de funciones eran todavía vagas y estaban mal formuladas. René Baire avanzó mucho en la teoría de las funciones considerando cuestiones de continuidad y límite; sus esfuerzos ayudaron a solidificar las nociones intuitivas entonces en circulación.

René-Louis Baire nació en París el 21 de enero de 1874, siendo uno de los tres hijos de una familia de clase media. Sus padres afrontaron dificultades para enviar a Baire a la escuela, pero ganó una beca en 1886 que le permitió entrar al Lycée Lakanal. Completó sus estudios con altas notas y entró en la École Normale Supérieure en 1892.

Durante los tres años siguientes, Baire se convirtió en uno de los estudiantes líderes en matemática, ganando el primer lugar en su examen escrito. Era un joven callado e introspectivo de delicada salud, lo que lo atormentaría a lo largo de su vida. En el curso de su presentación oral de funciones exponenciales, Baire se dio cuenta de que la demostración de continuidad que había aprendido era insuficiente; esto le llevó a estudiar más intensamente la continuidad de las funciones y  a investigar la naturaleza general de las mismas. 

En 1899 Baire defendió su tesis doctoral acerca de las propiedades de los límites de sucesiones de funciones continuas. Se embarcó en una carrera docente en los liceos locales, pero encontró el programa demasiado exigente; finalmente obtuvo un puesto como profesor de análisis en la Facultad de Ciencias de Dijon en 1905. Mientras tanto, Baire ya había escrito algunos artículos sobre discontinuidades de funciones, y también había sufrido una enfermedad grave que implicó la constricción de su esófago. En 1908 terminó un tratado importante de análisis matemático que dio una nueva vida a ese tema. De 1909 a 1914 su salud estaba en declive continuo, y Baire luchó para cumplir sus deberes de enseñanza; en 1914 obtuvo una licencia y partió para Lausana. Por desgracia, la irrupción de la guerra le impidió su regreso, y se vio obligado a permanecer allí en difíciles circunstancias financieras durante los próximos años.

Sus contribuciones matemáticas se centraron principalmente en el análisis de funciones. Baire desarrolló el concepto de semicontinuidad y percibió que los límites y la continuidad de las funciones tenían que ser tratados con más cuidado de lo que habían sido. Su uso del número transfinito ejerció gran influencia en la escuela francesa de matemática durante las próximas décadas. Las contribuciones más duraderas de Baire se refieren a los límites de las funciones continuas, que dividió en varias categorías. Proporcionó el marco adecuado para estudiar la teoría de las funciones de una variable real; anteriormente el interés había sido periférico, ya que los matemáticos sólo estaban interesados en las funciones reales que surgían en el curso de alguna otra investigación. Así, Baire efectuó una reorientación del pensamiento.

La enfermedad de Baire le hizo incapaz de reanudar su gran proyecto, y después de la guerra se centró en la reforma del calendario. Más tarde recibió la cinta de la Legión de Honor y fue elegido para la Academia de Ciencias; tristemente, sus últimos años se caracterizaron por el dolor y las luchas financieras. Como resultado, fue capaz de dedicar sólo cantidades limitadas de tiempo a la investigación matemática. Murió en Chambéry, Francia, el 5 de julio de 1932.

El trabajo de Baire desempeña un papel importante en la historia de la matemática moderna, ya que representa un paso significativo en la maduración del pensamiento. Sus ideas fueron muy apreciadas por Émile Borel y Henri-Léon Lebesgue, y ejercieron mucha influencia en posteriores matemáticos franceses y extranjeros.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

En la Europa del siglo XIII, no había ninguna búsqueda de la ciencia como la que existe hoy en día: en la iglesia medieval, habiendo llegado a hacer irrelevante la razón en cuestiones de fe y de conocimiento, sustituyéndola por la autoridad absoluta del decreto papal y del derecho canónico, reinaba un clima intelectual sofocante. Sin embargo, el uso de la razón y el empirismo, junto con el conocimiento de la creación racional de Dios, resultaría ser la epistemología de la ciencia para los próximos siglos, lo que dio lugar a numerosos descubrimientos. Roger Bacon fue una figura temprana en este cambio de paradigma, actuando vigorosamente como un defensor clave de la utilidad de la matemática y la lógica dentro de las esferas del conocimiento humano. La filosofía natural, que en su opinión era subordinada a la teología, podía servir para el avance de la tarea humana en general (el dominio y ordenamiento de la Tierra y, más específicamente, el desarrollo de la iglesia). Un esfuerzo científico posterior, a partir de los siglos XVIII y XIX, abandonaría estas raíces teístas en favor de la razón como única autoridad en la búsqueda pedagógica del hombre; pero la promoción de Bacon de la utilización de la matemática en asociación con la fe en Dios debía seguir siendo la epistemología guiadora durante varios siglos.

El nacimiento de Bacon ha sido calculado como  aproximadamente en el año 1214, aunque los eruditos difieren en este detalle puesto que no hay una fecha exacta. Este inglés vino de una familia que había sufrido la persecución de la fiesta baronial, debido a su apoyo fallido a Enrique III. Su temprana instrucción en los clásicos latinos, incluyendo a Séneca y Cicerón, lo llevó a su fascinación por la filosofía natural y la matemática, inculcada más adelante en Oxford. Después de recibir su título de M.A. en aproximadamente 1240, aparentemente dio clases en la Facultad de Artes de París de 1241 a 1246. Discutió varios temas de las obras de Aristóteles, y fue un defensor vehemente de la instrucción completa en lenguas extranjeras. Bacon experimentó un cambio drástico en su concepción del conocimiento después de leer las obras de Robert Grosseteste (un filósofo y matemático destacado de la región) cuando volvió a Oxford en 1247; invirtió considerables sumas de dinero para equipo experimental, instrumentos y libros, y buscó el conocimiento de varias personas instruidas. Bajo la influencia de Grosseteste, Bacon desarrolló la creencia de que los lenguajes, la óptica y la matemática eran los temas científicos más importantes, una visión que él mantuvo toda su vida.

Hacia 1251 volvió a París y entró en la orden franciscana en 1257. El capítulo de Narbona fue presidido por Buenaventura, que se oponía a las investigaciones no directamente relacionadas con la teología; él discrepó agudamente con Bacon en los asuntos de la alquimia y de la astrología, que él consideraba como una pérdida completa de tiempo. Bacon, por otra parte, aunque estaba de acuerdo en que no tenían ningún impacto discernible o predecible sobre el destino de los individuos, pensó que las estrellas podían ejercer una influencia genérica sobre los asuntos del mundo; también experimentó en la alquimia, la búsqueda para transformar el plomo en oro. Debido a estas dificultades políticas, Bacon hizo varias propuestas sobre educación y ciencia al cardenal Guy de Folques, que pronto fue elegido papa Clemente IV en 1265. Como papa pidió formalmente a Bacon que presentara sus escritos filosóficos, y el inglés pronto produjo tres obras famosas: Opus maius (Gran obra), Opus minus (Obra más pequeña) y Opus tertium (Tercera obra) en los próximos años.

El Opus maius trataba sus opiniones sobre la filosofía natural y la reforma educativa. La autoridad y la costumbre fueron identificadas como impedimentos para el aprendizaje; aunque Bacon se sometía a la autoridad de las Sagradas Escrituras, creía que la sabiduría contenida allí debía ser desarrollada por la razón, correctamente informada por la fe. En esto se ven algunas semillas tempranas del pensamiento protestante sobre el equilibrio apropiado de autoridad y razón. Sin embargo, Bacon no era un creyente en la deducción pura separada del mundo observado, como los filósofos griegos y los matemáticos de la antigüedad; más bien, defendía la requisición de la experiencia. La información obtenida a través de los sentidos exteriores podría ser medida y cuantificada a través de instrumentos y dispositivos experimentales y analizada a través de la aplicación de la matemática. Al estudiar el mundo natural, era posible, según Bacon, llegar a alguna comprensión del Creador de ese mundo natural. Así, todo el conocimiento humano fue concebido en una unidad armoniosa, guiada por la teología como regente de la ciencia. Por lo tanto, era necesario profundizar la comprensión de las lenguas, la matemática, la óptica, la ciencia experimental, la alquimia, la metafísica y la filosofía moral.

La opinión de Bacon sobre la autoridad era algo progresiva: sin moderación, la autoridad impediría el arado de surcos intelectuales dada la proveniencia por la disputa racional. Sin embargo, no debe pensarse que un predecesor del nihilismo, el relativismo moral u otros sistemas antiautoritarios se puede encontrar en Bacon; creía en una verdad (el cristianismo), pero trataba de usar la razón como una herramienta apta para promover los intereses del Reino de Dios y la civilización del hombre. Los paganos deben ser convertidos por argumento y persuasión, nunca por la fuerza.

La matemática debía desempeñar un papel importante en el sistema entero de Bacon. Por supuesto, entendió el término en un sentido amplio, incluyendo la astronomía y la astrología, la óptica, la causalidad física y la reforma del calendario, incluso con aplicaciones a asuntos puramente religiosos. Su trabajo en óptica se basó en la geometría y se colocó sobre los hombros de Euclides de Alejandría, Claudio Ptolomeo y Abu Ibn al-Haytham, así como Grosseteste. Junto con Grosseteste, abogó por el uso de lentes con fines incendiarios y visuales. Las ideas de Bacon sobre la refracción y la reflexión constituían una ley completamente nueva de la naturaleza. Su trabajo en ciencias experimentales estableció tres objetivos principales: certificar el razonamiento deductivo de otros temas, como la matemática, mediante la observación experimental; añadir nuevos conocimientos no alcanzables por deducción; y para investigar los secretos de la naturaleza a través de nuevas ciencias. La última prerrogativa puede ser vista como un esfuerzo para lograr la magia práctica: la requisición de la naturaleza hacia fines espectaculares y utilitarios.

Bacon enumera cuatro ámbitos de actividad matemática: negocios humanos, asuntos divinos (tales como cronología, aritmética, música), tareas eclesiásticas (como la certificación de la fe y la reparación del calendario) y obras estatales (incluida la astrología y la geografía). La matemática, el “alfabeto de la filosofía”, no tenía límites a su rango de aplicabilidad, aunque la experiencia todavía era necesaria en la epistemología de Bacon. A pesar de su glorioso elogio de “la puerta y clave de las ciencias”, parece que la facilidad de Bacon en matemática no era grande. Aunque tiene algunos resultados originales en ingeniería, óptica y astronomía, no proporciona ninguna prueba o teorema de su propia invención.

También hizo algunas contribuciones en las áreas de geografía y reforma del calendario. Declaró la posibilidad de viajar de España a India, que pudo haber influido en Colón siglos más tarde. Las cifras de Bacon sobre el radio de la Tierra y la proporción de tierra y mar eran bastante precisas, pero basadas en una cuidadosa selección de autoridades antiguas. Su mapa del mundo conocido, ahora perdido, parece haber incluido líneas de latitud y longitud, con las posiciones de pueblos y ciudades famosas. Bacon discutió los errores del calendario juliano con gran perspicuidad, y recomendó la eliminación de un día en 125 años, similar al sistema gregoriano.

Ciertamente, después de su muerte, Bacon tuvo muchos admiradores y seguidores en los siglos posteriores. Siguió escribiendo varias comunicaciones sobre sus teorías científicas, pero en algún momento después de 1277 fue condenado y encarcelado en París por su propia orden franciscana, posiblemente por violar una censura. Su último escrito conocido fue publicado en 1292, y murió algún tiempo después.

Bacon contribuyó en general al avance de la razón y  a un enfoque racional del conocimiento en Europa; sus esfuerzos no sólo influyeron en el curso de la matemática, sino también en la historia de la ciencia en general. Los escritos de Bacon serían familiares para las generaciones posteriores de matemáticos que trabajarían a principios del siglo XVII.

 

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.