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Menelao de Alejandría, uno de los grandes matemáticos griegos posteriores, es el fundador de la trigonometría esférica (el estudio de los triángulos definidos en esferas). Tanto la Tierra como los cielos son esféricos, por lo que este tema es relevante para la navegación, la geografía y el estudio del calendario. Al definir adecuadamente los triángulos esféricos, Menelao avanzó en gran medida en este tema, con lo que también avanzó la astronomía.

Solo se dispone de fragmentos de información sobre la vida de Menelao, y solo una de sus obras ha sobrevivido. Los eruditos creen que nació aproximadamente en el año 70 en Alejandría, Egipto, y más tarde pasó gran parte de su vida adulta en Roma. Sobre la base de registros históricos, realizó una observación astronómica en Roma el 14 de enero del 98. Plutarco registra una conversación entre Menelao y otro hombre mucho después del año 75 en Roma, sobre el reflejo de la luz. Estos hechos constituyen la única evidencia de su actividad en Roma.

Menelao escribió varios libros, incluyendo Sphaerica (El libro de las proposiciones esféricas), Sobre el conocimiento de los pesos y la distribución de diferentes cuerpos, y El libro sobre el triángulo. Sólo el primero de estos ha sobrevivido. Fue el primero en escribir la definición de un triángulo esférico como la figura encerrada por la intersección de tres grandes círculos en una esfera (un gran círculo en una esfera es un círculo de diámetro máximo). Menelao procedió en analogía con el tratamiento de la geometría plana de Euclides de Alejandría y estableció muchos resultados básicos. Su éxito se debió a su superior definición de un triángulo, ya que los trabajos anteriores utilizaban círculos menores. De hecho, ahora se sabe que los grandes círculos son geodésicos, el equivalente de líneas rectas en un plano (dan el camino más corto entre dos puntos). Por lo tanto, los triángulos deben tener lados determinados por geodésicos, y así es exactamente como Menelao procedió.

En paralelo a los Elementos de Euclides, Menelao demostró muchas proposiciones. Es interesante señalar que rechazó el argumento de reducción al absurdo, que involucra una cadena infinita de argumentos que conducen a un absurdo. En su lugar, Menelao utilizó otras técnicas que creía más rigurosas, y su tratamiento de la trigonometría esférica es algo más completo que el de Euclides para la trigonometría plana.

La segunda parte de Sphaerica proporciona las aplicaciones de la trigonometría esférica a la astronomía, y la tercera parte presenta el teorema de Menelao, que fue una generalización a la trigonometría esférica de un resultado de geometría plana relativo a la intersección de una línea con los lados de un triángulo. 

La Sphaerica de Menelaus llega al lector moderno a través de varios traductores y comentaristas árabes y, desafortunadamente, sus versiones difieren un poco del libro original. Otras obras de Menelao, mencionadas anteriormente, fueron referenciadas por árabes como Thabit ibn Qurra. Sólo quedan fragmentos del original. Los comentaristas árabes también mencionaron el trabajo de Menelao sobre mecánica; al parecer, estudió los balances creados por Arquímedes de Siracusa.

Los eruditos creen que Menelao murió alrededor del año 130. Parece que él era poco conocido como matemático en su época, y los matemáticos árabes posteriores ciertamente lo mencionaron en gran medida. La contribución más importante de Menelao radica en su sólida definición de triángulos esféricos, que permitió que el campo de la astronomía progresara aún más.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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La teoría de la probabilidad, que se fundó en los estudios del siglo XVII de Blaise Pascal  y Pierre de Fermat, se convirtió en uno de los temas matemáticos más importantes e influyentes del siglo XX. El trabajo de Andrei Markov aportó algunos conceptos fundamentales a la disciplina de la probabilidad, y las llamadas cadenas de Markov han sido uno de los conceptos probabilísticos más utilizados en la ciencia y la estadística.

Andrei Markov nació el 14 de junio de 1856 en Ryazan, Rusia. Se graduó de la Universidad de San Petersburgo en 1878 y se convirtió en profesor de matemática en 1886. Sus primeros esfuerzos de investigación se centraron en la teoría de números y el análisis, y abordaron temas como las fracciones continuas y la convergencia de series infinitas. 

Después de 1900, Markov recurrió cada vez más a la teoría de la probabilidad, en la que lograría su mejor trabajo. Siguiendo los pasos de su maestro Pafnuty Lvovich Chebyshev, Markov aplicó su conocimiento de fracciones continuas a la probabilidad. Comenzó el estudio de las relaciones entre variables aleatorias dependientes, lo que sería muy importante para trabajar posteriormente en procesos estocásticos. Por ejemplo, Markov pudo probar el teorema del límite central, el resultado más importante de la estadística matemática, bajo supuestos más generales sobre la estructura de dependencia de las variables aleatorias que se están sumando. 

Estos resultados son de fundamental importancia para el estudio de series de tiempo, o datos ordenados cronológicamente, donde los valores futuros dependen, de manera estocástica, de los datos presentes y pasados. En particular, Markov inventó y estudió las cadenas de Markov, que son esencialmente secuencias de variables aleatorias en las que la estructura probabilística de un valor futuro solo depende de su predecesora inmediata. Desde entonces, esta estructura simple ha demostrado ser aplicable a una variedad de problemas científicos, al mismo tiempo que es matemáticamente manejable. La invención de las cadenas de Markov constituye un primer paso en el estudio de los procesos estocásticos, por lo que Markov es posiblemente el fundador de esta importante rama de la probabilidad. Más tarde, a principios del siglo XX, Norbert Wiener y Andrei Kolmogorov generalizarían los primeros trabajos de Markov sobre procesos estocásticos.

Markov murió el 20 de julio de 1922 en San Petersburgo, Rusia. Representa un vínculo importante en la secuencia de los grandes probabilistas rusos, incluidos Chebyshev y Kolmogorov. El trabajo de Markov está citado en gran medida en la teoría de la probabilidad y ahora es clásico por su importancia e influencia.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

Los grandes matemáticos europeos tenían muchos predecesores dentro de las culturas árabe, india y china, pero los últimos grupos no suelen ser reconocidos como los descubridores originales porque su conocimiento no se difundió tan ampliamente. Madhava de Sangamagramma es un ejemplo de esto, ya que comenzó la exploración del cálculo infinitesimal y los llamados desarrollos de Taylor dos siglos antes de que Colin Maclaurin comenzara sus investigaciones. En este sentido, Madhava debe ser reconocido como el primer analista, a pesar de que sus ideas no florecieron tan plenamente en la India.

Ninguna de las obras originales de Madhava permanece, y su vida y sus contribuciones matemáticas deben reconstruirse a partir de los relatos de matemáticos indios posteriores. Nació alrededor de 1350 en Sangamagramma, en el estado de Kerala, India. En aproximadamente 1400, Madhava descubrió el desarrollo de la serie para varias funciones trigonométricas, como seno y coseno. Estas fórmulas son similares a las series de Taylor que se descubrieron más tarde en Europa y se pueden usar para desarrollar aproximaciones computables de senos y cosenos de ángulos. 

Madhava provenía de una tradición matemática que enfatizaba los procedimientos finitos; la idea misma de una suma infinita de términos es una innovación novedosa que se aleja completamente de los conceptos precedentes de la matemática. Madhava aplicó estas series a la trigonometría, desarrollando tablas altamente precisas para valores trigonométricos. Al desarrollar la serie infinita para la función arcoseno, Madhava pudo producir una excelente aproximación para pi, produciendo su valor con 11 decimales. También analizó los términos restantes cuando la serie infinita exacta se trunca a una suma finita. Los eruditos creen que Madhava usó el método de fracciones continuas para derivar estos términos restantes.

Poco se sabe de la vida de Madhava, pero se cree que murió alrededor de 1425 en la India. Es sorprendente que Madhava haya desarrollado tales técnicas mucho antes que los europeos, dado que tenían el beneficio de una progresión intelectual. En Europa, el progreso hacia el cálculo se puede rastrear a través de varios personajes que participaron en este proceso matemático. En la India, la comunidad escolar era escasa, y hubo menos de un esfuerzo concertado para producir matemática útil para la ciencia. Muchos historiadores creen que el descubrimiento de Madhava de los desarrollos de series infinitas es similar a una técnica de integración término a término del cálculo: ¡unos pocos cientos de años antes del descubrimiento oficial del cálculo!

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.