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Hubo pocos grandes matemáticos estadounidenses hasta el siglo XX; Europa había dominado la matemática durante siglos. Birkhoff representa un paso importante en la reversión de este patrón; sus brillantes descubrimientos en ecuaciones diferenciales, geometría y dinámica llevaron a su reconocimiento como uno de los principales matemáticos de América. 

George Birkhoff nació en Overisel, Michigan, el 21 de marzo de 1884. Su padre era médico y Birkhoff recibió su educación temprana en el Instituto Lewis en Illinois. Pasó un año en la Universidad de Chicago antes de trasladarse a Harvard, donde se graduó en 1905. Regresó a la Universidad de Chicago, completando su tesis doctoral dos años después. 

Después de Chicago, Birkhoff trabajó como profesor en la Universidad de Wisconsin, tiempo durante el cual se casó con Margaret Elizabeth Grafius en 1908. Pasó algunos años en Princeton antes de convertirse en profesor en Harvard, luego se convirtió en decano de la Facultad de Artes y Ciencias de 1935 a 1939. Debido a su cátedra, pudo dedicar la mayor parte de su energía a la investigación matemática y al asesoramiento de estudiantes graduados. 

La tesis de Birkhoff trató problemas de valor límite de la teoría de ecuaciones diferenciales, tema que amplió en años posteriores. Sus primeras investigaciones fueron acerca de ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones en diferencias y el problema generalizado de Riemann. Esta área de la matemática es relevante para la física matemática, con aplicaciones a la mecánica cuántica. El programa de investigación de Birkhoff demostró ser ambicioso: construir un sistema de ecuaciones diferenciales dado un conjunto particular de “puntos singulares” (puntos de discontinuidad en la solución). Este esfuerzo ahora se ha convertido en un extenso campo de investigación; fue Birkhoff quien dio los primeros pasos. 

Su principal interés en el campo del análisis fue en los sistemas dinámicos. Birkhoff intentó extender el trabajo de Jules-Henri Poincaré sobre mecánica celeste, y demostró que una de las últimas conjeturas de este último involucraba los puntos fijos de las transformaciones continuas de un anillo. Birkhoff introdujo los conceptos de movimientos errantes, centrales y transitivos e investigó el tema de la transitividad. El corpus principal de la dinámica moderna surgió de las ideas de Birkhoff, incluida la teoría ergódica y la dinámica topológica. Su principio minimax y su teorema sobre puntos fijos de transformaciones proporcionaron motivación en las áreas de análisis y topología. 

Birkhoff también pensó profundamente en los fundamentos de la relatividad y la mecánica cuántica, y contribuyó con algunos trabajos teóricos a  estos temas. Aunque controvertidos entre los físicos, estos trabajos proporcionan críticas originales y un enfoque novedoso de la relatividad. Birkhoff también hizo aportes en combinatoria, teoría de números y análisis funcional. Su texto sobre geometría ha influido en las tendencias pedagógicas estadounidenses en la enseñanza de la geometría de la escuela secundaria.  

Birkhoff fue muy apreciado por sus colegas, y fue visto como uno de los eminentes matemáticos de América en ese momento. Estuvo muy influenciado por Maxime Bôcher de Harvard y Eliakim Hastings Moore de la Universidad de Chicago, a través de quienes aprendió álgebra y análisis. Birkhoff fue presidente de la American Mathematical Society en 1925; tenía muchos amigos y colaboradores en Europa, como Jacques Hadamard, Tullio Levi-Civita y Sir Edmund Whittaker. Murió en Cambridge, Massachusetts, el 12 de noviembre de 1944.  

Las principales contribuciones de Birkhoff radican en los sistemas dinámicos, pero también estimuló el interés en las ecuaciones de topología y de diferencias. Gran parte de la matemática moderna puede rastrear una conexión con el trabajo de Birkhoff; también representó el comienzo de la tendencia fuera del dominio europeo de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Los matemáticos indios contribuyeron a un mayor desarrollo del sistema numérico digital, y también complementaron la abundante información geométrica y aritmética disponible. Durante la Edad Oscura de Europa, la matemática progresaba lentamente en Medio Oriente e India, y Bhaskara II fue uno de los matemáticos más conocidos de su tiempo. 

Bhaskara II se distingue de Bhaskara I, un indio del siglo VII conocido por su exposición de la astronomía de Aryabhata I. Bhaskara II fue reconocido por su trabajo en astronomía, pero también por sus esfuerzos en matemática pura. Nació en 1114 en la India, pero se sabe poco de su vida. Aparentemente, provenía de una familia de brahmanes, y nació en la ciudad de Vijayapura. Entre sus contemporáneos, Bhaskara era famoso por sus talentos científicos, ya que no solo dominaba el conocimiento previo de Brahmagupta y otros, sino que también lo expandió a través de sus propias contribuciones. 

Bhaskara fue nombrado jefe del observatorio astronómico en Ujjain, el principal centro de conocimiento matemático en la India en ese momento. Debido a esta eminente posición, Bhaskara representó la cima del conocimiento matemático en el mundo, ya que poco de importancia estaba ocurriendo en Europa en el siglo XII. Bhaskara poseía una comprensión profunda de los sistemas numéricos y la solución de ecuaciones; como sucesor de Brahmagupta, entendió los conceptos de los números negativos y el cero. Estudió numerosas ecuaciones de problemas diofánticos en una o más variables con coeficientes enteros, y a menudo obtuvo soluciones que eran extremadamente grandes (esto hubiera sido imposible de lograr sin un excelente sistema numérico que facilitara tales cálculos). 

Hay al menos seis escritos que definitivamente se pueden atribuir a Bhaskara. el Lilavati que está dirigido a una mujer con ese nombre (tal vez su hija o su esposa), contiene 13 capítulos sobre matemática, incluyendo temas como aritmética, geometría plana, geometría sólida, álgebra, aspectos acerca de un gnomon y combinaciones de dígitos. (Un gnomon es una forma geométrica que había fascinado a los griegos, es la forma L que queda cuando se quita un rectángulo de uno más grande). Bhaskara tiene cuidado de definir sus términos con precisión, y analiza progresiones aritméticas y geométricas de números. Su discusión sobre la combinación de dígitos, esencialmente una contribución a la aritmética moderna, fue tal vez de la mayor importancia. Este fue por mucho el trabajo más popular de Bhaskara, con casi tres docenas de comentarios y numerosas traducciones.

Bhaskara manipula fácilmente la aritmética de los números negativos, y sabe cómo multiplicar por cero. Además, evitó el error de Brahmagupta de intentar dividir por cero, dándose cuenta de la dificultad inherente a esta operación; en su obra Bijaganita, Bhaskara escribe que cualquier número dividido por cero es infinito, que está más cerca de la verdad. Su método de multiplicación para números grandes es algo diferente de la técnica moderna, pero ampliamente efectivo. Bhaskara también demuestra reglas particulares para cuadrar números, aunque este es un caso especial de multiplicación. Trata la proporción inversa al discutir la regla de tres, la regla del cinco, la regla del siete y la regla del nueve. 

El Bijaganita trata acerca de álgebra: números positivos y negativos (los números negativos fueron luego “inventados” por Fibonacci en Europa), el cero, varios tipos de ecuaciones (incluida la cuadrática) y la multiplicación de varias incógnitas. De nuevo, tiene varios comentarios y traducciones. 

El Siddhantasiromani de Bhaskara, escrito en 1150, consta de dos partes. La primera sección, llamada Ganitadhyaya, trata sobre astronomía matemática, abordando la longitud media y real de los planetas, el movimiento diurno, las sicigias, los eclipses lunares y solares, las latitudes planetarias, la luna creciente y las conjunciones planetarias. La segunda porción, llamada Goladhyaya, trata sobre la esfera y es en gran medida una explicación de la primera parte: la naturaleza de la esfera, cosmografía, geografía, movimientos planetarios, construcción de una esfera armilar, trigonometría esférica, cálculos del eclipse, visibilidad de los planetas y luna creciente, instrumentos astronómicos, descripción de las estaciones, y la realización de cálculos astronómicos. También trata la función seno, expresando más interés en esta función por sí misma, desarrollando la conocida suma e identidades del producto. El Siddhantasiromani también tiene más de una docena de comentarios y muchas traducciones. 

Luego, está el Vasanabhasya, que es el comentario de Bhaskara sobre los Siddhantasiromani. El Karanakutuhala (Cálculo de maravillas astronómicas), escrito en 1183, da reglas más simples que las contenidas en el Siddhantasiromani para resolver problemas en astronomía. Discute las longitudes medias y reales de los planetas, el movimiento diurno, los eclipses lunares y solares, la media creciente, las conjunciones planetarias y las sicigias. Finalmente, el Vivarana de Bhaskara no se ha estudiado. Además, el Bijopanaya, escrito en 1151, ha sido atribuido por algunos a Bhaskara, aunque esto parece ser una falsificación posterior.  

Los múltiples logros de Bhaskara y su excelente talento lo colocaron en una posición venerada entre los intelectuales indios, y en 1207 se dotó a una institución educativa para estudiar sus escritos. Ciertamente marcó una huella más tarde en los matemáticos indios, quienes fueron fuertemente influenciados por su trabajo en astronomía y matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Enrico Betti es conocido por sus contribuciones a la teoría de Galois (una teoría algebraica abstracta utilizada para resolver ecuaciones algebraicas, desarrollada por Evariste Galois) y a la teoría de las funciones elípticas. Su trabajo en el análisis del hiperespacio inspiró más tarde a Henri Poincaré en la fundación de la geometría algebraica. 

Betti nació el 21 de octubre de 1823 en Pistoia, Italia, y su padre murió cuando era muy joven. Como resultado, su madre supervisó su educación, y posteriormente se matriculó en la Universidad de Pisa, recibiendo un grado en ciencias físicas y matemática. Después se involucró en la guerra por la independencia italiana, participando como soldado en las batallas de Curtatone y Montanara. Su profesión posterior fue como profesor de matemática de secundaria en Pistoia, aunque simultáneamente continuó sus propias investigaciones en matemática pura.

Gran parte del trabajo de Betti era en el campo del álgebra. El trabajo de Evariste Galois, que recibió poco reconocimiento durante la breve vida de su autor, se resumió en gran medida en una carta personal de 1832 que posteriormente fue publicada por Joseph Liouville en 1846. Desde entonces, Betti promovió el trabajo de Galois sobre la solubilidad de las ecuaciones algebraicas mediante operaciones por radicales (la cuestión de determinar qué ecuaciones podrían tener sus soluciones expresadas en términos de radicales y números racionales). Conectando el trabajo de Galois con las investigaciones previas de Niels Henrik Abel y Paolo Ruffini, Betti superó la brecha entre los nuevos métodos del álgebra abstracta y los problemas clásicos (como el quíntico) tratados anteriormente. Muchos consideraban entonces que las labores de Galois eran irrelevantes y estériles, pero las elaboraciones de Betti en dos documentos de 1852 y 1855 constituyen un paso importante para revertir esas opiniones adversas; hoy en día la teoría de Galois es vista como un componente fructífero y encantador del álgebra abstracta.

También investigó la teoría de las funciones elípticas, un tema popular en el siglo XIX; Betti describió esta rama de la matemática relacionándola con la construcción de ciertas funciones trascendentales en 1861, y Karl Weierstrass desarrolló estas ideas en los años siguientes. Tomando otra mirada no-algebraica sobre el mismo tema, Betti investigó las funciones elípticas desde la perspectiva de la física matemática. Con la guía de Bernhard Riemann, con quien Betti se había reunido en Göttingen en 1858, Betti investigó los procedimientos utilizados en electricidad y en análisis matemático.

En 1865 Betti aceptó una cátedra en la Universidad de Pisa, que conservó por el resto de su vida. Más tarde se convirtió en rector de la universidad y director de la escuela de profesores en Pisa. Desde 1862 fue miembro del parlamento italiano, sirvió brevemente como subsecretario de Estado para la educación pública en 1874 y se convirtió en senador en 1884. Sin embargo, sus intereses principales no estaban en la política o la administración, sino en la investigación matemática pura; Betti sólo deseaba tener soledad para su propia reflexión intelectual y reuniones animadas con sus amigos más cercanos.

El trabajo de Betti en el campo de la física teórica condujo a una ley de reciprocidad en la teoría de la elasticidad, conocida como el teorema de Betti (1878). Primero aprendió los métodos de George Green para la integración de las ecuaciones de Pierre-Simon Laplace en la teoría de potenciales y utilizó esta metodología en el estudio de la elasticidad y el calor. También analizó el hiperespacio en 1871; Poincaré se inspiraría más tarde en Betti para ampliar estas investigaciones preliminares. Los números de Betti, acuñados por Poincaré, se utilizarían comúnmente como características mensurables de una variedad algebraica. 

Betti fue un excelente maestro, trayendo su pasión y su amplio conocimiento al aula, y fue un ferviente defensor del regreso a la educación clásica. Consideró los Elementos de Euclides de Alejandría como un texto modelo para la instrucción, y abogó firmemente por su regreso a las escuelas secundarias. Influyó en varias generaciones de estudiantes en Pisa, guiando a muchos hacia la búsqueda del conocimiento científico. Murió el 11 de agosto de 1892, en Pisa. 

El impacto de Betti en la matemática todavía se siente hoy. Su investigación temprana en topología algebraica fue fundamental, como lo atestigua la importancia duradera de los números de Betti. Tal vez aún más importante fue su desarrollo de la teoría de Galois, que se ha convertido en un gran componente de los estudios modernos en álgebra abstracta.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.