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La teoría de ecuaciones integrales, que se ocupa de encontrar una función desconocida que satisfaga una ecuación que involucra su integral, tiene amplias aplicaciones a la física matemática, y se ha convertido en un campo de interés por derecho propio. Ivar Fredholm hizo algunas contribuciones significativas en este campo, y su trabajo ha alcanzado una importancia clásica para esta rama de la matemática. 

Ivar Fredholm nació en Estocolmo, Suecia, el 7 de abril de 1866, hijo de una familia de clase alta. Su padre era un rico comerciante, y su madre provenía de la élite de Suecia; como resultado, Fredholm recibió la mejor educación. Mostró su brillantez a una temprana edad, pasando su bachillerato en 1885. Un año en el Instituto Politécnico de Suecia fomentó un interés perdurable en la matemática aplicada y la mecánica práctica. Se matriculó en la Universidad de Uppsala al año siguiente, obtuvo su licenciatura en ciencias en 1888 y su doctorado en 1898. Fredholm también tomó clases en la Universidad de Estocolmo, estudiando con el reconocido Magnus Mittag-Leffler, y recibió un puesto allí en 1898; en 1906 se convirtió en profesor de física matemática. Murió el 17 de agosto de 1927 en Estocolmo. 

La tesis de Fredholm trataba un tema de teoría de ecuaciones diferenciales parciales, que tenía aplicaciones al estudio de deformaciones de objetos sometidos a fuerzas interiores o exteriores. Una década más tarde, Fredholm generalizó por completo su trabajo para resolver la ecuación diferencial parcial elíptica general (un tipo particular de ecuación diferencial). 

Fredholm adquirió fama por su solución de la llamada ecuación integral de Fredholm, que tiene amplias aplicaciones en física; por ejemplo, estas ecuaciones surgen en el estudio de la membrana vibratoria. Muchos matemáticos, como Niels Henrik Abel y Vito Volterra, ya habían atacado este problema con un éxito parcial. Fredholm presentó una solución completa en 1903 después de reconocer una analogía fundamental entre la ecuación de Fredholm y una ecuación de matrices; esta observación se convertiría más tarde en una piedra angular en el análisis funcional. Al examinar la analogía del determinante de la matriz para el operador integral, Fredholm fue capaz de formular condiciones precisas bajo las cuales la ecuación era incluso resoluble, y de dar una fórmula para la solución cuando existía. 

Este trabajo ciertamente constituye un hito en el análisis funcional y la teoría de las ecuaciones integrales. Cuando estos avances se comunicaron a David Hilbert, éste se inspiró para avanzar en el estudio de estas ecuaciones; poco después, Hilbert inventó una teoría de autovalores para operadores integrales, en analogía con matrices, y construyó los llamados espacios de Hilbert. Por lo tanto, Fredholm inspiró la construcción de algunas de las herramientas más valiosas del análisis funcional.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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El análisis funcional surgió en el siglo XX gracias al genio de varios matemáticos. René-Maurice Fréchet fue uno de estos individuos importantes. Fréchet fue el primero en presentar una noción de topología (el estudio de las funciones continuas y sus efectos en superficies de dimensión alta) para los nuevos espacios funcionales, y sus ideas abstractas se convirtieron en fundamentales para el posterior desarrollo de este campo. 

Fréchet nació el 10 de septiembre de 1878, en Maligny, Francia. Era el cuarto de seis hijos, y sus padres eran protestantes de clase media. Su padre, Jacques Fréchet, era director de un orfanato, pero más tarde se convirtió en maestro de escuela cuando la familia se mudó a París. La madre de Fréchet, Zoé, dirigía una pensión para extranjeros. En el Lycée Buffon de París, Fréchet aprendió matemática de Jacques Hadamard, que reconoció el talento en ciernes del joven. 

Fréchet ingresó a la École Normale Supérieure en 1900 y se graduó tres años después. Durante este tiempo conoció a Émile Borel, y esto se convirtió en una amistad para toda la vida. Fréchet continuó sus estudios bajo la tutela de Hadamard, y completó su disertación en 1906 sobre el tema del cálculo funcional. El estudio de los funcionales era un tema nuevo, y Fréchet introdujo nociones topológicas en el espacio de los funcionales de varias maneras novedosas. En particular, Fréchet pudo definir las nociones de continuidad y límite para estos funcionales. Al generalizar el trabajo de George Cantor para los espacios funcionales, Fréchet pudo definir las nociones de compacidad, separabilidad e integridad que se encuentran en los espacios de puntos. Estas ideas tempranas se convirtieron luego en elementos fundamentales de la teoría moderna del análisis funcional. Hoy en día, el análisis funcional se utiliza en una amplia variedad de aplicaciones de ingeniería y estadística, y es en gran parte responsable del rápido avance de muchas tecnologías (por ejemplo, mediar el efecto de la turbulencia del viento en el vuelo de las aeronaves) de nuestros días. 

Fréchet finalmente obtuvo una cátedra en la Universidad de Poitiers en 1910. Durante la Primera Guerra Mundial, se desempeñó como intérprete del ejército británico. Después de la guerra dirigió el Instituto de Matemática de la Universidad de Estrasburgo en 1919. Se casó con Suzanne Carrive en 1908, y tuvieron cuatro hijos.  

Mientras tanto, Fréchet continuó su investigación en análisis funcional, estableciendo el teorema de representación para funcionales lineales continuos en 1907, que Frigyes Riesz descubrió independientemente. Fréchet generalizó la noción de derivada del cálculo ordinario a operadores en espacios funcionales y también extendió las ideas de integración de Johann Radon y Henri-Léon Lebesgue a espacios sin una topología. También desarrolló algunos de los primeros espacios topológicos abstractos a partir de ciertos axiomas establecidos. Estos resultados son ahora clásicos en el campo del análisis funcional y en topología. 

Fréchet se mudó a la Universidad de París en 1928, donde enseñó matemática hasta su retiro en 1949. Durante este período, se centró en probabilidad y estadística, utilizando el análisis funcional como una herramienta para resolver varios problemas concretos de ese área. Sin embargo, este trabajo no fue igual en originalidad a sus primeras contribuciones a la topología de los espacios funcionales. Murió en París el 4 de junio de 1973.  

El trabajo de Fréchet recibió elogios de sus colegas en América, y recibió varios honores durante su vida, siendo miembro de la Royal Society of Edinburgh y miembro honorario de la Edinburgh Mathematical Society. Hadamard, en un informe de 1934 a la Academia de Ciencias, anunció que el trabajo de Fréchet en análisis funcional, en términos de abstracción y generalidad, podría ser comparado con los trabajos pioneros de Evariste Galois en la teoría de campos algebraicos. Ciertamente, los resultados de Fréchet dieron una base topológica firme al análisis funcional, que ha demostrado ser una de las herramientas más útiles de la matemática moderna, con múltiples aplicaciones en estadística e ingeniería.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Jean-Baptiste-Joseph Fourier era hijo de un sastre. Nació el 21 de marzo de 1768, en la ciudad de Auxerre, Francia. A los nueve años había perdido a sus padres, Joseph y Edmée. El arzobispo lo colocó en la escuela militar local, donde desarrolló una fuerte inclinación hacia la matemática. Antes del final de su vida, Fourier fundaría la teoría de series trigonométricas y realizaría grandes avances en la comprensión de la dinámica del calor. 

Fourier nació en un período tranquilo de la historia de Francia, que pronto estallaría en el caos de la Revolución Francesa. Inicialmente, el joven deseaba unirse a la artillería o ingenieros, pero en cambio fue enviado a una escuela Benedectina en St.-Benoît-sur-Loire. Cuando la revolución comenzó en 1789, regresó a Auxerre como maestro en su antigua escuela militar. Se hizo prominente en asuntos locales, y desafió al gobierno a través de su valiente defensa de las víctimas del Terror. En 1794 fue arrestado, pero fue liberado después de la ejecución de Robespierre y brevemente asistió a la École Normale. Aunque esta escuela solo existió durante un año, parece que Fourier causó una fuerte impresión en la facultad, y fue nombrado profesor asistente en 1795 en la École Polytechnique. Allí cayó en conflicto con la reacción al régimen anterior (contra el que realmente había luchado) y fue encarcelado, pero sus colegas lograron obtener su liberación. En 1798 fue elegido para acompañar a Napoleón en su campaña egipcia, donde se convirtió en secretario del Institut d’Égypte y llevó a cabo diversas misiones diplomáticas. A pesar de estos deberes, Fourier encontró tiempo para atender sus intereses matemáticos. 

En 1801, Fourier regresó a Francia, pero su deseo de regresar a su puesto en la École Polytechnique no se realizó: Napoleón, habiendo determinado el talento administrativo de Fourier, lo nombró prefecto del departamento de Isère. Tuvo éxito en esta designación y Napoleón lo nombró barón en 1808. En esta época, escribió el prefacio histórico de la Description de l’Égypte, completado en 1809, que era un registro de la obra del Institut d’Égypte. Cuando Napoleón fue derrotado en 1814, el grupo que lo escoltaba a Elba planeó pasar por Grenoble, donde Fourier se instaló como prefecto. Fourier negoció un desvío del grupo con el fin de salvar a Napoleón de un encuentro embarazoso. En el regreso de Napoleón de Elba en 1815, Fourier cumplió con sus deberes como prefecto organizando una resistencia simbólica en Lyon. Más tarde, los dos amigos se encontraron en Bourgoin, y Napoleón restableció su confianza en el matemático haciéndole conde y prefecto del Ródano. 

Sin embargo, el nuevo régimen fue brutal, y antes del final de la breve restauración de Napoleón, Fourier había renunciado a su comisión y volvió a París para continuar su investigación sin distracciones. Las cosas fueron difíciles para Fourier, ya que estaba desempleado con una mala reputación política. Pronto, un viejo amigo le aseguró un puesto como director de la Oficina de Estadísticas en el departamento del Sena, obligación que le dejaba tiempo suficiente para progresar en sus estudios matemáticos. 

Los principales logros de Fourier se encuentran en el área de la difusión del calor. Gran parte del trabajo se completó durante su mandato en Grenoble, aunque sus intereses en el calor se remontan a su estancia en Egipto. En 1807 presentó a la Academia un extenso trabajo sobre difusión de calor en cuerpos continuos especiales; el contenido se basó en la ecuación de difusión (o del calor) en tres variables. Debido al uso de las llamadas series de Fourier en el artículo, uno de los revisores, Joseph-Louis Lagrange, impidió la publicación de la obra: Lagrange consideró que las series trigonométricas eran de poca utilidad. En 1810 se presentó una versión revisada del artículo con motivo de un premio en disputa, y la actualización contenía nuevo material sobre difusión del calor en cuerpos infinitos. Las últimas secciones del documento trataban los aspectos físicos del calor, como la radiación, que ocuparía a Fourier cada vez más en años posteriores. Este excelente trabajo ganó el premio, y más tarde se expandió al libro Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor). 

La importancia de las contribuciones de Fourier se puede ver en dos aspectos: primero, la formulación del problema físico como un problema de valor límite en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales lineales; y segundo, las poderosas herramientas matemáticas para la solución de estos problemas. Estas herramientas tendrían una gran influencia en el posterior desarrollo de la matemática, dejando atrás a numerosos descendientes. 

Las primeras nociones sobre mecánica del calor implicaban la idea de que algo transfería calor entre partículas discretas. Finalmente, Fourier pudo descubrir una ecuación diferencial que describía suavemente la dinámica del calor: esta era la llamada ecuación de difusión. El dominio para esta ecuación era una franja “semi-infinita”, esencialmente la parte positiva del eje x, que era uniformemente caliente en un extremo y uniformemente fría en los lados. Esta configuración del problema era simple y físicamente significativa. En este contexto, Fourier construyó una solución en serie al problema que involucraba términos trigonométricos. Era consciente de las dificultades de convergencia involucradas con este tipo de enfoque, y manejó estos problemas con bastante eficacia. Lo sorprendente de su trabajo fue que demostró que para muchas funciones genéricas se podían construir series trigonométricas que eran idénticas a la función en un intervalo. Para funciones no periódicas, parece extraño que uno pueda expresarlas como una suma de senos y cosenos. 

Fourier luego generalizó sus soluciones a tres dimensiones y a otras configuraciones, como un cilindro. Algunos de sus últimos trabajos creativos se produjeron en 1817 y 1818, en los que desarrolló una relación entre las soluciones de transformación integral y el cálculo operativo. La llamada transformada de Fourier de una función, tan útil para la solución de ecuaciones diferenciales, se derivó de estos trabajos. 

En muchos sentidos, Fourier fue muy práctico en su enfoque de la matemática: cada afirmación tenía que poseer un significado físico, y fue guiado en sus investigaciones por su excelente intuición física. Desarrolló un camino coherente a través de un revoltijo de técnicas ad hoc para resolver ecuaciones diferenciales, y un don para interpretar las propiedades asintóticas de sus soluciones en el ámbito de la física. Cuando era posible, probaba sus resultados a través de la experimentación. Su legado matemático es enorme, con gigantes como Bernhard Riemann, George Cantor y Henri-Léon Lebesgue siguiendo su trabajo en análisis matemático. 

En 1817, Fourier fue elegido para la reconstituida Académie des Sciences después de algunos problemas políticos. Poco a poco avanzó en su carrera, a pesar de su enemistad con Siméon Denis Poisson y la oposición de los realistas. Sus honores posteriores incluyen la elección para la Académie Française en 1827 y la elección como miembro extranjero de la Royal Society. A lo largo de su vida ganó el apoyo de muchos amigos a través de su apoyo desinteresado y aliento, y ayudó a muchos matemáticos y científicos en sus últimos años.

Mientras estaba en Egipto, había desarrollado alguna enfermedad, posiblemente mixedema, por lo que cada vez más estaba confinado a su propio cuarto caliente. El 4 de mayo de 1830 tuvo un ataque mientras bajaba unas escaleras en su casa de París. Él murió 12 días después. Sin duda es uno de los mejores matemáticos, ya que el análisis de Fourier es un método enormemente exitoso en ingeniería y estadística; sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales, llamadas análisis armónico, son una rama hermosa y próspera de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.