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Posts Tagged ‘al-Biruni’

En el siglo XII, el médico al-Samaw’al continuó y completó la obra de al-Karaji en álgebra y también proporcionó un tratamiento sistemático de las fracciones decimales como medio para aproximar cantidades irracionales. En su método de búsqueda de raíces de ecuaciones puras, x^{n}=N, utilizó lo que ahora se conoce como método de Horner para desarrollar el binomio (a+y)^{n}. Su contemporáneo Sharaf al-Din al-Tusi a finales del siglo XII proporcionó un método para aproximar las raíces positivas de ecuaciones arbitrarias, basado en un enfoque prácticamente idéntico al descubierto por François Viète en el siglo XVI en Francia. El paso importante aquí fue no tanto la idea general sino el desarrollo de los algoritmos numéricos necesarios para llevarla a cabo.

Sharaf al-Din fue el descubridor de un dispositivo, llamado astrolabio lineal, que lo ubica en otra importante tradición matemática islámica, una que se centró en el diseño de nuevas formas del antiguo instrumento astronómico conocido como astrolabio. El astrolabio, cuya teoría matemática se basaba en la proyección estereográfica de la esfera, fue inventado en la antigüedad, pero su amplio desarrollo en el Islam lo convirtió en el reloj de bolsillo de los medievales. En su forma original, requería una placa distinta del horizonte de coordenadas para cada latitud, pero en el siglo XI el astrónomo español musulmán al-Zarqallu inventó una sola placa que funcionaba para todas las latitudes. Un poco antes, los astrónomos en el Este habían experimentado con proyecciones planas de la esfera, y al-Biruni inventó una proyección de tal manera que se podía utilizar para producir un mapa de un hemisferio. La obra maestra culminante fue el astrolabio del sirio Ibn al Shatir (1305-1375), una herramienta matemática que podía ser utilizado para resolver todos los problemas de astronomía esférica estándar de cinco maneras diferentes.

Por otro lado, los astrónomos musulmanes habían desarrollado otros métodos para resolver estos problemas mediante tablas de trigonometría de alta precisión y habían desarrollado nuevos teoremas de trigonometría. Fuera de estos desarrollos vino la creación de la trigonometría como una disciplina matemática, separada de sus aplicaciones astronómicas, de la mano de Nasir al-Din al-Tusi en su observatorio de Maragheh en el siglo XIII. (Fue allí también que el alumno de al-Tusi, Qutb al-Din al-Shirazi (1236-1311), y su alumno Kamal al-Din Farisi utilizando la gran obra de Ibn al-Haytham, Óptica, fueron capaces de dar la primera  explicación matemáticamente satisfactoria del arco iris.)

El observatorio de al-Tusi fue apoyado por un nieto de Genghis Khan, Hülegü, que saqueó Bagdad en 1258. Ulugh Beg, el nieto del conquistador mongol Tamerlán, fundó un observatorio en Samarcanda en los primeros años del siglo XV. Ulugh Beg era un buen astrónomo, y sus tablas de senos y tangentes para cada minuto de arco (con una precisión de cinco lugares sexagesimales) fueron uno de los grandes logros en matemática numérica hasta su tiempo. También fue el patrón de Jamshid al-Kashi (fallecido en 1429), cuya obra The Reckoners’ Key resume la mayor parte de la aritmética de su tiempo e incluye también secciones sobre álgebra y geometría práctica. Entre los trabajos de al-Kashi hay un cálculo magistral del valor de 2\pi que, cuando se expresa en fracciones decimales, tiene una precisión de 16 lugares, así como la aplicación de un método numérico, ahora conocido como iteración de punto fijo, para la solución de la ecuación cúbica con el seno de 1 grado como una raíz. Su trabajo es de una calidad que merece la descripción de Ulugh Beg de «conocido entre los famosos del mundo.»

Al-Kashi vivió casi cinco siglos después de las primeras traducciones de material árabe al latín, y por su época la cultura matemática islámica había dado a Occidente no sólo sus primeras versiones de muchos de los clásicos griegos, sino también un conjunto completo de algoritmos para la aritmética indo-arábiga, la trigonometría plana y esférica, y la poderosa herramienta del álgebra. Aunque la investigación matemática continuó en el Islam en los siglos después de la época de al-Kashi, el centro matemático de gravedad se desplazó hacia el oeste. Que esto fuera así es, por supuesto, en gran medida debido a lo que los matemáticos occidentales aprendieron de sus predecesores islámicos durante los siglos precedentes.

Resumiendo…

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El matemático y poeta Omar Khayyam nació en Neyshabur (Irán) sólo unos pocos años antes de la muerte de al-Biruni. Más tarde vivió en Samarcanda y en Isfahán, y su brillante trabajo allí continuó muchas de las principales líneas de desarrollo de la matemática del siglo X. No sólo descubrió un método general para la extracción de raíces de grado alto arbitrario, sino que su Álgebra contiene el primer tratamiento completo de la solución de ecuaciones cúbicas. Omar hizo esto por medio de secciones cónicas, pero declaró su esperanza de que sus sucesores tendrían éxito donde él había fracasado: en encontrar una fórmula algebraica para las raíces.

Omar fue también parte de la tradición islámica, que incluía a Thabit y a Ibn al-Haytham, dedicada a investigar el postulado de las paralelas de Euclides. A esta tradición Omar contribuyó con la idea de un cuadrilátero con dos lados congruentes perpendiculares a la base. El postulado de las paralelas se demostraría, reconoció Omar, si podía demostrarse que los dos ángulos restantes eran ángulos rectos. En esto fracasó, pero su pregunta sobre el cuadrilátero se convirtió en la forma estándar para hablar sobre el postulado de las paralelas.

Ese postulado, sin embargo, fue sólo una de las preguntas sobre los fundamentos de la matemática que interesaron a los científicos islámicos. Otra fue la definición de razón. Omar Khayyam, junto con otros antes que él, sintió que la teoría en el Libro V de los Elementos de Euclides era lógicamente  satisfactoria pero intuitivamente poco atractiva, por lo que demostró que una definición conocida de Aristóteles era equivalente a la dada en Euclides. De hecho, Omar argumentó que las razones deben ser consideradas como «números ideales», y así concibió un sistema mucho más amplio de números que el utilizado desde la antigüedad griega, el de los números reales positivos.

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Los científicos islámicos del siglo X han participado en tres grandes proyectos matemáticos: la realización de algoritmos aritméticos, el desarrollo del álgebra y la extensión de la geometría.

El primero de estos proyectos dio lugar a la aparición de tres sistemas de numeración completos, uno de los cuales era el «dedo aritmético» utilizado por los escribas y funcionarios del tesoro. Este antiguo sistema aritmético, que se hizo conocido en todo Oriente y Europa, empleaba aritmética mental y un sistema de almacenamiento de resultados intermedios con los dedos como una ayuda para la memoria. (Su uso de fracciones unitarias recuerda al sistema egipcio.) Durante los siglos X y XI matemáticos capaces, como Abul-Wafa (940-997/998), escribieron con este sistema, pero fue finalmente reemplazado por el sistema decimal.

Un segundo sistema común era la numeración en base 60 heredado de los babilonios a través de los griegos y conocido como la «aritmética de los astrónomos». Aunque los astrónomos utilizaban este sistema para sus tablas, por lo general los números se convertían al sistema decimal en presencia de cálculos complicados y luego se convertían de nuevo para obtener una respuesta sexagesimal.

El tercer sistema era la «aritmética india», cuya base numérica, con el cero, se extendió por el este del Islam proveniente de los hindúes. (Diferentes formas numéricas, cuyos orígenes no están del todo claros, se utilizaron en el oeste del Islam.) Los algoritmos básicos también vinieron de la India, pero éstos fueron adaptados por al-Uqlidisi (aprox. 950) usando lápiz y papel en lugar del tradicional tablero de arena, una movida que ayudó a popularizar este sistema. Además, los algoritmos aritméticos se completaron de dos maneras: mediante la extensión de los procedimientos de la extracción de raíces, conocidos por los hindúes y griegos sólo para raíces cuadradas y cúbicas, a raíces de grado superior y a través de la extensión del sistema decimal hindú desde los números enteros hasta incluir fracciones decimales. Estas fracciones aparecen simplemente como dispositivos computacionales en la labor tanto de al-Uqlidisi como de al-Baghdadi (aprox. 1000), pero en los siglos posteriores recibieron un tratamiento sistemático como método general. En cuanto a la extracción de raíces, Abul-Wafa escribió un tratado (ahora perdido) sobre el tema, y Omar Khayyam (1048-1131) resolvió el problema general de la extracción de raíces de cualquier grado deseado. El tratado de Omar también está perdido, pero el método es conocido por otros autores, y parece que un paso importante en su desarrollo fue la derivación de al-Karaji a mediados del siglo X, por inducción matemática, del teorema binomial para exponentes de números enteros -es decir, su descubrimiento de que

(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}b^{2}+

\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot 3}a^{n-1}b^{3}+L+nab^{n-1}+b^{n}.

Durante el siglo X, los algebristas islámicos progresaron desde los polinomios cuadráticos de Al-Khwarizmi al dominio del álgebra de las expresiones que involucran potencias enteras arbitrarias positivas o negativas de la incógnita. Varios algebristas subrayaron expresamente la analogía entre las reglas para trabajar con potencias de la incógnita en el álgebra y las reglas para trabajar con potencias de 10 en la aritmética, y hubo una interacción entre el desarrollo de la aritmética y el del álgebra entre los siglos X y XII. Un estudiante de la obra de al-Karaji, al-Samaw’al, en el siglo XII, fue capaz de aproximar el cociente (20x^{2} + 30x)/(6x^{2} + 12) como

3\frac{1}{3}+5(\frac{1}{x})-6\frac{2}{3}(\frac{1}{x^{2}})-10(\frac{1}{x^{3}})+L-40(\frac{1}{x^{7}})

y también dio una regla para encontrar los coeficientes de las potencias sucesivas de 1/x. Aunque nada de esto emplea el álgebra simbólica, el simbolismo algebraico estaba en uso por el siglo XIV en la parte occidental del mundo islámico. El contexto de este simbolismo bien desarrollado fue, al parecer, los comentarios que estaban destinados a fines de enseñanza, tales como los de Ibn Qunfudh (1330-1407) de Argelia sobre el álgebra de Ibn al-Banna (1256-1321) de Marruecos.

 También se desarrollaron otras partes del álgebra. Tanto los griegos como los hindúes habían estudiado ecuaciones indeterminadas, y la traducción de este material y la aplicación del  nuevo desarrollo algebraico condujeron a la investigación de las ecuaciones diofánticas por escritores como Abu Kamil, al-Karaji y Abu Yafar al-Khazin (primera mitad del siglo X), así como los intentos por demostrar un caso especial de lo que ahora se conoce como el último teorema de Fermat , a saber, que no hay soluciones racionales para x^{3} + y^{3} = z^{3}. El gran científico Ibn al-Haytham (965-1040) resolvió  problemas de congruencias mediante lo que ahora se conoce como el teorema de Wilson, que establece que, si p es un número primo, entonces p divide a  (p - 1) \times (p - 2)\ldots \times 2 \times 1 + 1, y al-Baghdadi dio una variante de la idea de números amigos mediante la definición de dos números «equilibrados» si las sumas de sus divisores son iguales.

Sin embargo, no sólo la aritmética y el álgebra sino que también la geometría se sometió a un amplio desarrollo. Thabit Ibn Qurrah, su nieto Ibrahim Ibn Sinan (909-946), Abu Sahl al-Kuhi (que murió aprox. 995) e Ibn al-Haytham resolvieron problemas que involucraban la geometría pura de las secciones cónicas, incluyendo áreas y volúmenes de figuras planas y sólidas formadas a partir de ellas, y también investigaron las propiedades ópticas de espejos hechos a partir de secciones cónicas. Ibrahim Ibn Sinan, Abu Sahl al-Kuhi e Ibn al-Haytham utilizaron la antigua técnica de análisis para reducir la solución de problemas a construcciones que implican secciones cónicas. (Ibn al-Haytham, por ejemplo, utilizó este método para encontrar el punto en un espejo esférico convexo en el que un objeto dado es visto por un observador dado.) Thabit e Ibrahim mostraron cómo diseñar las curvas necesarias para relojes de sol. Abu’l-Wafa, cuyo libro sobre la aritmética de los escribas fue mencionado anteriormente, también escribió sobre métodos geométricos necesarios para los artesanos.

Además, a finales del siglo X Abu’l-Wafa y el príncipe Abu Nasr Mansur enunciaron y demostraron teoremas de geometría plana y esférica que podían ser aplicados por astrónomos y geógrafos, incluyendo las leyes de senos y tangentes. El pupilo de Abu Nasr, al-Biruni (973-1048), que produjo una gran cantidad de trabajos de alta calidad, fue uno de los maestros en la aplicación de estos teoremas a la astronomía y a problemas en la geografía matemática como la determinación de latitudes y longitudes, de las distancias entre ciudades y de la dirección de una ciudad a otra.

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