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Posts Tagged ‘Álgebra de conjuntos’

El término cardinalidad se utiliza en matemática para referirse al tamaño de un conjunto. Las cardinalidades de conjuntos finitos se pueden comparar simplemente conectando un número natural a cada conjunto. El conjunto de los enanos de Blancanieves es más pequeño que el conjunto de los chanchitos en el clásico cuento infantil, porque 7 es mayor que 3.

Pero ¿cómo podemos llegar a esta misma conclusión sin hacer referencia a ningún número? La idea de Georg Cantor, matemático que ya mencionamos al hablar del Principio de los Intervalos Encajados, era tratar de poner los conjuntos en una correspondencia 1 a 1 entre sí. Hay menos chanchitos que enanos ya que, si los chanchitos ocuparan todos al mismo tiempo cada uno un lugar, aún habrían cuatro lugares vacíos por llenar. Por otro lado, la cardinalidad de los chanchitos del cuento es la misma que la cardinalidad del conjunto de las estrellas que conforman la constelación conocida como “Las Tres Marías”. Esto se debe a que, cuando los chanchitos se ubican en un lugar, es posible organizarlos de manera que haya exactamente una estrella en cada posición.

La ventaja de este método de comparación del tamaño de conjuntos es que funciona igualmente bien en conjuntos que son infinitos.

Recordemos que:


Una función f:A\rightarrow B es uno a uno (1-1) si a_{1}\neq a_{2} en A implica que f(a_{1})\neq f(a_{2}) en B. La función f es sobre si, dado cualquier b\in B, es posible hallar un elemento a\in A para el cual f(a)=b.


Una función f:A\rightarrow B que es tanto 1-1 como sobre se dice una correspondencia 1-1 entre los dos conjuntos. La propiedad de ser 1-1 significa que nunca dos elementos de A se corresponden con el mismo elemento de B, y la propiedad de ser sobre asegura que todo elemento de B se corresponde con alguno de A.


Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe f:A\rightarrow B que es 1-1 y sobre. En este caso, escribimos A\sim B.


La cardinalidad de conjuntos infinitos muchas veces atenta contra la intuición. Invito al lector a pensar y analizar las siguientes situaciones planteadas por el Dr. Paenza en su programa Alterados por Pi.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.
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El siguiente artículo ha sido elaborado para la asignatura Funciones Reales de la Universidad Nacional de la Patagonia en la que me desempeño como docente.

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