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Posts Tagged ‘Análisis’

La historia del análisis en el siglo XVIII se puede seguir en las memorias oficiales de las academias y en los tratados expositivos publicados de forma independiente. En las primeras décadas del siglo, el cálculo se cultivó en una atmósfera de entusiasmo intelectual con matemáticos aplicando los nuevos métodos a una serie de problemas de la geometría de las curvas. Los hermanos Johann y Jakob Bernoulli mostraron que la forma de un alambre liso largo del cual una partícula desciende en el menor tiempo es la cicloide, una curva trascendental muy estudiada en el siglo anterior.

Jacob and Johann Bernoulli

Trabajando en un espíritu de rivalidad aguda, los dos hermanos llegaron a ideas que más tarde se convertirían en el cálculo de variaciones. En su estudio de la rectificación de la lemniscata, una curva en forma de cinta descubierta por Jakob Bernoulli en 1694, Giulio Carlo Fagnano (1682-1766) introdujo ingeniosas transformaciones analíticas que sentaron las bases de la teoría de las integrales elípticas. Nikolaus I Bernoulli (1687-1759), sobrino de Johann y Jakob, demostró la igualdad de las derivadas parciales mixtas de segundo orden e hizo importantes contribuciones a las ecuaciones diferenciales mediante la construcción de trayectorias ortogonales a familias de curvas. Pierre Varignon (1654-1722), Johann Bernoulli y Jakob Hermann (1678-1733) continuaron desarrollando la dinámica analítica, al adaptar el cálculo de Leibniz a la mecánica inercial de los Principia de Newton.

Concepciones y problemas geométricos predominaron en los comienzos del cálculo. Este énfasis en la curva como objeto de estudio proporcionó coherencia a lo que fue una colección dispar de técnicas analíticas. Con su continuo desarrollo, el cálculo gradualmente abandonó sus orígenes en la geometría de las curvas, y surgió un movimiento para establecer el tema sobre una base puramente analítica. En una serie de libros de texto publicados a medidos del siglo, el matemático suizo Leonhard Euler llevó a cabo de forma sistemática la separación del cálculo de la geometría. En su Introductio in Analysin Infinitorum de 1748 hizo de la noción de función el concepto central de la organización del análisis:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera por la variable y de números o cantidades constantes.

El enfoque analítico de Euler es ilustrado por su introducción de las funciones seno y coseno. Las tablas trigonométricas habían existido desde la antigüedad, y las relaciones entre senos y cosenos se utilizaban comúnmente en la astronomía matemática. A comienzos del cálculo los matemáticos habían derivado de su estudio de fenómenos mecánicos periódicos la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

y fueron capaces de interpretar geométricamente su solución en términos de líneas y ángulos en el círculo. Euler fue el primero en introducir las funciones seno y coseno en forma de cantidades cuya relación con otras cantidades podían ser estudiadas de forma independiente de cualquier diagrama geométrico.

El enfoque analítico de Euler para el cálculo recibió el apoyo de su contemporáneo más joven Joseph-Louis Lagrange, quien, tras la muerte de Euler en 1783, lo reemplazó como el líder de la matemática europea.

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La revolución científica había legado a la matemática un importante programa de investigación en análisis y mecánica. El período de 1700 a 1800, “el siglo del análisis”, fue testigo de la consolidación del cálculo y su aplicación extensiva a la mecánica. Con la expansión llegó la especialización como diferentes partes de la asignatura adquiriendo su propia identidad: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, cálculo de variaciones, series infinitas y geometría diferencial. Las aplicaciones del análisis también fueron variadas, incluyendo la teoría de la cuerda vibrante, la dinámica de partículas, la teoría de los cuerpos rígidos, la mecánica de medios flexibles y elásticos y la teoría de fluidos compresibles e incompresibles. El análisis y la mecánica se desarrollaron en estrecha asociación, con problemas en uno dando lugar a conceptos y técnicas en el otro, y todos los principales matemáticos de la época hicieron importantes contribuciones a la mecánica.

La estrecha relación entre la matemática y la mecánica en el siglo XVII tenía raíces que se extienden profundamente en el pensamiento de la Ilustración. En el organigrama del conocimiento al comienzo del discurso preliminar de la Enciclopedia, Jean Le Rond d’Alembert distingue entre la matemática “pura” (geometría, aritmética, álgebra, cálculo) y la matemática “mixta” (mecánica, astronomía, óptica geométrica, arte de la conjetura). La matemática generalmente era clasificada como una “ciencia de la naturaleza” y era separada de la lógica, una “ciencia del hombre”. La división disciplinaria moderna entre la física y la matemática y la asociación de esta última a la lógica todavía no se había desarrollado.

La propia mecánica matemática como se practicaba en el siglo XVIII difería en aspectos importantes de la física posterior. El objetivo de la física moderna es explorar la estructura de partículas de la materia y llegar a las leyes fundamentales de la naturaleza para explicar fenómenos físicos. El carácter de la investigación aplicada en el siglo XVIII era bastante diferente. Las partes del material de un sistema dado y su interrelación eran idealizadas para fines del análisis. Un objeto material podía ser tratado como una masa puntual (un punto matemático en el que se supone que está concentrada toda la masa del objeto), como un cuerpo rígido, tal como un medio continuamente deformable, y así sucesivamente. La intención era obtener una descripción matemática del comportamiento macroscópico del sistema en lugar de determinar la base física final de los fenómenos.

La investigación matemática en el siglo XVIII era coordinada por las academias de París, Berlín y, San Petersburgo, así como por varias academias y sociedades científicas provinciales más pequeñas. Aunque Inglaterra y Escocia eran importantes centros a comienzos del siglo, con la muerte de Maclaurin en 1746 la llama británica fue casi extinguida.

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Aunque Euclides resuelve más de 100 problemas de construcción en los Elementos, muchos más fueron planteados cuyas soluciones requerían más que un simple compás y una regla. Tres de estos problemas estimularon mucho interés entre los geómetras posteriores a tal punto que llegaron  a ser conocidos como los “problemas clásicos”:

  • la duplicación del cubo (es decir, la construcción de un cubo cuyo volumen es el doble que el de un cubo dado),
  • la trisección del ángulo y
  • la cuadratura el círculo.

Incluso en el período pre-euclidiano había comenzado el esfuerzo para construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. Algunos resultados relacionados procedían de Hipócrates. Otros fueron reportados por Antífona y Bryson, y el teorema de Euclides sobre el círculo en los Elementos, Libro XII, Proposición 2, que establece que los círculos están en la razón de los cuadrados de sus diámetros, fue importante para esta búsqueda. Pero las primeras construcciones reales (no, debe señalarse, por medio de las herramientas euclidianas, pues esto es imposible) llegaron sólo en el siglo III a.C. La historia temprana de la trisección del ángulo es oscura. Presumiblemente se intentó en el período pre-euclidiano, aunque sólo se conocieron soluciones a partir del siglo III o después.

Sin embargo, hay varios esfuerzos exitosos en la duplicación del cubo que datan del periodo pre-euclidiano. Hipócrates demostró que el problema podía reducirse al de encontrar dos medias proporcionales: si para una línea dada a se necesita encontrar un x tal que x^{3}=2a^{3}, se pueden buscar líneas xy de manera que

a:x=x:y=y:2a

pues entonces

a^{3}/x^{3}=(a/x)^{3}=(a/x)(x/y)(y/2a)=a/2a=1/2

(Tenga en cuenta que el mismo argumento es válido para cualquier multiplicador, no sólo para el número 2.) Por lo tanto, el cubo se puede duplicar si es posible encontrar las dos medias proporcionales x e y entre los dos rectas dadas a y 2a. Construcciones del problema de las dos medias fueron propuestos por Arquitas, Eudoxo y Menecmo en el siglo IV a.C. Menecmo, por ejemplo, construyó tres curvas correspondientes a estas mismas proporciones: x^{2}=ay, y^{2}=2ax y xy=2a^{2}. La intersección de dos de ellas produce entonces la recta x que resuelve el problema. Las curvas de Menecmo son secciones cónicas: las dos primeras son parábolas, la tercera una hipérbola. Por lo tanto, a menudo se afirma que Menecmo originó el estudio de las secciones cónicas. De hecho, Proclo y su autoridad mayor, Geminus (mediados del siglo I d.C.), parecen haber sostenido esta opinión. Sin embargo la evidencia no indica cómo Menecmo concibió en realidad las curvas, por lo que es posible que el estudio formal de las secciones cónicas como tales no comenzara hasta más tarde, cerca de la época de Euclides. Tanto Euclides como su viejo contemporáneo, Aristeo, compusieron tratamientos (ahora perdidos) de la teoría de las secciones cónicas.

En la búsqueda de las soluciones de problemas, los geómetras desarrollaron una técnica especial, a la que llamaron “análisis”. Suponían que el problema había sido resuelto y, a continuación, mediante la investigación de las propiedades de esta solución, trabajaban hacia atrás para encontrar un problema equivalente que pudiera resolverse sobre la base de lo dado. Para obtener la solución formalmente correcta del problema original, los  geómetras entonces invertían el procedimiento: primero utilizaban los datos para resolver el problema equivalente derivado en el análisis y, a partir de la solución obtenida, resolvían entonces el problema original. En contraste con el análisis, este procedimiento inverso se llamaba “síntesis”.

La duplicación del cubo de Menecmo es un ejemplo de análisis: asumió las medias proporcionales x e y y luego descubrió que es equivalente al resultado de intersectar las tres curvas cuya construcción podía tomar como conocida. (La síntesis consiste en introducir las curvas, encontrar su intersección y demostrar que esto resuelve el problema.) Es evidente que los geómetras del siglo IV a.C. estaban bien familiarizados con este método, pero Euclides proporciona sólo la síntesis, nunca el análisis, de los problemas resueltos en los Elementos. Ciertamente, en los casos de construcciones más complicadas, sin embargo, no cabe duda de que algún tipo de análisis precedió a la síntesis que se presenta en los Elementos.

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