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Aunque Euclides resuelve más de 100 problemas de construcción en los Elementos, muchos más fueron planteados cuyas soluciones requerían más que un simple compás y una regla. Tres de estos problemas estimularon mucho interés entre los geómetras posteriores a tal punto que llegaron  a ser conocidos como los “problemas clásicos”:

  • la duplicación del cubo (es decir, la construcción de un cubo cuyo volumen es el doble que el de un cubo dado),
  • la trisección del ángulo y
  • la cuadratura el círculo.

Incluso en el período pre-euclidiano había comenzado el esfuerzo para construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. Algunos resultados relacionados procedían de Hipócrates. Otros fueron reportados por Antífona y Bryson, y el teorema de Euclides sobre el círculo en los Elementos, Libro XII, Proposición 2, que establece que los círculos están en la razón de los cuadrados de sus diámetros, fue importante para esta búsqueda. Pero las primeras construcciones reales (no, debe señalarse, por medio de las herramientas euclidianas, pues esto es imposible) llegaron sólo en el siglo III a.C. La historia temprana de la trisección del ángulo es oscura. Presumiblemente se intentó en el período pre-euclidiano, aunque sólo se conocieron soluciones a partir del siglo III o después.

Sin embargo, hay varios esfuerzos exitosos en la duplicación del cubo que datan del periodo pre-euclidiano. Hipócrates demostró que el problema podía reducirse al de encontrar dos medias proporcionales: si para una línea dada a se necesita encontrar un x tal que x^{3}=2a^{3}, se pueden buscar líneas xy de manera que

a:x=x:y=y:2a

pues entonces

a^{3}/x^{3}=(a/x)^{3}=(a/x)(x/y)(y/2a)=a/2a=1/2

(Tenga en cuenta que el mismo argumento es válido para cualquier multiplicador, no sólo para el número 2.) Por lo tanto, el cubo se puede duplicar si es posible encontrar las dos medias proporcionales x e y entre los dos rectas dadas a y 2a. Construcciones del problema de las dos medias fueron propuestos por Arquitas, Eudoxo y Menecmo en el siglo IV a.C. Menecmo, por ejemplo, construyó tres curvas correspondientes a estas mismas proporciones: x^{2}=ay, y^{2}=2ax y xy=2a^{2}. La intersección de dos de ellas produce entonces la recta x que resuelve el problema. Las curvas de Menecmo son secciones cónicas: las dos primeras son parábolas, la tercera una hipérbola. Por lo tanto, a menudo se afirma que Menecmo originó el estudio de las secciones cónicas. De hecho, Proclo y su autoridad mayor, Geminus (mediados del siglo I d.C.), parecen haber sostenido esta opinión. Sin embargo la evidencia no indica cómo Menecmo concibió en realidad las curvas, por lo que es posible que el estudio formal de las secciones cónicas como tales no comenzara hasta más tarde, cerca de la época de Euclides. Tanto Euclides como su viejo contemporáneo, Aristeo, compusieron tratamientos (ahora perdidos) de la teoría de las secciones cónicas.

En la búsqueda de las soluciones de problemas, los geómetras desarrollaron una técnica especial, a la que llamaron “análisis”. Suponían que el problema había sido resuelto y, a continuación, mediante la investigación de las propiedades de esta solución, trabajaban hacia atrás para encontrar un problema equivalente que pudiera resolverse sobre la base de lo dado. Para obtener la solución formalmente correcta del problema original, los  geómetras entonces invertían el procedimiento: primero utilizaban los datos para resolver el problema equivalente derivado en el análisis y, a partir de la solución obtenida, resolvían entonces el problema original. En contraste con el análisis, este procedimiento inverso se llamaba “síntesis”.

La duplicación del cubo de Menecmo es un ejemplo de análisis: asumió las medias proporcionales x e y y luego descubrió que es equivalente al resultado de intersectar las tres curvas cuya construcción podía tomar como conocida. (La síntesis consiste en introducir las curvas, encontrar su intersección y demostrar que esto resuelve el problema.) Es evidente que los geómetras del siglo IV a.C. estaban bien familiarizados con este método, pero Euclides proporciona sólo la síntesis, nunca el análisis, de los problemas resueltos en los Elementos. Ciertamente, en los casos de construcciones más complicadas, sin embargo, no cabe duda de que algún tipo de análisis precedió a la síntesis que se presenta en los Elementos.

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