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Posts Tagged ‘Apolonio de Perga’

Isaac Barrow fue el primero en descubrir ciertos aspectos del cálculo diferencial. Hay una cierta controversia sobre esto, y también sobre la extensión de su influencia en Sir Isaac Newton, que fue su sucesor en Cambridge. Sin embargo, las conferencias de Barrow sobre geometría contienen algunos de los primeros teoremas del cálculo, y por esto es recordado.

Barrow nació en octubre de 1630 (la fecha exacta es desconocida), hijo de Thomas Barrow, un próspero drapeador de lino y fiel realista. Su madre, Anne, murió en el parto. Un rebelde en su juventud, Barrow más tarde se disciplinó y aprendió griego, latín, lógica y retórica. En 1643 ingresó en el Trinity College, donde permanecería durante 12 años. Barrow, como su padre, era un partidario del rey, pero en Trinity la atmósfera se hizo cada vez más anti-realista. Se ganó su grado B.A. en 1648, fue elegido fellow de la universidad en 1649, y recibió su grado M.A. en matemática en 1652. Con estas credenciales, ingresó a su posición final como conferenciante y examinador en la universidad.

Es probable que su próximo puesto hubiera sido una cátedra de griego, pero Barrow fue expulsado de su posición por el gobierno de Cromwell en 1655. Barrow vendió sus libros y emprendió una gira por Europa que duró cuatro años. Cuando regresó de sus viajes, Carlos II acababa de volver al poder; Barrow tomó órdenes sagradas y obtuvo así la cátedra Regius. En 1662 él también aceptó la cátedra Gresham de geometría en Londres, y el año siguiente fue designado como primer profesor Lucasiano de matemática en Cambridge. Durante los seis años siguientes, Barrow concentró sus esfuerzos en escribir las tres series de Lectiones, una colección de conferencias.

La educación de Barrow había sido bastante tradicional, centrada en Aristóteles y los pensadores del Renacimiento, y en algunos temas seguía siendo muy conservador. Pero estaba muy intrigado por el renacimiento del atomismo y la filosofía natural de René Descartes: en la tesis de su maestría estudió a Descartes en particular. Hacia 1652 había leído muchos comentarios de Euclides de Alejandría, así como autores griegos más avanzados como Arquímedes de Siracusa. Su Euclidis elementorum libri XV (los primeros principios de Euclides en 15 libros), escrito en 1654, fue diseñado como un texto de pregrado, haciendo hincapié en la estructura deductiva sobre el contenido. Más tarde produjo comentarios sobre Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga. 

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Aparentemente, la fama científica de Barrow se debió a sus Lectiones, aunque no han sobrevivido. La primera serie Lucasiana, Lectiones mathematicae -dada de 1664 a 1666- se ocupa de los fundamentos de la matemática desde un punto de vista griego. Barrow considera el estado ontológico de los objetos matemáticos, la naturaleza de la deducción, la magnitud espacial y la cantidad numérica, el infinito y el infinitesimal, la proporcionalidad y la inconmensurabilidad, así como las entidades continuas y discretas. Sus Lectiones geometricae fueron un estudio técnico de geometría superior.

En 1664 encontró un método para determinar la línea tangente a una curva, problema que debía ser resuelto completamente por el cálculo diferencial; su técnica implica la rotación y la traslación de líneas. Las conferencias posteriores de Barrow son una generalización de procedimientos de tangencia, cuadratura y rectificación compilados a partir de su lectura de Evangelista Torricelli, Descartes, Frans van Schooten, Johann Hudde, John Wallis, Christopher Wren, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, Blaise Pascal y James Gregory. El material de estas conferencias no fue totalmente original, basándose fuertemente en los autores anteriores, especialmente en Gregory, y las Lectiones geometricae de Barrow no fueron ampliamente leídas.

Barrow también contribuyó al campo de la óptica, aunque sus Lectiones opticae pronto fue eclipsado por la obra de Newton. La introducción describe un cuerpo lúcido, que consiste en “colecciones de partículas diminutas casi imposibles de concebir”, como la fuente de los rayos de luz; el color es una dilución de grosor. El trabajo se desarrolla a partir de seis axiomas, incluyendo la ley euclidiana de la reflexión y la ley seno de la refracción. Gran parte del material se toma de Abū ‘Alī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Hayṯam, Johannes Kepler y Descartes, pero el método de Barrow para encontrar el punto de refracción en una interfaz plana es original.

Mucho se ha planteado la hipótesis de la relación entre Barrow y Newton; algunos dicen que Newton derivó muchas de sus ideas sobre el cálculo de Barrow, pero hay poca evidencia de esto. A finales de 1669 los dos colaboraron brevemente, pero no está claro si tuvieron alguna interacción antes de ese tiempo. En ese año Barrow había renunciado a su silla, siendo reemplazado por Newton, con el fin de convertirse en el Real Capellán de Londres, y en 1675 se convirtió en vicerrector de la universidad.

Barrow nunca se casó, contentándose con la vida de soltero. Su personalidad era contundente y sus sermones teológicos eran extremadamente lúcidos y perspicaces, aunque no fue un predicador popular. Barrow era también uno de los primeros miembros de la sociedad real, incorporada en 1662. Era pequeño pero fuerte, y gozó de buena salud; su muerte temprana el 4 de mayo de 1677 se debió a una sobredosis de drogas.

La contribución matemática de Barrow parece algo marginal comparada con la producción prodigiosa de su contemporáneo Newton. Sin embargo, él fue un matemático importante en su tiempo, ganando fama a través de su popular  Lectiones, y fue el primero en derivar ciertas proposiciones del cálculo diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Poco se sabe de la vida de Aryabhata, que se llama Aryabhata I para distinguirlo de otro matemático del mismo nombre que vivió cuatro siglos más tarde. Aryabhata desempeñó un papel en el desarrollo del actual sistema de números y contribuyó a la teoría de números en un momento en que gran parte de Europa estaba envuelta en la ignorancia.

Nació en la India y tuvo una conexión con la ciudad Kusumapura, la capital de los Guptas durante los siglos IV y V; este lugar se cree que es la ciudad de su nacimiento. Ciertamente, su Aryabhatiya fue escrito en Kusumapura, que más tarde se convirtió en un centro de aprendizaje matemático.

Aryabhata escribió dos obras: Aryabhatiya en 499, cuando tenía 23 años, y otro tratado que se ha perdido. El primer trabajo es un breve resumen de la matemática hindú, que consta de tres secciones sobre matemática, el tiempo y los modelos planetarios, y la esfera. Las secciones sobre matemática contienen 66 reglas matemáticas sin demostración, que tratan sobre aritmética, álgebra, trigonometría plana y trigonometría esférica. Sin embargo, también contiene conocimientos más avanzados, tales como fracciones continuas, ecuaciones cuadráticas, series infinitas y una tabla de senos. En el año 800 este trabajo fue traducido al árabe, y tenía muchos comentaristas indios.

El sistema numérico de Aryabhata, el que usó en su libro, asigna un número a cada una de las 33 letras del alfabeto indio, representando los primeros 25 números así como 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. Es de notar que estaba familiarizado con un sistema posicional, de modo que números muy grandes podran ser fácilmente descritos y manipulados usando esta notación alfabética. De hecho, parece probable que Aryabhata estuviera familiarizado con el cero como marcador de posición. El sistema de números indios posicional, que más tarde influiría grandemente en la construcción del sistema moderno, facilitó cálculos que serían imposibles bajo modelos más primitivos, como los números romanos. Aryabhata parece ser el creador de este sistema posicional.

En su examen del álgebra, Aryabhata investiga primeramente ecuaciones lineales con coeficientes enteros -aparentemente, el Aryabhatiya es el primer trabajo escrito en hacerlo. La cuestión surgió de ciertos problemas de astronomía, como el cálculo del período de los planetas. La técnica se llama kuttaka, que significa “pulverizar”, y consiste en partir la ecuación en problemas relacionados con coeficientes más pequeños; el método es similar al algoritmo euclidiano para encontrar el máximo divisor común, pero también está relacionado con la teoría de las fracciones continuas. 

Además, Aryabhata dio un valor para el número pi que era preciso a ocho decimales, mejorando las aproximaciones dadas por Arquímedes de Siracusa y Apolonio de Perga. Los eruditos han sostenido que él obtuvo esto independientemente de los griegos, teniendo un cierto método particular para aproximar a pi, pero no se sabe exactamente cómo lo hizo; Aryabhata también se dio cuenta de que pi era un número irracional. Su tabla de senos da valores aproximados a intervalos de menos de cuatro grados, y utiliza una fórmula trigonométrica para lograrlo.

Aryabhata también discute reglas para sumar los primeros n enteros, los primeros n cuadrados, y los primeros n cubos; da fórmulas para el área de triángulos y de círculos. Sus resultados para los volúmenes de una esfera y de una pirámide son incorrectos, pero esto puede haber sido debido a un error de traducción. Por supuesto, estos últimos resultados eran bien conocidos por los griegos y podrían haber llegado a Aryabhata a través de los árabes.

En cuanto a la astronomía presente en el texto, la matemática está diseñada para dilucidarla y hay varios resultados interesantes. Aryabhata da una excelente aproximación a la circunferencia de la Tierra (62.832 millas), y explica la rotación de los cielos a través de una teoría de la rotación axial de la Tierra. Irónicamente, esta teoría (correcta) fue considerada absurda por comentaristas posteriores, que alteraron el texto para remediar los errores de Aryabhata. Igualmente notable es su descripción de las órbitas planetarias como elipses; cabe notar que sólo datos astronómicos altamente precisos proporcionados por telescopios superiores permitieron a los astrónomos europeos diferenciar entre órbitas circulares y elípticas. Aryahbhata da una explicación correcta de los eclipses solares y lunares, y atribuye la luz de la Luna a la luz solar reflejada.

Aryabhata fue de gran influencia para los matemáticos y astrónomos indios posteriores. Tal vez lo más relevante para el desarrollo posterior de la matemática fue su sistema posicional. Sus teorías fueron extremadamente avanzadas considerando el tiempo en que él vivió, y los cálculos exactos de las medidas astronómicas ilustraron el poder de su sistema numérico.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Reconocida como la primera persona en proponer una teoría heliocéntrica (que los planetas giran alrededor del Sol) del sistema solar, Aristarco fue un astrónomo importante y un matemático de primer orden. Poco se sabe de su vida, pero sus obras han sobrevivido, y en ellas calcula varias distancias astronómicas milenios antes de la invención de los telescopios modernos.

Aparentemente, Aristarco nació en la isla de Samos, que se encuentra en el Mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, un centro para la ciencia y el aprendizaje en la civilización jónica. Estudió bajo Estratón de Lámpsaco, director del Liceo fundado por Aristóteles. Se cree que Aristarco fue alumno de Estratón en Alejandría en lugar de en Atenas. Sus fechas aproximadas están determinadas por los registros de Claudio Ptolomeo y Arquímedes de Siracusa. La única obra de Aristarco todavía en existencia es su tratado Sobre los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna.

Entre sus pares, Aristarco era conocido como “el matemático”, lo que puede haber sido meramente descriptivo. En ese momento, la disciplina de la astronomía era considerada parte de la matemática, y Aristarco en Sobre los tamaños y distancias se refiere principalmente a cálculos astronómicos. De acuerdo con Vitruvio, arquitecto romano, Aristarco era un experto en todas las ramas de la matemática, y fue el inventor de un popular reloj de sol compuesto por un cuenco hemisférico con una aguja vertical en el centro. Parece que sus descubrimientos en Sobre los tamaños y distancias de la vasta escala del universo fomentaron un interés en la orientación física del sistema solar, llevando eventualmente a su concepción heliocéntrica del Sol en el centro.

El heliocentrismo tiene sus raíces en los primeros pitagóricos, un culto religioso/filosófico que prosperó en el siglo V a.C. en el sur de Italia. A Filolao (aprox. 440 a.C.) se atribuye la idea de que la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas orbitan alrededor de un central “hogar del universo”. Hicetas, un contemporáneo de Filolao, creía en la rotación axial de la Tierra. Los historiadores antiguos atribuyen a Heráclides Póntico (aproximadamente 340 a.C.) la rotación de la Tierra alrededor del Sol, pero se dice que Aristarco es el primero en desarrollar una teoría heliocéntrica completa: La Tierra orbita al Sol mientras gira al mismo tiempo alrededor de su eje.

Es interesante que la teoría heliocéntrica no tuvo éxito. La idea no llamó mucho la atención, y las especulaciones filosóficas de la época jónica ya estaban menguando, para ser reemplazadas por las hazañas cada vez más matemáticas de Apolonio de Perga, Hiparco de Rodas y Ptolomeo. Debido a las tendencias de los círculos intelectuales y religiosos, el geocentrismo se hizo cada vez más popular. No fue hasta que Nicolás Copérnico, que vivió 18 siglos después, resucitó la hipótesis de Aristarco que la opinión se alejó de considerar a la Tierra como el centro del universo.

Viviendo después de Euclides de Alejandría y antes de Arquímedes, Aristarco fue capaz de producir rigurosos argumentos y construcciones geométricas, una característica distintiva de los mejores matemáticos. El intento de hacer varias mediciones del sistema solar sin un telescopio parece increíble, pero implicaba la simple geometría de los triángulos. Con el Sol (S), la Tierra (E) y la Luna (M) como los tres vértices de un triángulo, el ángulo EMS será un ángulo recto cuando la Luna esté exactamente a la mitad de la sombra. Mediante una observación cuidadosa, es posible medir el ángulo MES, y por tanto el tercer ángulo ESM puede deducirse. Una vez conocidos estos ángulos, se puede determinar la relación entre la longitud de los catetos, es decir, la distancia a la Luna y la distancia al Sol. Por supuesto, este procedimiento está plagado de dificultades, y cualquier pequeño error en la estimación de los ángulos eliminará todo el cálculo. Aristarco estimó que el ángulo MES era de aproximadamente 87 grados, cuando en realidad es de 89 grados y 50 minutos. De esto, deduce que la distancia al Sol es aproximadamente 20 veces mayor que la distancia a la Luna, cuando en realidad es 400 veces mayor. Su teoría era sólida, pero Aristarco estaba inhibido por su crudo equipo.

Esto se discute en Sobre los tamaños y distancias, donde él afirma varias suposiciones y de estas demuestra la estimación anterior sobre la distancia al Sol y también indica que el diámetro del Sol y la Luna están relacionados de la misma manera (el Sol es aproximadamente 20 veces tan ancho como la Luna). También calcula que la relación entre el diámetro del Sol y el diámetro de la Tierra es entre 19:3 y 43:6, una subestimación.

Cabe señalar que la trigonometría todavía no se había desarrollado, y sin embargo Aristarco desarrolló métodos que estimaban esencialmente los senos de ángulos pequeños. Sin medios precisos de cálculo, Aristarco fue incapaz de obtener resultados precisos, aunque su método fue brillante. Debido a que el heliocentrismo no fue aceptado en ese momento, Aristarco no consiguió mucha fama en su propia vida. Sin embargo, fue uno de los primeros matemáticos en obtener mediciones astronómicas de alta precisión.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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