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Posts Tagged ‘Apolonio de Perga’

Poco se sabe de la vida de Aryabhata, que se llama Aryabhata I para distinguirlo de otro matemático del mismo nombre que vivió cuatro siglos más tarde. Aryabhata desempeñó un papel en el desarrollo del actual sistema de números y contribuyó a la teoría de números en un momento en que gran parte de Europa estaba envuelta en la ignorancia.

Nació en la India y tuvo una conexión con la ciudad Kusumapura, la capital de los Guptas durante los siglos IV y V; este lugar se cree que es la ciudad de su nacimiento. Ciertamente, su Aryabhatiya fue escrito en Kusumapura, que más tarde se convirtió en un centro de aprendizaje matemático.

Aryabhata escribió dos obras: Aryabhatiya en 499, cuando tenía 23 años, y otro tratado que se ha perdido. El primer trabajo es un breve resumen de la matemática hindú, que consta de tres secciones sobre matemática, el tiempo y los modelos planetarios, y la esfera. Las secciones sobre matemática contienen 66 reglas matemáticas sin demostración, que tratan sobre aritmética, álgebra, trigonometría plana y trigonometría esférica. Sin embargo, también contiene conocimientos más avanzados, tales como fracciones continuas, ecuaciones cuadráticas, series infinitas y una tabla de senos. En el año 800 este trabajo fue traducido al árabe, y tenía muchos comentaristas indios.

El sistema numérico de Aryabhata, el que usó en su libro, asigna un número a cada una de las 33 letras del alfabeto indio, representando los primeros 25 números así como 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. Es de notar que estaba familiarizado con un sistema posicional, de modo que números muy grandes podran ser fácilmente descritos y manipulados usando esta notación alfabética. De hecho, parece probable que Aryabhata estuviera familiarizado con el cero como marcador de posición. El sistema de números indios posicional, que más tarde influiría grandemente en la construcción del sistema moderno, facilitó cálculos que serían imposibles bajo modelos más primitivos, como los números romanos. Aryabhata parece ser el creador de este sistema posicional.

En su examen del álgebra, Aryabhata investiga primeramente ecuaciones lineales con coeficientes enteros -aparentemente, el Aryabhatiya es el primer trabajo escrito en hacerlo. La cuestión surgió de ciertos problemas de astronomía, como el cálculo del período de los planetas. La técnica se llama kuttaka, que significa “pulverizar”, y consiste en partir la ecuación en problemas relacionados con coeficientes más pequeños; el método es similar al algoritmo euclidiano para encontrar el máximo divisor común, pero también está relacionado con la teoría de las fracciones continuas. 

Además, Aryabhata dio un valor para el número pi que era preciso a ocho decimales, mejorando las aproximaciones dadas por Arquímedes de Siracusa y Apolonio de Perga. Los eruditos han sostenido que él obtuvo esto independientemente de los griegos, teniendo un cierto método particular para aproximar a pi, pero no se sabe exactamente cómo lo hizo; Aryabhata también se dio cuenta de que pi era un número irracional. Su tabla de senos da valores aproximados a intervalos de menos de cuatro grados, y utiliza una fórmula trigonométrica para lograrlo.

Aryabhata también discute reglas para sumar los primeros n enteros, los primeros n cuadrados, y los primeros n cubos; da fórmulas para el área de triángulos y de círculos. Sus resultados para los volúmenes de una esfera y de una pirámide son incorrectos, pero esto puede haber sido debido a un error de traducción. Por supuesto, estos últimos resultados eran bien conocidos por los griegos y podrían haber llegado a Aryabhata a través de los árabes.

En cuanto a la astronomía presente en el texto, la matemática está diseñada para dilucidarla y hay varios resultados interesantes. Aryabhata da una excelente aproximación a la circunferencia de la Tierra (62.832 millas), y explica la rotación de los cielos a través de una teoría de la rotación axial de la Tierra. Irónicamente, esta teoría (correcta) fue considerada absurda por comentaristas posteriores, que alteraron el texto para remediar los errores de Aryabhata. Igualmente notable es su descripción de las órbitas planetarias como elipses; cabe notar que sólo datos astronómicos altamente precisos proporcionados por telescopios superiores permitieron a los astrónomos europeos diferenciar entre órbitas circulares y elípticas. Aryahbhata da una explicación correcta de los eclipses solares y lunares, y atribuye la luz de la Luna a la luz solar reflejada.

Aryabhata fue de gran influencia para los matemáticos y astrónomos indios posteriores. Tal vez lo más relevante para el desarrollo posterior de la matemática fue su sistema posicional. Sus teorías fueron extremadamente avanzadas considerando el tiempo en que él vivió, y los cálculos exactos de las medidas astronómicas ilustraron el poder de su sistema numérico.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Reconocida como la primera persona en proponer una teoría heliocéntrica (que los planetas giran alrededor del Sol) del sistema solar, Aristarco fue un astrónomo importante y un matemático de primer orden. Poco se sabe de su vida, pero sus obras han sobrevivido, y en ellas calcula varias distancias astronómicas milenios antes de la invención de los telescopios modernos.

Aparentemente, Aristarco nació en la isla de Samos, que se encuentra en el Mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, un centro para la ciencia y el aprendizaje en la civilización jónica. Estudió bajo Estratón de Lámpsaco, director del Liceo fundado por Aristóteles. Se cree que Aristarco fue alumno de Estratón en Alejandría en lugar de en Atenas. Sus fechas aproximadas están determinadas por los registros de Claudio Ptolomeo y Arquímedes de Siracusa. La única obra de Aristarco todavía en existencia es su tratado Sobre los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna.

Entre sus pares, Aristarco era conocido como “el matemático”, lo que puede haber sido meramente descriptivo. En ese momento, la disciplina de la astronomía era considerada parte de la matemática, y Aristarco en Sobre los tamaños y distancias se refiere principalmente a cálculos astronómicos. De acuerdo con Vitruvio, arquitecto romano, Aristarco era un experto en todas las ramas de la matemática, y fue el inventor de un popular reloj de sol compuesto por un cuenco hemisférico con una aguja vertical en el centro. Parece que sus descubrimientos en Sobre los tamaños y distancias de la vasta escala del universo fomentaron un interés en la orientación física del sistema solar, llevando eventualmente a su concepción heliocéntrica del Sol en el centro.

El heliocentrismo tiene sus raíces en los primeros pitagóricos, un culto religioso/filosófico que prosperó en el siglo V a.C. en el sur de Italia. A Filolao (aprox. 440 a.C.) se atribuye la idea de que la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas orbitan alrededor de un central “hogar del universo”. Hicetas, un contemporáneo de Filolao, creía en la rotación axial de la Tierra. Los historiadores antiguos atribuyen a Heráclides Póntico (aproximadamente 340 a.C.) la rotación de la Tierra alrededor del Sol, pero se dice que Aristarco es el primero en desarrollar una teoría heliocéntrica completa: La Tierra orbita al Sol mientras gira al mismo tiempo alrededor de su eje.

Es interesante que la teoría heliocéntrica no tuvo éxito. La idea no llamó mucho la atención, y las especulaciones filosóficas de la época jónica ya estaban menguando, para ser reemplazadas por las hazañas cada vez más matemáticas de Apolonio de Perga, Hiparco de Rodas y Ptolomeo. Debido a las tendencias de los círculos intelectuales y religiosos, el geocentrismo se hizo cada vez más popular. No fue hasta que Nicolás Copérnico, que vivió 18 siglos después, resucitó la hipótesis de Aristarco que la opinión se alejó de considerar a la Tierra como el centro del universo.

Viviendo después de Euclides de Alejandría y antes de Arquímedes, Aristarco fue capaz de producir rigurosos argumentos y construcciones geométricas, una característica distintiva de los mejores matemáticos. El intento de hacer varias mediciones del sistema solar sin un telescopio parece increíble, pero implicaba la simple geometría de los triángulos. Con el Sol (S), la Tierra (E) y la Luna (M) como los tres vértices de un triángulo, el ángulo EMS será un ángulo recto cuando la Luna esté exactamente a la mitad de la sombra. Mediante una observación cuidadosa, es posible medir el ángulo MES, y por tanto el tercer ángulo ESM puede deducirse. Una vez conocidos estos ángulos, se puede determinar la relación entre la longitud de los catetos, es decir, la distancia a la Luna y la distancia al Sol. Por supuesto, este procedimiento está plagado de dificultades, y cualquier pequeño error en la estimación de los ángulos eliminará todo el cálculo. Aristarco estimó que el ángulo MES era de aproximadamente 87 grados, cuando en realidad es de 89 grados y 50 minutos. De esto, deduce que la distancia al Sol es aproximadamente 20 veces mayor que la distancia a la Luna, cuando en realidad es 400 veces mayor. Su teoría era sólida, pero Aristarco estaba inhibido por su crudo equipo.

Esto se discute en Sobre los tamaños y distancias, donde él afirma varias suposiciones y de estas demuestra la estimación anterior sobre la distancia al Sol y también indica que el diámetro del Sol y la Luna están relacionados de la misma manera (el Sol es aproximadamente 20 veces tan ancho como la Luna). También calcula que la relación entre el diámetro del Sol y el diámetro de la Tierra es entre 19:3 y 43:6, una subestimación.

Cabe señalar que la trigonometría todavía no se había desarrollado, y sin embargo Aristarco desarrolló métodos que estimaban esencialmente los senos de ángulos pequeños. Sin medios precisos de cálculo, Aristarco fue incapaz de obtener resultados precisos, aunque su método fue brillante. Debido a que el heliocentrismo no fue aceptado en ese momento, Aristarco no consiguió mucha fama en su propia vida. Sin embargo, fue uno de los primeros matemáticos en obtener mediciones astronómicas de alta precisión.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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La matemática griega continuó su desarrollo desde la época de Euclides de Alejandría, y después de Arquímedes de Siracusa uno de los matemáticos más grandes fue Apolonio de Perga. Es conocido principalmente por sus contribuciones a la teoría de las secciones cónicas (las figuras planas obtenidas cortando un cono en varios ángulos). La fascinación en este tema, revivida en los siglos XVI y XVII, ha continuado en los tiempos modernos con el inicio de la geometría proyectiva.

Apolonio de Perga

Poca información sobre su vida se ha preservado de los estragos del tiempo, pero parece que Apolonio  floreció en algún momento entre la segunda mitad del siglo III y principios del siglo II a.C. Perga, una pequeña ciudad griega en la parte meridional de lo que ahora es Turquía, fue su ciudad de nacimiento. Apolonio vivió durante algún tiempo en Alejandría, donde pudo haber estudiado con los alumnos de Euclides, y más tarde visitó a Pérgamo y Éfeso.

Su obra más famosa, las Cónicas, se compuso a principios del siglo II a. C., y pronto se reconoció como un texto clásico. Arquímedes, que murió alrededor del año 212 a. C., parece ser el predecesor matemático inmediato de Apolonio, que desarrolló muchas de las ideas del siracusano. Las Cónicas estaba originalmente dividida en ocho libros, y se había previsto como un tratado sobre secciones cónicas. Antes del tiempo de Apolonio se conocían los fundamentos de la teoría de las secciones cónicas: las parábolas, las hipérbolas y las elipses se podían obtener cortando un cono con ángulos de vértice recto, obtuso o agudo, respectivamente. Apolonio empleó un método alternativo de construcción que implicaba cortar un doble cono en varios ángulos, manteniendo el ángulo de vértice fijo (este es el enfoque adoptado en los tiempos modernos). Este método tenía la ventaja de hacer estas curvas accesibles a la “aplicación de áreas”, una formulación geométrica de ecuaciones cuadráticas que en el tiempo moderno se expresaría algebraicamente. Es evidente que el enfoque de Apolonio fue refrescantemente original, aunque el contenido real de las Cónicas podría haber sido bien conocido. Mucha terminología, como parábola, hipérbola y elipse, se debe a Apolonio, y generaliza los métodos para generar secciones.

Cónicas contiene mucho material que ya era conocido, aunque la organización ahora estaba a tono con el método de Apolonio, que suavemente unía numerosos fragmentos de conocimiento geométrico. Se omitieron ciertos resultados elementales y se incluyeron algunos hechos novedosos. Además del material sobre la generación de secciones, Apolonio describió teoremas sobre los rectángulos contenidos por los segmentos de cuerdas de una cónica, las propiedades armónicas de las propiedades de los polos y polares, propiedades de los focos, y el locus de tres y cuatro líneas. Él discute la formación de una línea normal a una cónica, así como ciertas desigualdades de diámetros conjugados. Este trabajo, comparado con otra literatura griega, es bastante difícil de leer, ya que la falta de notación moderna hace el texto pesado, y el contenido en sí es bastante complicado. Sin embargo, el estudio persistente ha recompensado a muchos matemáticos dotados, incluyendo a Sir Isaac Newton, Pierre de Fermat y Blaise Pascal, que se inspiró enormemente en el clásico texto de Apolonio.

En la obra de Pappus de Alejandría se incluye un resumen de otras obras matemáticas de Apolonio: Secciones en una razón dada, Secciones en un área dada, Secciones determinadas, Tangencias, Inclinaciones y Lugares planos. Éstos se ocupan de varios problemas geométricos, y algunos de ellos implican la “aplicación de un área”. Utiliza el método griego de análisis y síntesis: El problema en cuestión se supone primero resuelto y una condición más fácilmente construida se deduce de la solución (“análisis”); luego, de la última construcción, se desarrolla la original (“síntesis”). Parece que Apolonio escribió incluso otros documentos, pero no se ha encontrado ningún vestigio de su contenido hasta nuestros días. Aparentemente, ideó un sistema numérico para la representación de enormes cantidades, similar al sistema de notación de Arquímedes, aunque Apolonio generalizó la idea. También hay referencias a la inscripción del dodecaedro en la esfera, al estudio de la hélice cilíndrica y un tratado general sobre los cimientos de la geometría.

Apolonio conocía todos los aspectos de la geometría griega, pero también contribuyó a la teoría euclidiana de los números irracionales y derivó aproximaciones para el número pi más precisas que las de Arquímedes. Su pensamiento incursionó también en la ciencia de la óptica, donde su profundo conocimiento de las cónicas ayudó a la determinación de diversas reflexiones causadas por espejos parabólicos y esféricos. Apolonio fue reconocido en su tiempo como el astrónomo más importante, e incluso ganó el epíteto de Epsilon, ya que la letra griega de ese nombre tiene una semejanza con la Luna. Calculó la distancia de la Tierra a la Luna como de aproximadamente 600.,000 millas, e hizo varios cálculos de las órbitas de los planetas. De hecho, Apolonio es un importante actor en el desarrollo de modelos geométricos para explicar el movimiento planetario; Hiparco de Rodas y Claudio Ptolomeo, mejorando sus teorías, llegaron al sistema ptolemaico, una hazaña de la investigación científica del mundo antiguo poseía una considerable grandeza y longevidad.

No hubo un sucesor inmediato de Apolonio, aunque sus Cónicas fueron reconocidas como un magnífico logro. Se produjeron varios comentarios simples, pero el interés disminuyó después de la caída de Roma, y ​​sólo los cuatro primeros libros siguieron traduciéndose en Bizancio. Otros tres libros de las Cónicas fueron traducidos al árabe, y los matemáticos islámicos permanecieron intrigados por su trabajo, aunque hicieron pocos avances; el libro final (el octavo) está perdido. A finales del siglo XVI y principios del XVII, varias traducciones de las Cónicas de Apolonio aparecieron en Europa y fueron estudiadas vorazmente por matemáticos franceses como René Descartes, Pierre de Fermat, Girard Desargues y Blaise Pascal. Cuando Descartes propuso su geometría analítica, que tomó un acercamiento algebraico, más bien que constructivo o geométrico, para las curvas y las secciones, el interés en el tratado clásico de Apolonio comenzó a decaer. Sin embargo, más adelante en el siglo XIX, las cónicas experimentaron una resurrección de la curiosidad con la introducción de la geometría proyectiva.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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