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Lógica Intuicionista

Posted in Historia de la Matemática, tagged Arend Heyting, Aristóteles, Augustus De Morgan, Lógica matemática, Leopold Kronecker, Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Principio del tercero excluido on 26 abril 2017| Leave a Comment »

El matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) a comienzos del siglo XX tuvo la idea fundamental de que los argumentos no constructivos se evitarían si uno abandona un principio de la lógica clásica que está detrás de las leyes de De Morgan. Este es el principio del tercero excluido, que afirma que, para cada proposición p, p o no p; y equivalentemente que, para cada p, no no p implica p. Este principio es básico para la lógica clásica y ya había sido enunciado por Aristóteles, aunque con algunas reservas, ya que señaló que la afirmación de que «habrá una batalla naval mañana» no es ni verdadera ni falsa.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Brouwer no afirmó que el principio del tercero excluido siempre falla, sólo que puede fallar en la presencia de conjuntos infinitos. De dos números naturales $x$ e $y$ uno siempre puede decidir si $x=y$ o $x\neq y$ , pero de dos números reales esto podría no ser posible, ya que uno podría tener que saber un número infinito de dígitos de sus desarrollos decimales. Objeciones similares se aplican a las leyes de De Morgan, una consecuencia del principio del tercero excluido. Para un conjunto finito $A$ , si se ha demostrado que la aserción $\forall_{x\in A}\neg\phi(x)$ conduce a una contradicción, $\exists_{x\in A}\phi(x)$ puede ser verificada mirando cada elemento de $A$ por vez; es decir, la afirmación de que ningún miembro de un conjunto dado tiene una determinada propiedad puede ser refutada examinando sucesivamente cada elemento del conjunto. Para un conjunto infinito $A$ , no hay forma de realizar tal inspección.

La filosofía de la matemática de Brouwer se llama intuicionismo. Aunque el propio Brouwer sentía que la matemática era independiente del lenguaje, su discípulo Arend Heyting (1898-1980) estableció un lenguaje formal para la aritmética intuicionista de primer orden. Algunos de los seguidores posteriores de Brouwer incluso estudiaron la teoría del tipo intuicionista, que difiere de la teoría de tipos clásicos sólo por la ausencia de un solo axioma (doble negación):

$\forall_{x\in\Omega}(\neg\neg x\supset x)$

donde $\Omega$ es el tipo de valores de verdad.

Arend Heyting

Aunque no se puede decir que muchos matemáticos practicantes han seguido a Brouwer al rechazar este principio por razones filosóficas, fue una gran sorpresa para las personas que trabajan en la teoría de categorías que a ciertas categorías importantes llamadas topoi (singular: topos) les han asociado un lenguaje que es intuicionista en general.

La forma moderada del intuicionismo considerada aquí abarca el constructivismo de Kronecker, pero no la posición más extrema del finitismo. De acuerdo con esta visión, que se remonta a Aristóteles, no existen conjuntos infinitos, excepto potencialmente. De hecho, es precisamente en la presencia de conjuntos infinitos que los intuicionistas abandonan el principio clásico del tercero excluido.

Una posición aún más extrema, llamada ultrafinitismo, sostiene que incluso no existen números muy grandes, digamos números mayores de $10^{(10^{10})}$ . Por supuesto, la gran mayoría de los matemáticos rechaza este punto de vista al referirse a $10^{(10^{10})}+1$ , pero los verdaderos creyentes tienen maneras sutiles de superar esta objeción, la cual, sin embargo, está fuera del alcance de esta discusión.