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Posts Tagged ‘Aristóteles’

Galileo Galilei es uno de los nombres más conocidos en la historia de la ciencia. Este hombre vivió en una época en que la filosofía especulativa fue gradualmente suplantada por la matemática y la evidencia experimental, y de hecho contribuyó, tal vez más que cualquiera de sus contemporáneos, a este cambio de paradigma. La investigación de Galileo sobre matemática, mecánica, física y astronomía alteró por completo la forma en que las personas buscaban el conocimiento del mundo natural y comenzó una avalancha de investigaciones científicas en toda Europa. 

Galileo nació el 15 de febrero de 1564, en Pisa, Italia. Su padre, Vincenzio Galilei, era músico y miembro de una antigua familia patricia. Vincenzio se casó con Giulia Ammannati de Pescia en 1562, y Galileo nació dos años más tarde. Él sería uno de siete hijos. Primero fue tutelado en Pisa, pero la familia regresó a Florencia en 1575. Estudió en el monasterio de Santa María en Vallombrosa hasta 1581, cuando se matriculó en la Universidad de Pisa como estudiante de medicina. Galileo tenía poco interés en la medicina, pues prefería la matemática, en la que progresaba rápidamente a pesar de la desaprobación de su padre. En 1585 dejó la escuela sin un título y siguió el estudio de Euclides de Alejandría y Arquímedes de Siracusa en privado. 

Durante los próximos cuatro años, Galileo dio clases privadas de matemática en Florencia, mientras componía algunas obras menores sobre mecánica y geometría. Fue en este momento que el padre de Galileo se involucró en una controversia musical. Vincenzio Galilei resolvió la disputa a través de investigaciones experimentales, y este enfoque demostró tener una gran influencia en su hijo. Galileo maduraría y se convertiría en un gran experimentador que probaría las teorías matemáticas con evidencia física.

En 1589, Galileo obtuvo la cátedra de matemática en Pisa, donde realizó algunos de sus primeros experimentos sobre la caída de los cuerpos. Aproximadamente en este momento, Galileo se embarcó en una campaña de toda la vida para desacreditar la física aristotélica, la visión oficial del mundo defendido por la Iglesia Católica Romana, que, entre otras cosas, declaró que los objetos más densos caen más rápido. Galileo enfureció a muchos de sus colegas profesores al demostrar públicamente que cuerpos de diferentes pesos caían a la misma velocidad, arrojando esos objetos desde la Torre Inclinada de Pisa. Su tratado sobre estos temas fue De motu (Sobre el movimiento), y se basó en algunas ideas de Arquímedes.

Su padre murió en 1591, creando una situación financiera incierta para Galileo. Debido a la animosidad que había despertado, su puesto en Pisa no se renovó; sin embargo, sus amigos lo ayudaron a obtener un lugar en Padua, donde la comunidad era menos conservadora. Dio conferencias sobre Euclides, Claudio Ptolomeo y mecánica, pero no se interesó en la astronomía hasta mucho después. En 1597 Galileo expresó su simpatía por el sistema copernicano a Johannes Kepler, pero no promovió públicamente la astronomía anti-aristotélica en este momento.

Mientras estaba en Padua, Galileo tuvo una amante llamada Marina Gamba, que más tarde le dio dos hijas y un hijo. Su hija mayor, Virginia, sería un gran consuelo para él en años posteriores de lucha y conflicto. En 1602 se interesó en los movimientos de los péndulos y la aceleración de los cuerpos que caen, y derivó correctamente la ley de caída libre en 1604, aunque con una suposición incorrecta. En el mismo año, una supernova provocó una disputa sobre la noción aristotélica de la incorruptibilidad de los cielos, y Galileo pronunció varias conferencias públicas sobre este tema. Pronto se interesaría cada vez más en el estudio de los cielos.

En 1609 Galileo se enteró de la invención de un telescopio por Hans Lipperhey, un afilador de lentes holandés, y el profesor paduano se dispuso a construir su propia versión, que finalmente fue 30 veces más poderosa que la original. Este dispositivo, tan útil para la navegación, le valió un puesto de por vida en Padua, y comenzó a usarlo para ver el cielo. Pronto descubrió que la Luna tenía montañas y que la Vía Láctea consistía en muchas estrellas separadas. Galileo publicó muchos descubrimientos adicionales en Sidereus nuncios (1610). Su fama resultante le valió el puesto de matemático y filósofo para el gran duque de Toscana, donde podría centrarse en su investigación sin tener que enseñar.

El libro creó un furor en Europa, y muchos afirmaron que era un fraude, aunque Kepler lo aprobó. En los satélites de Júpiter, Galileo ahora vio evidencia decisiva contra la concepción aristotélica de que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra. En 1611 viajó a Roma, donde fue honrado por los jesuitas del Colegio Romano y admitido en la Academia Lincean.

Después de este tiempo, Galileo volvió a la física y se vio envuelto en más controversias en Florencia. La disputa se refería al comportamiento de los cuerpos flotando en el agua, y Galileo apoyó las teorías de Arquímedes contra las de Aristóteles; él pudo, usando los conceptos de momento y velocidad, extender las ideas de Arquímedes más allá de las situaciones hidrostáticas.

En 1613, Galileo publicó Letters on Sunspots, donde habló por primera vez en forma impresa sobre el sistema copernicano. Ciertos católicos no consideraron favorablemente este documento, y la oposición creció en los años siguientes. En opinión de Galileo, la teología no debía interferir con cuestiones puramente científicas, aquellas que podrían resolverse experimentalmente; y en 1615 Galileo fue a Roma para luchar contra la supresión del copernicanismo. El Papa Pablo V, molesto por los cuestionamientos de la autoridad teológica, nombró una comisión para determinar el movimiento de la Tierra: en 1616 la comisión falló contra el sistema copernicano, y se prohibió a Galileo defender esa opinión.

Volviendo a Florencia, Galileo recurrió al problema de determinar longitudes en el mar. También retomó la mecánica, definió correctamente la aceleración uniforme y presentó muchos de sus principios cinemáticos. Pero Galileo tenía una personalidad combativa, y pronto se vio envuelto en una nueva controversia sobre el movimiento de tres cometas en 1618. En una famosa polémica de la ciencia, Il saggiatore, Galileo estableció un enfoque científico general para la investigación de fenómenos celestes sin referencia directa al sistema copernicano. En este ensayo, Galileo repudia cualquier autoridad que contradiga la investigación directa y, por lo tanto, expone la ciencia empírica como el único fundamento del conocimiento del universo. Este trabajo fue publicado en 1623 y dedicado al Papa Urbano VIII. Galileo obtuvo el permiso de su viejo amigo para escribir un libro que discutiría imparcialmente los sistemas copernicano y ptolemaico, llamado algo así como Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales.

Este trabajo, que ocupó a Galileo durante los próximos seis años, consistió en un diálogo entre dos defensores -para los sistemas copernicano y ptolemaico, respectivamente- que intentaban ganarse a un profano para su lado. Galileo permanece oficialmente sin compromiso, excepto en el prefacio; los conceptos importantes incluyen la relatividad y la conservación del movimiento. Las manchas solares y las mareas oceánicas se presentaron como argumentos pro-copernicanos, ya que no se podían explicar sin movimiento terrestre. El libro fue impreso en Florencia en 1632, y pronto se ordenó a su autor que compareciera ante la Inquisición en Roma.

El Papa, aunque alguna vez amigo de Galileo, había sido convencido por los enemigos de Galileo de que el autor hacía deliberadamente que la perspectiva aristotélica pareciera una tontería. El juicio fue llevado a cabo con venganza, y Galileo fue sentenciado a cadena perpetua luego de renunciar a la herejía copernicana. Bajo arresto domiciliario, pasó los años que le faltaban completando su inacabado trabajo sobre mecánica. Hacia 1638, su Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias había aparecido en Francia (no podía publicar en Italia, ya que sus obras estaban prohibidas). El contenido trata sobre la ciencia de la ingeniería de los materiales y la ciencia matemática de la cinemática, y subyace en gran parte la física moderna. Tanto el péndulo como el plano inclinado juegan un papel importante en Dos nuevas ciencias, y Galileo deduce el movimiento parabólico de las trayectorias.

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En los últimos cuatro años de su vida, Galileo estuvo ciego, y antes de su muerte se le negó la solicitud de asistir a los servicios de Pascua o consultar a médicos. Finalmente, el 8 de enero de 1642, en Arcetri, Italia, falleció. Sin duda fue uno de los mejores científicos de todos los tiempos, y también un matemático capaz. No solo hizo grandes contribuciones a la ciencia, sino que también avanzó en una nueva epistemología: el conocimiento del mundo natural (incluido el conocimiento matemático) debe adquirirse a través de la razón y la experimentación.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Nuestra teoría moderna de números reales es esencial para la solución de ecuaciones algebraicas y en todo el análisis matemático; y sin embargo, para muchos griegos, no existía el concepto de número irracional. Eudoxo, que creó una base matemática rigurosa para los números reales a través de su teoría de proporciones, eliminó este bloque conceptual. Como resultado, la matemática griega pudo continuar avanzando. 

Eudoxo nació en Cnido en el año 408 a.C., hijo de Aischines. Cuando aún era un hombre joven, estudió geometría con Arquitas de Tarento, y sus investigaciones filosóficas bien pueden haber sido inspiradas por Platón, a cuyas conferencias asistió mientras estudiaba en Atenas. Después de regresar a su ciudad natal, Eudoxo se fue de viaje a Egipto, pasando parte de su tiempo con los sacerdotes de Heliópolis. Él compuso su ciclo calendárico de ocho años, que probablemente incluyó los ascensos y configuraciones de las constelaciones. Después de un año en Egipto, se estableció en Cícico y fundó una escuela (que probablemente se ocupaba de matemática y filosofía), y más tarde hizo una segunda visita a Atenas. Parece que tuvo alguna interacción adicional con Platón en este momento, aunque Platón no ejerció mucha influencia sobre la filosofía de Eudoxo. Regresó a Cnido, donde dio conferencias, escribió libros de texto y proporcionó leyes para los ciudadanos. 

El pensamiento matemático de Eudoxo se encuentra detrás de gran parte del material de los Libros V, VI y VII de los Elementos de Euclides de Alejandría. Como ninguna de las obras escritas de Eudoxo existe, podemos confiar únicamente en el relato de Euclides. Eudoxo volvió a buscar la proporción matemática, dando por primera vez una definición sensible y rigurosa del concepto (que todavía está en uso hoy en día). También investigó el método de agotamiento (una idea de protocalculo, utilizada para calcular áreas y volúmenes), y se interesó en el desarrollo axiomático de la matemática (este enfoque influyó mucho en Euclides, quien cuidadosamente planteó varios postulados y axiomas de la geometría en los Elementos). Eudoxo pudo haber sido el primero en abordar la matemática de esta manera sistemática. 

Antes de la teoría de la proporción de Eudoxo, la matemática griega estaba inmovilizada por los números irracionales: los pitagóricos ya habían descubierto raíces cuadradas, pero a su modo de pensar estas cantidades no existían realmente. Sólo los números racionales (proporciones de enteros) existían para estos griegos anteriores. Para avanzar en la teoría de números y las soluciones de ecuaciones (y también en la geometría), era necesario incluir números irracionales; la teoría de proporciones de Eudoxo dio una definición rigurosa de los números reales, mostrando en particular la existencia de cantidades irracionales. Es interesante que las definiciones modernas de los números reales, como las propuestas por Richard Dedekind  y Karl Weierstrass, sean prácticamente idénticas a la antigua formulación de Eudoxo. 

Eudoxo trabajó en el viejo “problema de Delos” de duplicar el cubo. Según Arquímedes, Eudoxo probó que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma que lo contiene, con resultados similares para el cono. Aunque Demócrito de Abdera ya conocía estos hechos, Eudoxo fue el primero en probarlos. Parece que también descubrió fórmulas para el área y el volumen de círculos y esferas, respectivamente. Estas proposiciones se dan en el Libro XII de los Elementos, que refleja gran parte del trabajo de Eudoxo en este campo. 

Otro aspecto importante de su trabajo fue la aplicación de la geometría esférica a la astronomía. Eudoxo, en su trabajo Sobre velocidades, expone un sistema astronómico geocéntrico que involucra esferas giratorias. Aunque el modelo estaba altamente idealizado, teniendo un ajuste pobre a los datos de observación conocidos, Aristóteles tomó la idea literalmente y la popularizó a través de su propio trabajo. Eudoxo tenía su propio observatorio y observaba cuidadosamente los cielos como parte de sus propios estudios; publicó sus resultados en el Enoptron y el Phaenomena, que fueron referencias muy utilizadas durante dos siglos. Eudoxo también era conocido como un gran geógrafo, y su Vuelta a la Tierra dio una descripción sistemática del mundo conocido, que incluye información política, histórica y etnográfica. 

Eudoxo fue sin duda uno de los mejores intelectuales de su tiempo, aunque su trabajo se conoce hoy sólo a través de relatos de segunda mano. Su contribución a la matemática a través de la formulación del sistema de los números reales no puede exagerarse; este trabajo permitió un mayor desarrollo de la matemática griega a través de personas como Arquímedes y Eratóstenes.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) a comienzos del siglo XX tuvo la idea fundamental de que los argumentos no constructivos se evitarían si uno abandona un principio de la lógica clásica que está detrás de las leyes de De Morgan. Este es el principio del tercero excluido, que afirma que, para cada proposición p, p o no p; y equivalentemente que, para cada p, no no p implica p. Este principio es básico para la lógica clásica y ya había sido enunciado por Aristóteles, aunque con algunas reservas, ya que señaló que la afirmación de que “habrá una batalla naval mañana” no es ni verdadera ni falsa.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Brouwer no afirmó que el principio del tercero excluido siempre falla, sólo que puede fallar en la presencia de conjuntos infinitos. De dos números naturales x e y uno siempre puede decidir si x=y o x\neq y, pero de dos números reales esto podría no ser posible, ya que uno podría tener que saber un número infinito de dígitos de sus desarrollos decimales. Objeciones similares se aplican a las leyes de De Morgan, una consecuencia del principio del tercero excluido. Para un conjunto finito A, si se ha demostrado que la aserción \forall_{x\in A}\neg\phi(x) conduce a una contradicción, \exists_{x\in A}\phi(x) puede ser verificada mirando cada elemento de A por vez; es decir, la afirmación de que ningún miembro de un conjunto dado tiene una determinada propiedad puede ser refutada examinando sucesivamente cada elemento del conjunto. Para un conjunto infinito A, no hay forma de realizar tal inspección.

La filosofía de la matemática de Brouwer se llama intuicionismo. Aunque el propio Brouwer sentía que la matemática era independiente del lenguaje, su discípulo Arend Heyting (1898-1980) estableció un lenguaje formal para la aritmética intuicionista de primer orden. Algunos de los seguidores posteriores de Brouwer incluso estudiaron la teoría del tipo intuicionista, que difiere de la teoría de tipos clásicos sólo por la ausencia de un solo axioma (doble negación):

\forall_{x\in\Omega}(\neg\neg x\supset x)

donde \Omega es el tipo de valores de verdad.

Arend Heyting

Aunque no se puede decir que muchos matemáticos practicantes han seguido a Brouwer al rechazar este principio por razones filosóficas, fue una gran sorpresa para las personas que trabajan en la teoría de categorías que a ciertas categorías importantes llamadas topoi (singular: topos) les han asociado un lenguaje que es intuicionista en general.

La forma moderada del intuicionismo considerada aquí abarca el constructivismo de Kronecker, pero no la posición más extrema del finitismo. De acuerdo con esta visión, que se remonta a Aristóteles, no existen conjuntos infinitos, excepto potencialmente. De hecho, es precisamente en la presencia de conjuntos infinitos que los intuicionistas abandonan el principio clásico del tercero excluido.

Una posición aún más extrema, llamada ultrafinitismo, sostiene que incluso no existen números muy grandes, digamos números mayores de 10^{(10^{10})}. Por supuesto, la gran mayoría de los matemáticos rechaza este punto de vista al referirse a 10^{(10^{10})}+1, pero los verdaderos creyentes tienen maneras sutiles de superar esta objeción, la cual, sin embargo, está fuera del alcance de esta discusión.

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