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Posts Tagged ‘Aritmética’

La división es una operación central en Los Nueve Capítulos. Las fracciones se definen como parte del resultado de una división, el resto del dividendo se toma como numerador y el divisor como denominador. Así, dividiendo 17 por 5, se obtiene un cociente de 3 y un resto de 2. Esto da lugar a la cantidad mezclada 3 + 2/5. Las partes fraccionarias son siempre inferiores a uno, y su aritmética se describe mediante el uso de la división. Por ejemplo, para obtener la suma de un conjunto de fracciones, se ordena lo siguiente

Multiplicar los numeradores por los denominadores que no corresponden a ellos, añadir para obtener el dividendo. Multiplicar los denominadores todos juntos para obtener el divisor. Realizar la división. Si hay un resto, indicarlo con el divisor.

Este algoritmo corresponde a la fórmula moderna

a/b+c/d=(ad+bc)/bd.

La suma de un conjunto de fracciones es en sí misma el resultado de una división, de la forma «número entero más fracción propia». Todas las operaciones aritméticas que implican fracciones se describen de manera similar.

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Los sistemas de aritmética y álgebra pati-ganita y bija-ganita son más o menos lo que se encuentra en los comparativamente pocos tratados sánscritos que tratan exclusivamente de matemática (todos, aparentemente, compuestos después de la mitad del primer milenio). El contenido y la organización de los temas varía de un trabajo a otro, cada autor tiene sus propias ideas sobre qué conceptos deben enfatizarse. Por ejemplo, el Ganita-sara-sangraha del siglo IX («Compendio de la Esencia de la Matemática») de Mahavira refleja el elenco jainista de su erudición en detalles tales como la inclusión de algunas de las unidades infinitesimales de la cosmología jainista en su lista de pesos y medidas. Mahavira omitió totalmente la adición y sustracción de su discusión de la aritmética, tomando en cambio la multiplicación como la primera de las ocho operaciones fundamentales y llenando la brecha con la suma y la sustracción de series. Por otra parte, el más conocido de todos los trabajos sobre la aritmética y el álgebra de la India, el Lilavati del siglo XII y el más avanzado Bijaganita de Bhaskara II siguieron la definición convencional de las ocho operaciones. Bhaskara afirmó, sin embargo, que la «Regla de Tres» (de la proporcionalidad) es el concepto verdaderamente fundamental que subyace tanto en la aritmética como en el álgebra.

Las dos obras de Bhaskara son interesantes también por sus aproximaciones a la aritmética del cero. Ambas repiten la idea estándar (aunque no universal) de que una cantidad dividida por cero debe ser definida simplemente como «cero-dividida» y que, si tal cantidad también se multiplica por cero, los ceros se anulan para restaurar la cantidad original. Pero Bhaskara  también sugiere que el resultado cuantitativo de la división por cero se consideraba una cantidad infinita, posiblemente reflejando una mayor sofisticación de estos conceptos en el Bijaganita.

Mucho material matemático adicional fue abordado en los tratados astronómicos sánscritos -por ejemplo, trigonometría de cuerdas, senos y cosenos y varios tipos de aproximación numérica, tales como interpolación y reglas iterativas.

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Las convenciones de clasificación y organización de temas matemáticos parecen haber evolucionado rápidamente en la segunda mitad del primer milenio. Los dos capítulos de Brahmagupta sobre matemática ya señalan la distinción emergente entre pati-ganita (aritmética, literalmente «tablero de cálculo» para el tablero de polvo, o caja de arena, en el que se realizaban los cálculos) y bija-ganita (álgebra, algo así como «semillas de cálculo» para la manipulación de ecuaciones que implican una cantidad desconocida, o semilla). Estas también fueron llamadas cálculo «manifiesto» y «no-manifiesto», respectivamente, aludiendo a los tipos de cantidades que trataban. Patiganita comprendía (además de las definiciones de pesos y medidas básicos) ocho operaciones «fundamentales» de aritmética: suma, resta, multiplicación, división, cuadratura, extracción de raíz cuadrada, cubicación y extracción de raíz cúbica. Estas eran suplementadas por técnicas para reducir las fracciones y resolver varios tipos de proporciones. Las operaciones eran aplicadas a problemas relacionados con mezclas (composición desigual de varios elementos), series, geometría plana y sólida, y la geometría triangular de las sombras. Las fórmulas para encontrar áreas y volúmenes, estimar interés, sumar series, resolver ecuaciones cuadráticas y resolver combinaciones y permutaciones (más tarde expandidas para incluir cuadrados mágicos) formaban parte del kit de herramientas estándar del pati-ganita.

Bija-ganita excluía los problemas que implicaban la raíz cúbica o el cubo de una incógnita (aunque se conocían procedimientos para cubrir expresiones algebraicas). Abarcaba técnicas para manipular signos y coeficientes de cantidades desconocidas así como «surds» (raíces cuadradas de enteros no cuadrados), reglas para establecer y resolver ecuaciones hasta el segundo orden en una o más incógnitas, y reglas para encontrar soluciones a ecuaciones indeterminadas de primer y segundo grado.

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