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Posts Tagged ‘Arquímedes’

Menelao de Alejandría, uno de los grandes matemáticos griegos posteriores, es el fundador de la trigonometría esférica (el estudio de los triángulos definidos en esferas). Tanto la Tierra como los cielos son esféricos, por lo que este tema es relevante para la navegación, la geografía y el estudio del calendario. Al definir adecuadamente los triángulos esféricos, Menelao avanzó en gran medida en este tema, con lo que también avanzó la astronomía.

Solo se dispone de fragmentos de información sobre la vida de Menelao, y solo una de sus obras ha sobrevivido. Los eruditos creen que nació aproximadamente en el año 70 en Alejandría, Egipto, y más tarde pasó gran parte de su vida adulta en Roma. Sobre la base de registros históricos, realizó una observación astronómica en Roma el 14 de enero del 98. Plutarco registra una conversación entre Menelao y otro hombre mucho después del año 75 en Roma, sobre el reflejo de la luz. Estos hechos constituyen la única evidencia de su actividad en Roma.

Menelao escribió varios libros, incluyendo Sphaerica (El libro de las proposiciones esféricas), Sobre el conocimiento de los pesos y la distribución de diferentes cuerpos, y El libro sobre el triángulo. Sólo el primero de estos ha sobrevivido. Fue el primero en escribir la definición de un triángulo esférico como la figura encerrada por la intersección de tres grandes círculos en una esfera (un gran círculo en una esfera es un círculo de diámetro máximo). Menelao procedió en analogía con el tratamiento de la geometría plana de Euclides de Alejandría y estableció muchos resultados básicos. Su éxito se debió a su superior definición de un triángulo, ya que los trabajos anteriores utilizaban círculos menores. De hecho, ahora se sabe que los grandes círculos son geodésicos, el equivalente de líneas rectas en un plano (dan el camino más corto entre dos puntos). Por lo tanto, los triángulos deben tener lados determinados por geodésicos, y así es exactamente como Menelao procedió.

En paralelo a los Elementos de Euclides, Menelao demostró muchas proposiciones. Es interesante señalar que rechazó el argumento de reducción al absurdo, que involucra una cadena infinita de argumentos que conducen a un absurdo. En su lugar, Menelao utilizó otras técnicas que creía más rigurosas, y su tratamiento de la trigonometría esférica es algo más completo que el de Euclides para la trigonometría plana.

La segunda parte de Sphaerica proporciona las aplicaciones de la trigonometría esférica a la astronomía, y la tercera parte presenta el teorema de Menelao, que fue una generalización a la trigonometría esférica de un resultado de geometría plana relativo a la intersección de una línea con los lados de un triángulo. 

La Sphaerica de Menelaus llega al lector moderno a través de varios traductores y comentaristas árabes y, desafortunadamente, sus versiones difieren un poco del libro original. Otras obras de Menelao, mencionadas anteriormente, fueron referenciadas por árabes como Thabit ibn Qurra. Sólo quedan fragmentos del original. Los comentaristas árabes también mencionaron el trabajo de Menelao sobre mecánica; al parecer, estudió los balances creados por Arquímedes de Siracusa.

Los eruditos creen que Menelao murió alrededor del año 130. Parece que él era poco conocido como matemático en su época, y los matemáticos árabes posteriores ciertamente lo mencionaron en gran medida. La contribución más importante de Menelao radica en su sólida definición de triángulos esféricos, que permitió que el campo de la astronomía progresara aún más.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Leonardo da Vinci es una de las personas más famosas de la época medieval. Artista, ingeniero y científico, era diverso y profético. Hizo importantes contribuciones al arte, la anatomía, la tecnología, la mecánica, la geología y la matemática. 

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Leonardo da Vinci nació el 15 de abril de 1452 en Empolia, Italia. Era el hijo ilegítimo de Piero da Vinci, un ciudadano florentino. Su madre era una niña campesina llamada Caterina. El padre de Leonardo pronto se casó con una respetable mujer italiana, Albiera di Giovanni Amadori. Leonardo recibió una educación rudimentaria, y mostró su talento para la música y el arte a una edad temprana. En 1467 fue aprendiz de Andrea del Verrocchio, con quien estudió pintura, escultura y mecánica. 

Leonardo completó algunas de sus primeras pinturas durante este tiempo, incluido el Bautismo de Cristo.

En 1482 partió para trabajar para el duque de Milán; en ese momento él ya era un experto en arquitectura, pintura y escultura, así como en ingeniería militar. Permaneció en Milán hasta 1499, tiempo durante el cual se interesó más en la física y la mecánica y en las propiedades de la luz. También aumentó su escasa educación matemática, estudiando latín y geometría al mismo tiempo. 

Leonardo formuló su teoría de la supremacía de la pintura sobre los principios matemáticos de la proporción y la perspectiva. Su interés en la proporción lo llevó a realizar más investigaciones en física y matemática. Algunos de sus primeros trabajos en matemática fueron bastante erróneos, ya que no tenía una comprensión adecuada del cálculo aritmético; un ejemplo es su afirmación de que la fracción 2/2 es la raíz cuadrada de 2, ya que afirma falsamente que 2/2 por 2/2 es 4/2. 

Sus otros proyectos durante el tiempo en Milán incluyen la física de la luz, la física de la visión y el problema del vuelo mecánico. Colaboró con el matemático Pacioli en la Divina proporción. Es probable que Leonardo haya leído los Elementos de Euclides de Alejandría antes de hacer los dibujos de este libro. Los cuadernos de Leonardo contienen pruebas de varias proposiciones en los Elementos, y es probable que su amigo Pacioli lo haya alentado y lo haya ayudado en su estudio de Euclides. 

Leonardo partió para Venecia después de que los franceses capturaron al duque de Milán, y más tarde regresó a Florencia. Sirvió brevemente con Cesare Borgia como ingeniero militar, y más tarde completó su famosa Mona Lisa.

De 1500 a 1506 realizó una investigación sobre anatomía humana y dedicó una mayor parte de su tiempo a la matemática y la mecánica. Después de completar su estudio de Euclides (Leonardo estaba especialmente interesado en el tratamiento de la proporción en el Libro X de los Elementos), comenzó su propia investigación sobre la equiparación. Estaba interesado principalmente en la cuadratura de las superficies curvilíneas (transformando estas regiones curvas en cuadrados con la misma área), aunque su método de prueba era a menudo mecánico más que estrictamente geométrico. Leonardo propuso varios métodos para cuadrar el círculo; estaba familiarizado con el método de Arquímedes  de Siracusa, pero rechazó la aproximación del número pi de este último por 22/7. Intentó mejorar la aproximación al inscribir un polígono de 96 lados en el círculo. 

Animado por su supuesto descubrimiento de la cuadratura del círculo el 30 de noviembre de 1504, realizó una investigación similar sobre duplicar cuadrados y cuadruplicar círculos. También se interesó en la duplicación del cubo (problema que ya había sido resuelto por Eratóstenes de Cirene hace siglos), insatisfecho por una solución reciente dada por Valla. Eventualmente, Leonardo concibió una solución que eliminó la necesidad de un aparato mecánico, y de ese modo pudo obtener aproximaciones extremadamente precisas para la raíz cúbica de dos. Sin embargo, no pudo proporcionar una prueba rigurosa de su método. 

Muchos de sus escritos matemáticos están incluidos en el Codex Atlanticus. Leonardo continuó investigando las propiedades de las superficies curvilíneas, como las porciones que quedan entre un círculo y un cuadrado o hexágono inscrito. También exploró la posibilidad del vuelo humano mediante el estudio de la anatomía de las aves, así como el movimiento del agua.

En 1506 regresó a Milán, donde sirvió bajo el mando del gobernador francés. En este último período de su vida, produjo algunos de sus mejores dibujos anatómicos, y sus esfuerzos científicos se extendieron a la hidrología, la geología, la meteorología, la biología y la fisiología humana. En todas estas áreas, sintió que la matemática tenía las claves del conocimiento y trató de formular leyes geométricas para estas disciplinas. Los franceses fueron expulsados ​​en 1513, y Leonardo se fue a Roma, esperando encontrar trabajo con el Papa León X; esto no se materializó, y volvió al servicio de Francia en 1516, trabajando con Francisco I. Sufrió un derrame cerebral en Amboise y murió el 2 de mayo de 1519.  

El enfoque de Leonardo para el estudio de la naturaleza no puede considerarse científico en el sentido moderno. Creía en la importancia de la investigación empírica, pero muchas de sus ideas eran puramente especulativas, sin un razonamiento sólido detrás de ellas. Por supuesto, muchos de sus conceptos fueron contribuciones brillantes también. En matemática, parece haber sido un aficionado. Ciertamente hizo algunos descubrimientos valiosos, y respetó profundamente el papel de la matemática en la investigación de la naturaleza. Pero muchas de sus obras tenían fallas profundas, y su enfoque de las pruebas era más típico de su identidad como artista. Además, sus trabajos matemáticos no han influido en el progreso posterior del pensamiento matemático. Su investigación geométrica sobre áreas curvilíneas desarrolló un aspecto del trabajo de Euclides, pero sus escritos no eran muy conocidos en su época y, por lo tanto, no ejercieron influencia sobre otros pensadores matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Los árabes heredaron las obras de famosos matemáticos griegos, como Euclides de Alejandría, Apolonio de Perga y Arquímedes de Siracusa. Una vez que dominaron las ideas que contenían, varios de ellos pudieron ampliar los métodos. Ibrahim ibn Sinan fue un árabe que empleó gran originalidad en su estudio de la matemática, y representa un punto culminante en el conocimiento científico árabe.  

Ibrahim ibn Sinan nació en el año 908, probablemente en Bagdad, en una familia de eruditos famosos. Su padre, Sinan ibn Thabit, era médico, astrónomo y matemático. Ibrahim llevó una vida breve, muriendo a los 38 años en Bagdad, pero logró una cantidad significativa de actividad científica. Además de su trabajo en matemática, Ibrahim examinó los movimientos aparentes del Sol, estudió la óptica de las sombras e investigó instrumentos astronómicos como el astrolabio. 

En matemática propiamente dicha, las obras escritas de Ibrahim cubren tangentes de círculos y geometría en general. Su cuadratura de la parábola (determinación del área encerrada por una parábola dada) implica una expansión del método de Arquímedes. El abuelo de Ibrahim, Thabit ibn Qurra, ya había generalizado la técnica de Arquímedes, que era equivalente a sumar integrales definidas, pero su exposición fue bastante larga. Por el contrario, el análisis de Ibrahim es simple y elegante. Él descompone el área de la parábola en una colección aproximada de triángulos inscritos, y demuestra una relación elemental entre las áreas de los polígonos inscritos. Como resultado, el área deseada es cuatro tercios del primer triángulo inscrito. El genio de Ibrahim es evidente en su elegante solución a este problema.  

También buscó revivir la geometría clásica, que había sido descuidada por sus contemporáneos. Ibrahim deseaba proporcionar un método práctico para resolver problemas geométricos y categorizar los problemas de acuerdo con su dificultad y método. Siguiendo la epistemología de los antiguos griegos, Ibrahim abogó por la doble importancia de la síntesis y el análisis. El trabajo de Ibrahim ibn Sinan ejerció una profunda influencia en la filosofía matemática de los posteriores matemáticos árabes.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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