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Posts Tagged ‘Arquitas de Tarento’

De los matemáticos de la antigüedad griega, Arquímedes debe ser considerado el más grande. Sus contribuciones a la geometría y a la mecánica, así como a la hidrostática, lo colocan en un pedestal más alto que sus contemporáneos. Y como sus obras fueron gradualmente traducidas e introducidas en Occidente, ejerció una influencia tan grande allí como su pensamiento ya lo había hecho en Bizancio y Arabia. En su método de agotamiento puede verse un predecesor clásico del cálculo integral, que sería desarrollado formalmente por Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton y otros en el siglo XVII. Sólo su historia de vida ha inspirado a muchos matemáticos.

Como con muchas personas antiguas, los detalles exactos de la vida de Arquímedes son difíciles de determinar, ya que hay varios relatos de calidad variable. Su padre era el astrónomo Fidias, y es posible que Arquímedes fuera pariente del tirano de Siracusa, el rey Hierón II. Ciertamente él era íntimo del rey, pues su trabajo El Contador de Arena fue dedicado a Gelón, hijo de Hierón. Nacido en Siracusa, Arquímedes partió a Alejandría para seguir una educación matemática; allí estudió con Euclides de Alejandría y asistió al desarrollo de la matemática euclidiana. Pero fue en Siracusa, a donde pronto volvió, donde hizo la mayor parte de sus descubrimientos.

Aunque famoso por sus contribuciones a la matemática, Arquímedes también diseñó numerosas invenciones mecánicas. El caracol de agua, inventado en Egipto para ayudar al riego, era un artefacto tipo tornillo usado para levantar agua. Más impresionantes son las historias relacionadas con su construcción y aplicación de la polea compuesta: Hierón había solicitado a Arquímedes que demostrara cómo una pequeña fuerza podía mover un gran peso. El matemático ató una cuerda a un gran buque mercante que estaba cargado de carga y pasajeros, y pasó la cuerda por un sistema de poleas. De esta manera, sentado a cierta distancia del buque, Arquímedes pudo arrastrar sin esfuerzo el barco a la orilla del puerto.

Arquímedes también descubrió la utilidad de la palanca, al observar que cuanto más larga es la distancia desde el fulcro, más peso podía mover la palanca. Extendiendo lógicamente este principio, afirmó que era factible mover el mundo dada una palanca suficientemente larga. Otra historia popular relata que Hierón le dio a Arquímedes la tarea de averiguar si una cierta corona estaba hecha de oro puro, o si se había adulterado fraudulentamente con plata. Cuando Arquímedes reflexionó sobre este rompecabezas se encontraba en pleno baño y notó que la cantidad de agua desplazada era igual a la cantidad de su cuerpo que estaba sumergida. Esto inmediatamente le disparó un método para resolver el problema de Hierón, y saltó de la bañera con alegría, corriendo desnudo hacia su casa, gritando “Eureka”. 

Su habilidad en objetos mecánicos fue inigualable, y Hierón aprovechó a menudo esto para mejorar las defensas de la ciudad, insistiendo en que el intelecto de Arquímedes debía ser puesto al servicio de alguna aplicación práctica. Cuando Marcelo y los romanos llegaron a atacar Siracusa, encontraron la ciudad inexpugnable debido a la multiplicidad de catapultas, brazos mecánicos, espejos ardientes y varios dispositivos balísticos que Arquímedes había construido. Arquímedes escribió un libro titulado On Spheremaking en el que describe cómo construir un modelo planetario diseñado para simular el movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Parece que Arquímedes estaba familiarizado con el heliocentrismo de Arquitas, y lo utilizó en su planetario.

Según Plutarco, Arquímedes se dedicó a la teoría pura y desdeñaba las aplicaciones prácticas de la matemática a la ingeniería; sólo aquellos sujetos libres de cualquier utilidad para la sociedad eran considerados dignos de perseguir de todo corazón. Las obras matemáticas de Arquímedes consisten principalmente en estudios de área y volumen, y el análisis geométrico de la estática y la hidrostática. Al calcular el área o el volumen de varias figuras planas y sólidas, utiliza el llamado Lema de Arquímedes y el “método de agotamiento”. Este lema afirma que la diferencia de dos magnitudes desiguales puede ser formada en una proporción con cualquier magnitud semejante; así, la diferencia de dos líneas será siempre una línea y no un punto. El método de agotamiento consiste en sustraer indefinidamente una cantidad mayor que la mitad de una magnitud dada, y apunta a la idea de la eterna divisibilidad del continuo (que siempre se puede quitar la mitad de un número y todavía queda algo). Estas ideas se limitan a las nociones de lo infinitesimal -lo infinitamente pequeño- y a la idea de límite, que son ingredientes clave del cálculo integral; sin embargo, los griegos eran adversos a la noción de infinito e infinitesimales, y Arquímedes se apartaba de hacer cualquier cosa que él sentía sería considerado como absurdo.

El método de agotamiento, que se usó raramente en los Elementos de Euclides, se ilustrará a través del siguiente ejemplo: En Sobre la medida de un círculo, Arquímedes asume, en aras de la contradicción, que el área de un triángulo rectángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio del círculo es realmente mayor que el área del círculo. Entonces él puede, usando el lema de Arquímedes, inscribir un polígono en el círculo, con la misma área que el triángulo; esta contradicción muestra que el área del triángulo no puede ser mayor que el círculo, y hace un argumento similar de que no puede ser menor.

El concepto básico del método de aproximación, que es similar al método de agotamiento, consiste en inscribir figuras regulares dentro de una figura plana y sólida tal que el área o el volumen restante se reduce constantemente; el área o el volumen de las figuras regulares se pueden calcular fácilmente, y ésta será una aproximación cada vez más exacta. El área o volumen restante está “agotado”. Por supuesto, la manera moderna de obtener una determinación exacta de la medida es a través del límite; Arquímedes evitó esta cuestión al demostrar que el área o el volumen restante podría hacerse tan pequeño como se deseara inscribiendo figuras más regulares. Por supuesto, uno podría realizar el mismo procedimiento circunscribiendo figuras regulares.

También aplicó estos métodos a los sólidos, calculando la superficie y el volumen de la esfera, y el volumen de conos y pirámides. Los métodos de Arquímedes eran a veces puramente geométricos, pero a veces usaban principios de estática, como un “método de equilibrio”. Su conocimiento de la ley de la palanca y el centro de gravedad del triángulo, junto con sus métodos de aproximación y agotamiento le permitieron mejorar demostraciones de teoremas conocidos, así como establecer resultados completamente nuevos.

Arquímedes también hizo algunas contribuciones en el ámbito del  cálculo numérico, produciendo algunas aproximaciones muy precisas para el número pi y para la raíz cuadrada de tres. En El contador de Arena crea una notación para números muy grandes y estima el número de granos de arena para llenar el universo. En Sobre el equilibrio de los planos prueba la ley de la palanca a partir de principios geométricos, y en Sobre los cuerpos flotantes  explica el concepto de presión hidrostática. El llamado Principio de Arquímedes establece que sólidos colocados en un fluido serán más ligeros en el fluido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.

Su influencia en la matemática posterior fue extensa, aunque Arquímedes pudo no haber gozado de mucha fama en su propia vida. Griegos posteriores, entre ellos Pappus de Alejandría y Teón de Alejandría, escribieron comentarios sobre sus escritos, y más tarde los autores bizantinos estudiaron su obra. Desde Bizancio sus textos llegaron a Occidente antes del comienzo del Renacimiento; mientras tanto, los matemáticos árabes conocían a Arquímedes y explotaron sus métodos en sus propias investigaciones sobre  secciones cónicas. En el siglo XII aparecieron traducciones del árabe al latín, de las que Leonardo de Pisa (Fibonacci) hizo uso en el siglo XIII. En los años 1400, el conocimiento de Arquímedes se había expandido por partes de Europa, y su matemática influyó más tarde en Simon Stevin, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Bonaventura Cavalieri.

Tal vez la historia más conocida acerca de Arquímedes es la que relata su muerte, que se produjo en el año 212 a.C. durante el asedio de Siracusa por los romanos. Al parecer, no estaba preocupado por la situación cívica, y estaba ocupado haciendo diagramas en la arena de su casa (en ese momento tenía al menos 75 años de edad). Aunque el general romano Marcelo había dado órdenes estrictas para que el famoso matemático siciliano no fuera perjudicado, un soldado romano irrumpió en la casa de Arquímedes y arruinó su diagrama. Cuando el anciano matemático expresó verbalmente su disgusto, el soldado lo mató rápidamente.

Arquímedes fue un destacado matemático y científico. De hecho, es considerado por muchos como uno de los tres mejores matemáticos de todos los tiempos, junto con Carl Friedrich Gauss y Newton. Una vez descubierto por los europeos medievales, sus obras propulsaron el descubrimiento del cálculo. Es interesante que este profundo intelecto fuera remoto en tiempo y espacio al de los grandes matemáticos griegos clásicos; Arquímedes trabajó en la isla de Siracusa, lejos de Atenas, fuente de mucho pensamiento griego, y trabajó siglos después del declive de la cultura griega.

 

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Y… para los más chicos…

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Aunque Euclides resuelve más de 100 problemas de construcción en los Elementos, muchos más fueron planteados cuyas soluciones requerían más que un simple compás y una regla. Tres de estos problemas estimularon mucho interés entre los geómetras posteriores a tal punto que llegaron  a ser conocidos como los “problemas clásicos”:

  • la duplicación del cubo (es decir, la construcción de un cubo cuyo volumen es el doble que el de un cubo dado),
  • la trisección del ángulo y
  • la cuadratura el círculo.

Incluso en el período pre-euclidiano había comenzado el esfuerzo para construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. Algunos resultados relacionados procedían de Hipócrates. Otros fueron reportados por Antífona y Bryson, y el teorema de Euclides sobre el círculo en los Elementos, Libro XII, Proposición 2, que establece que los círculos están en la razón de los cuadrados de sus diámetros, fue importante para esta búsqueda. Pero las primeras construcciones reales (no, debe señalarse, por medio de las herramientas euclidianas, pues esto es imposible) llegaron sólo en el siglo III a.C. La historia temprana de la trisección del ángulo es oscura. Presumiblemente se intentó en el período pre-euclidiano, aunque sólo se conocieron soluciones a partir del siglo III o después.

Sin embargo, hay varios esfuerzos exitosos en la duplicación del cubo que datan del periodo pre-euclidiano. Hipócrates demostró que el problema podía reducirse al de encontrar dos medias proporcionales: si para una línea dada a se necesita encontrar un x tal que x^{3}=2a^{3}, se pueden buscar líneas xy de manera que

a:x=x:y=y:2a

pues entonces

a^{3}/x^{3}=(a/x)^{3}=(a/x)(x/y)(y/2a)=a/2a=1/2

(Tenga en cuenta que el mismo argumento es válido para cualquier multiplicador, no sólo para el número 2.) Por lo tanto, el cubo se puede duplicar si es posible encontrar las dos medias proporcionales x e y entre los dos rectas dadas a y 2a. Construcciones del problema de las dos medias fueron propuestos por Arquitas, Eudoxo y Menecmo en el siglo IV a.C. Menecmo, por ejemplo, construyó tres curvas correspondientes a estas mismas proporciones: x^{2}=ay, y^{2}=2ax y xy=2a^{2}. La intersección de dos de ellas produce entonces la recta x que resuelve el problema. Las curvas de Menecmo son secciones cónicas: las dos primeras son parábolas, la tercera una hipérbola. Por lo tanto, a menudo se afirma que Menecmo originó el estudio de las secciones cónicas. De hecho, Proclo y su autoridad mayor, Geminus (mediados del siglo I d.C.), parecen haber sostenido esta opinión. Sin embargo la evidencia no indica cómo Menecmo concibió en realidad las curvas, por lo que es posible que el estudio formal de las secciones cónicas como tales no comenzara hasta más tarde, cerca de la época de Euclides. Tanto Euclides como su viejo contemporáneo, Aristeo, compusieron tratamientos (ahora perdidos) de la teoría de las secciones cónicas.

En la búsqueda de las soluciones de problemas, los geómetras desarrollaron una técnica especial, a la que llamaron “análisis”. Suponían que el problema había sido resuelto y, a continuación, mediante la investigación de las propiedades de esta solución, trabajaban hacia atrás para encontrar un problema equivalente que pudiera resolverse sobre la base de lo dado. Para obtener la solución formalmente correcta del problema original, los  geómetras entonces invertían el procedimiento: primero utilizaban los datos para resolver el problema equivalente derivado en el análisis y, a partir de la solución obtenida, resolvían entonces el problema original. En contraste con el análisis, este procedimiento inverso se llamaba “síntesis”.

La duplicación del cubo de Menecmo es un ejemplo de análisis: asumió las medias proporcionales x e y y luego descubrió que es equivalente al resultado de intersectar las tres curvas cuya construcción podía tomar como conocida. (La síntesis consiste en introducir las curvas, encontrar su intersección y demostrar que esto resuelve el problema.) Es evidente que los geómetras del siglo IV a.C. estaban bien familiarizados con este método, pero Euclides proporciona sólo la síntesis, nunca el análisis, de los problemas resueltos en los Elementos. Ciertamente, en los casos de construcciones más complicadas, sin embargo, no cabe duda de que algún tipo de análisis precedió a la síntesis que se presenta en los Elementos.

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La principal fuente para la reconstrucción de la matemática pre-euclidiana es la obra Elementos de Euclides, pues la mayor parte de su contenido se remonta a la investigación desde el siglo IV a.C. y en algunos casos a incluso antes. Los primeros cuatro libros presentan construcciones y pruebas de figuras geométricas planas: el  Libro I trata acerca de la congruencia de triángulos, las propiedades de las líneas paralelas y las relaciones de área de triángulos y paralelogramos. El Libro II establece desigualdades relacionadas con cuadrados, rectángulos y triángulos. El Libro III cubre las propiedades básicas de los círculos, y el Libro IV establece las construcciones de polígonos en círculos. Gran parte del contenido de los Libros I-III era ya familiar para Hipócrates, y el material del libro IV se puede asociar con los pitagóricos, por lo que esta parte de los Elementos tiene sus raíces en la investigación del siglo V. Se sabe, sin embargo, que las cuestiones sobre las paralelas se debatieron en la escuela de Aristóteles (aprox. 350 a.C.), y por lo tanto se puede suponer que esfuerzos para demostrar resultados, tales como el teorema que indica que para cualquier línea dada y cualquier punto dado siempre existe una única  línea a través de ese punto y paralela a la línea, se intentaron sin éxito. Por lo tanto, la decisión de fundar la teoría de las paralelas sobre  un postulado, como en el Libro I de los Elementos, debe haber sido un desarrollo relativamente reciente en la época de Euclides. (El postulado más tarde se convertiría en tema de mucho estudio, y en los tiempos modernos condujo al descubrimiento de las llamadas geometrías no euclidianas.)

El Libro V contiene la teoría general de la proporción, es decir, una teoría que no requiere ningún tipo de restricción a magnitudes conmensurables. Esta teoría general se deriva de Eudoxo. Sobre la base de esta teoría, el Libro VI describe las propiedades de figuras planas rectilíneas semejantes y por tanto generaliza la teoría de la congruencia del Libro I. Parece que la técnica de figuras semejantes ya era conocida en el siglo V a.C., a pesar de que una justificación plenamente válida no podría haber sido dada antes de que Eudoxo elaborara  su teoría de la proporción.

Los Libros VII-IX tratan lo que los griegos llamaron “aritmética”, la teoría de los números enteros. Incluyen las propiedades de las proporciones numéricas, máximo común divisor, mínimo común múltiplo y primos relativos (Libro VII); proposiciones sobre progresiones numéricas y números cuadrados y cúbicos (Libro VIII); y resultados especiales, como la factorización única en primos, la existencia de un número ilimitado de números primos y la formación de “números perfectos”, es decir, aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (Libro IX). En cierta forma el Libro VII se deriva de Teeteto y el Libro VIII de Arquitas.

El Libro X presenta una teoría de líneas irracionales y  se deriva de la obra de Teeteto y Eudoxo. Los libros restantes tratan la geometría de los sólidos. El Libro XI establece resultados sobre figuras sólidas análogos a los de las planas en los Libros I y VI. El Libro XII demuestra teoremas sobre las razones de círculos, las razones de esferas, y los volúmenes de pirámides y conos. El Libro XIII muestra cómo inscribir los cinco sólidos regulares, conocidos como sólidos platónicos, en una esfera dada (comparable a las construcciones de figuras planas en el Libro IV). La medición de figuras curvas en el Libro XII se infiere a partir de figuras rectilíneas. Para una figura curva particular, es considerada una secuencia de figuras rectilíneas en las que sucesivas figuras en la secuencia se acercan cada vez más continuamente a la figura curva -el método particular utilizado por Euclides se  deriva de Eudoxo. Las construcciones sólidas en el Libro XIII provienen de Teeteto.

En suma los Elementos reunían todo el campo de la geometría y la aritmética elemental que se había desarrollado dos siglos antes de Euclides. Sin duda, Euclides debe ser acreditado con aspectos particulares de este trabajo, y sin duda con su edición como un todo integral. Pero no es posible identificar con certeza uno solo de sus resultados como si hubiera sido su propio descubrimiento. Otros campos más avanzados, aunque no han sido abordados en los Elementos, ya estaban siendo estudiados vigorosamente en los tiempos de Euclides, en algunos casos por el propio Euclides. Para estos campos su libro de texto, fiel a su nombre, proporciona una adecuada introducción “elemental”.

Un tal campo es el estudio de las construcciones geométricas. Euclides, al igual que los geómetras de la generación anterior a él, dividió las proposiciones matemáticas en dos tipos: “teoremas” y “problemas”. Un teorema hace la afirmación de que todos los términos de una cierta descripción tienen una propiedad especificada; un problema busca la construcción de un término que tenga una propiedad especificada. En los Elementos todos los problemas son construibles sobre la base de tres postulados establecidos: que una línea puede ser construida uniendo dos puntos dados, que un segmento de línea dado puede extenderse en una línea de forma indefinida, y que un círculo puede ser construido con un punto dado como centro y un segmento de recta dado como radio. Estos postulados en efecto restringen las construcciones al uso de las denominadas herramientas euclidianas, es decir, un compás y una regla sin marcas.

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