Feeds:
Entradas
Comentarios

Posts Tagged ‘Arquitas de Tarento’

La principal fuente para la reconstrucción de la matemática pre-euclidiana es la obra Elementos de Euclides, pues la mayor parte de su contenido se remonta a la investigación desde el siglo IV a.C. y en algunos casos a incluso antes. Los primeros cuatro libros presentan construcciones y pruebas de figuras geométricas planas: el  Libro I trata acerca de la congruencia de triángulos, las propiedades de las líneas paralelas y las relaciones de área de triángulos y paralelogramos. El Libro II establece desigualdades relacionadas con cuadrados, rectángulos y triángulos. El Libro III cubre las propiedades básicas de los círculos, y el Libro IV establece las construcciones de polígonos en círculos. Gran parte del contenido de los Libros I-III era ya familiar para Hipócrates, y el material del libro IV se puede asociar con los pitagóricos, por lo que esta parte de los Elementos tiene sus raíces en la investigación del siglo V. Se sabe, sin embargo, que las cuestiones sobre las paralelas se debatieron en la escuela de Aristóteles (aprox. 350 a.C.), y por lo tanto se puede suponer que esfuerzos para demostrar resultados, tales como el teorema que indica que para cualquier línea dada y cualquier punto dado siempre existe una única  línea a través de ese punto y paralela a la línea, se intentaron sin éxito. Por lo tanto, la decisión de fundar la teoría de las paralelas sobre  un postulado, como en el Libro I de los Elementos, debe haber sido un desarrollo relativamente reciente en la época de Euclides. (El postulado más tarde se convertiría en tema de mucho estudio, y en los tiempos modernos condujo al descubrimiento de las llamadas geometrías no euclidianas.)

El Libro V contiene la teoría general de la proporción, es decir, una teoría que no requiere ningún tipo de restricción a magnitudes conmensurables. Esta teoría general se deriva de Eudoxo. Sobre la base de esta teoría, el Libro VI describe las propiedades de figuras planas rectilíneas semejantes y por tanto generaliza la teoría de la congruencia del Libro I. Parece que la técnica de figuras semejantes ya era conocida en el siglo V a.C., a pesar de que una justificación plenamente válida no podría haber sido dada antes de que Eudoxo elaborara  su teoría de la proporción.

Los Libros VII-IX tratan lo que los griegos llamaron “aritmética”, la teoría de los números enteros. Incluyen las propiedades de las proporciones numéricas, máximo común divisor, mínimo común múltiplo y primos relativos (Libro VII); proposiciones sobre progresiones numéricas y números cuadrados y cúbicos (Libro VIII); y resultados especiales, como la factorización única en primos, la existencia de un número ilimitado de números primos y la formación de “números perfectos”, es decir, aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (Libro IX). En cierta forma el Libro VII se deriva de Teeteto y el Libro VIII de Arquitas.

El Libro X presenta una teoría de líneas irracionales y  se deriva de la obra de Teeteto y Eudoxo. Los libros restantes tratan la geometría de los sólidos. El Libro XI establece resultados sobre figuras sólidas análogos a los de las planas en los Libros I y VI. El Libro XII demuestra teoremas sobre las razones de círculos, las razones de esferas, y los volúmenes de pirámides y conos. El Libro XIII muestra cómo inscribir los cinco sólidos regulares, conocidos como sólidos platónicos, en una esfera dada (comparable a las construcciones de figuras planas en el Libro IV). La medición de figuras curvas en el Libro XII se infiere a partir de figuras rectilíneas. Para una figura curva particular, es considerada una secuencia de figuras rectilíneas en las que sucesivas figuras en la secuencia se acercan cada vez más continuamente a la figura curva -el método particular utilizado por Euclides se  deriva de Eudoxo. Las construcciones sólidas en el Libro XIII provienen de Teeteto.

En suma los Elementos reunían todo el campo de la geometría y la aritmética elemental que se había desarrollado dos siglos antes de Euclides. Sin duda, Euclides debe ser acreditado con aspectos particulares de este trabajo, y sin duda con su edición como un todo integral. Pero no es posible identificar con certeza uno solo de sus resultados como si hubiera sido su propio descubrimiento. Otros campos más avanzados, aunque no han sido abordados en los Elementos, ya estaban siendo estudiados vigorosamente en los tiempos de Euclides, en algunos casos por el propio Euclides. Para estos campos su libro de texto, fiel a su nombre, proporciona una adecuada introducción “elemental”.

Un tal campo es el estudio de las construcciones geométricas. Euclides, al igual que los geómetras de la generación anterior a él, dividió las proposiciones matemáticas en dos tipos: “teoremas” y “problemas”. Un teorema hace la afirmación de que todos los términos de una cierta descripción tienen una propiedad especificada; un problema busca la construcción de un término que tenga una propiedad especificada. En los Elementos todos los problemas son construibles sobre la base de tres postulados establecidos: que una línea puede ser construida uniendo dos puntos dados, que un segmento de línea dado puede extenderse en una línea de forma indefinida, y que un círculo puede ser construido con un punto dado como centro y un segmento de recta dado como radio. Estos postulados en efecto restringen las construcciones al uso de las denominadas herramientas euclidianas, es decir, un compás y una regla sin marcas.

Anuncios

Read Full Post »

Cuando la matemática apareció en Grecia, la disciplina pasó de ser un esfuerzo colectivo a una actividad realizada por personas cuyos nombres son conocidos en a historia. Entre los más grandes matemáticos griegos podemos mencionar a Euclides, Arquímedes y Apolonio.

No fue hasta los griegos que la matemática “pura” surgió. Hoy en día se sabe que algunas ramas de la matemática pueden no tener ninguna aplicación práctica inmediata, sino que son estudiadas sólo por el placer intelectual que le dan a sus practicantes. Ello debemos agradecérselo a los matemáticos de la antigua Grecia.

Período pre-helénico

Los griegos dividieron el campo de la matemática en artimética (el estudio de la “multitud”, o cantidad discreta) y geometría (el estudio de la “magnitud”, o la cantidad continua) y consideraron que ambas se originaron en actividades prácticas. Proclo, en su Comentario sobre Euclides, observó que la geometría, literalmente “la medición de la tierra”, surgió primero en las prácticas de medición entre los antiguos egipcios, pues la inundación del Nilo les obligaba cada año a redefinir los límites de sus propiedades. Del mismo modo, la aritmética se inició con el comercio y el intercambio de los comerciantes fenicios. Aunque Proclo escribió bastante tarde en el período antiguo (en el siglo V d.C.), su relato se basó en relatos de predecesores -de Herodoto (mediados de siglo V a.C.), por ejemplo, y de Eudemo, discípulo de Aristóteles (finales del siglo IV a.C.).

Aunque posible, este punto de vista es difícil de comprobar, pues sólo hay escasa evidencia de las prácticas matemáticas  de la época griega temprana (más o menos, del siglo VII al IV a.C.). Inscripciones en piedra revelan, por ejemplo, el uso de un sistema de numeración en principio del mismo tipo que el de los familiares números romanos. Herodoto parece haber tenido conocimiento del uso del ábaco por parte de griegos y egipcios como ayuda para el cálculo, y alrededor de una docena de muestras de piedra de ábacos griegos sobreviven que datan de los siglos V a IV a.C. En el levantamiento de las nuevas ciudades en las colonias griegas de los siglos VI y V se evidencia un uso regular de una longitud estándar de 70 pletros (un pletro equivale a 100 pies, es decir, aproximadamente 30,48 metros) como diagonal de un cuadrado de lado 50 pletros. De hecho, la diagonal real del cuadrado es 50√2 pletros, así que esto era equivalente a usar 7/5 (o 1,4) como una estimación para √2, que ahora se conoce igual a 1,414…. En el siglo VI a.C. el ingeniero Eupalinus de Megara dirige un acueducto a través de una montaña en la isla de Samos, y los historiadores aún debaten cómo lo hizo. En un indicio más de los aspectos prácticos de las matemáticas griegas tempranas, Platón describe en sus Leyes cómo los egipcios interesaron a sus hijos en los problemas prácticos de la aritmética y la geometría. Estaba claro que consideraba a este como un modelo a imitar por los griegos.

Tales indicios acerca de la naturaleza de las primeras prácticas matemáticas griegas se confirman en fuentes posteriores, por ejemplo, en los problemas aritméticos de los textos en los papiros del Egipto Ptolemaico (del siglo III a.C. en adelante) y en los manuales geométricos de Herón de Alejandría (siglo I d.C.) . En su forma básica, esta tradición griega era muy parecida a las tradiciones anteriores en Egipto y Mesopotamia. De hecho, es probable que los griegos utilizaran en cierto punto tales fuentes más antiguas.

Lo distintivo de la contribución de los griegos a la matemática,y lo que en efecto les hizo ser considerados los creadores de la “matemática” en la forma en que el término se entiende en general, fue su desarrollo como disciplina teórica. Esto significa dos cosas:

  • los enunciados matemáticos son generales, y
  • ellos son confirmados mediante demostraciones.

Por ejemplo, los mesopotámicos tenían procedimientos para la búsqueda de números enteros a, b, c para los que a^{2}+b^{2}=c^{2} (por ejemplo, 3, 4, 5; 5, 12, 13; 119, 120, 169). Pero los griegos lograron una prueba de una regla general para encontrar todos estos conjuntos de números (que ahora se llaman ternas pitagóricas): si se toman números enteros cualesquiera $latex p$ y q, siendo ambos pares o impares, entonces a=(p^{2}-q^{2})/2, b=pq, c=(p^{2}+q^{2})/2. Como Euclides demuestra en el Libro X de los Elementos, los números de esta forma satisfacen la relación de ternas pitagóricas. Además, los mesopotámicos parecen haber entendido que tales números a, b, c forman los lados de un triángulo rectángulo, pero los griegos demostraron este resultado (Euclides, de hecho, así lo demuestra en dos ocasiones: en los Elementos, Libro I, proposición 47 , y en una forma más general en los Elementos, Libro VI, proposición 31), y estas pruebas se producen en el contexto de una presentación sistemática de las propiedades de las figuras geométricas planas.

Los Elementos, compuesto por Euclides de Alejandría alrededor del año 300 a.C., fue la contribución fundamental de la geometría teórica, pero la transición de la matemática práctica a la matemática teórica se había producido mucho antes, en algún momento del siglo V a.C. Iniciada por hombres como Pitágoras de Samos (finales del siglo VI) e Hipócrates de Quíos (finales del siglo V), la forma teórica de la geometría siguió avanzando de la mano de figuras de la talla los pitagóricos Arquitas de Tarento, Teeteto de Atenas y Eudoxo de Cnido (siglo IV). Debido a que los escritos reales de estos hombres no han sobrevivido, el conocimiento acerca de su trabajo depende de las observaciones hechas por escritores posteriores.

Por lo tanto, es una cuestión de debate cómo y por qué se llevó a cabo esta transición teórica. Un factor frecuentemente citado es el descubrimiento de los números irracionales. Los primeros pitagóricos sostenían que “todo es número”. Esto podría entenderse en el sentido de que cualquier medida geométrica se puede asociar a un número (a saber, un número entero o fracción, en la terminología moderna un número racional); en el uso griego el término de número, arithmos, se refiere exclusivamente a números enteros o, en algunos contextos, a fracciones ordinarias. Este supuesto es bastante común en la práctica, como cuando la longitud de una línea dada se dice que es por tantos centímetros de otra. Sin embargo, se rompe para las líneas que forman el lado y la diagonal del cuadrado. (Por ejemplo, si se supone que la relación entre el lado y la diagonal se puede expresar como la razón de dos números enteros, se puede demostrar que ambos números deben ser pares. Esto es imposible, ya que cada fracción se puede expresar como un cociente de dos números enteros que no tienen factores comunes.) Geométricamente, esto significa que no existe una longitud que pueda servir como unidad de medida tanto del lado como de la diagonal. Es decir, el lado y la diagonal no pueden cada uno ser igual a la misma longitud multiplicada por (diferentes) números enteros. En consecuencia, los griegos llamaban a tales pares de longitudes “inconmensurables”.

Este resultado ya era bien conocido en la época de Platón y puede muy bien haber sido descubierto dentro de la escuela de Pitágoras en el siglo V a.C., como más tarde sostiene Pappus de Alejandría (siglo IV d.C.). En cualquier caso, en el año 400 a.C. se sabía que las líneas correspondientes a √3, √5 y otras raíces cuadradas son inconmensurables con una unidad de longitud fija. El resultado más general, el equivalente geométrico del teorema de que \sqrt{p} es irracional cuando p no es un número cuadrado racional está asociado con unamigo de Platón, Teeteto. Tanto Teeteto como Eudoxo contribuyeron a la continuación del estudio de los irracionales, y sus seguidores recolectaron los resultados en una teoría sustancial, como está representado en las 115 proposiciones del Libro X de los Elementos.

El descubrimiento de los irracionales debe haber afectado a la naturaleza misma de la investigación matemática temprana, ya que dejó claro que la aritmética era insuficiente para la geometría, a pesar de las suposiciones hechas en el trabajo práctico. Además, una vez que supuestos aparentemente obvios como la conmensurabilidad de todas las líneas resultó ser falsa, aparecieron sospechas que generaron todo tipo de supuestos matemáticos. Al menos se hizo necesario justificar cuidadosamente todas las afirmaciones hechas sobre matemática. Aún más, básicamente se hizo necesario establecer cómo debe ser un razonamiento para calificar como demostración. Al parecer Hipócrates de Quíos, en el siglo V a.C., y pronto otros después de él, ya habían empezado el trabajo de la organización de los resultados geométricos de una forma sistemática en libros de texto llamados “elementos” (que significa “Resultados fundamentales” de la geometría). Estos sirvieron un siglo más tarde de fuentes a Euclides en su exhaustivo libro de texto.

Los primeros matemáticos no eran un grupo aislado sino parte de un ambiente intelectual más grande e intensamente competitivo de pensadores presocráticos en Jonia e Italia, así como sofistas en Atenas. Al insistir en que sólo las cosas permanentes podían tener existencia real, el filósofo Parménides (siglo V a.C.) puso en duda las afirmaciones más básicas sobre el conocimiento mismo. En contraste, Heráclito (c. 500 a.C.) sostenía que toda la permanencia es una ilusión, ya que las cosas que son percibidas surgen a través de un sutil equilibrio de tensiones opuestas. De este modo lo que se entiende por “conocimiento” y “prueba” entró en debate.

Los problemas matemáticos a menudo conducen a estos debates. Para algunos, como los pitagóricos (y, más tarde, Platón), la certeza de la matemática se llevaba a cabo como un modelo para el razonamiento en otras áreas, como la política y la ética. Pero para otros matemáticas parecía propensa a la contradicción. Zenón de Elea (siglo V a.C.) planteó paradojas sobre la cantidad y el movimiento. En una de tales paradoja supone que una línea puede ser dividida una y otra vez en dos partes sin límite. Si la división en última instancia se traduce en un conjunto de puntos de longitud cero, entonces incluso infinitamente muchos de ellos se resumen sólo a cero, pero si resulta en pequeños segmentos de línea, entonces su suma será infinita. En efecto, la longitud de la línea dada debe ser tanto cero como infinito. En el siglo V a.C. Demócrito y los atomistas, filósofos que sostenían que todos los cuerpos materiales están en última instancia compuestos de diminutos e invisibles “átomos” (la palabra griega atomon significa “indivisible”) intentaron una solución para este tipo de paradojas. Pero en la geometría tal punto de vista entró en conflicto con la existencia de líneas inconmensurables, ya que los átomos se convertirían en las unidades de medida de todas las líneas, incluso las inconmensurables. Demócrito y el sofista Protágoras estaban confundidos sobre si la tangente a un círculo y éste se encontraban en un punto o en una línea. Los sofistas Antífona y Bryson (ambos del siglo V a.C.) consideraron cómo comparar el círculo con polígonos inscritos en él.

Por lo tanto los presocráticos  detectaron algunas dificultades en supuestos concretos sobre lo infinito y lo infinitamente pequeño y sobre la relación de la geometría con la realidad física, así como en concepciones más generales como la “existencia” y la “demostración”. Cuestiones filosóficas como estas no necesariamente han afectado las investigaciones técnicas de los matemáticos, pero sí han hecho que sean conscientes de dificultades que podrían guardar relación con cuestiones fundamentales y así ellos tuvieron que brindar las más cautelosas definiciones de sus objetos.

Cualquier revisión de los posibles efectos de factores como estos es una mera conjetura, ya que las fuentes son fragmentarias y nunca explicitan cómo los matemáticos respondieron a las cuestiones que se plantearon. Pero es la especial preocupación por los supuestos fundamentales y por las demostraciones lo que distingue a la matemática griega de tradiciones anteriores.

Read Full Post »

« Newer Posts