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Posts Tagged ‘Arthur Cayley’

Un cambio de paradigma importante en la intuición geométrica tuvo lugar en el siglo XIX, cuando Carl Friedrich Gauss, János Bolyai y Lobachevsky desarrollaron, independientemente, geometrías alternativas al espacio plano. Lobachevsky fue el primero en publicar este descubrimiento. Sus generalizaciones de la noción intuitiva de espacio han demostrado ser extremadamente relevantes dentro de la matemática (allanando el camino para la definición abstracta y el estudio de la geometría) y la física, a través del modelado del efecto de la gravedad en la forma del universo. 

Nikolai Lobachevsky nació el 2 de diciembre de 1792 en Gorki, Rusia. Su padre, Ivan Maksimovich, era empleado administrativo, y su madre se llamaba Praskovia Aleksandrovna Lobachevskaya. En 1800, la madre de Lobachevsky se trasladó, junto con Lobachevsky y sus dos hermanos, a Kazan. Allí los tres chicos se inscribieron en el Gymnasium con becas. En 1807 Lobachevsky ingresó a la Universidad de Kazan, donde estudió matemática y física, obteniendo su maestría en 1812. 

En 1814 Lobachevsky dio una conferencia sobre matemática y mecánica como adjunto y se convirtió en profesor el mismo año; fue promovido en 1822 y ocupó diversos cargos en la Universidad de Kazan, incluido el de decano del departamento de física y matemática, bibliotecario de la universidad, rector y asistente del fideicomisario del distrito de Kazan. Su primer trabajo importante, escrito en 1823, se llamó Geometriya (Geometría), y sus estudios geométricos básicos lo condujeron a sus investigaciones posteriores sobre geometría no euclidiana. Informó de sus primeros descubrimientos en 1826 y publicó estas ideas en 1829–1830. 

Lobachevsky intentó inicialmente probar el quinto postulado de Euclides de Alejandría, como muchos antes que él (incluyendo Claudio Ptolomeo, Thabit ibn Qurra, Abu Ali al-Haytham, Adrien-Marie Legendre y John Wallis) lo habían intentado y fracasado. Pronto recurrió a la construcción de una geometría más general que no requería el quinto postulado, que establece que dada una recta y un punto fuera de ella, existe una única recta a través del punto que es paralela a la recta dada. La geometría resultante, que Lobachevsky denominó “geometría imaginaria”, permitió la construcción de múltiples rectas paralelas distintas a través del punto dado. Desde aquí pudo deducir varias propiedades interesantes: la más importante es que la geometría era consistente(no había contradicción en sus reglas, por más que fueran intuitivas sus características). Curiosamente, la suma de los ángulos en un triángulo es menor que 180 grados; posteriormente, Lobachevsky intentó deducir la geometría del universo midiendo los ángulos de un vasto triángulo cósmico atravesado por estrellas distantes. Concluyó que, dentro de los márgenes del error de medición, los ángulos sumaban 180 grados y, por lo tanto, el universo es euclidiano. 

Lobachevsky produjo varios artículos más sobre este tema; dio tanto una definición axiomática como una constructiva de su “pangeometría”, que más tarde se conocería como geometría hiperbólica. Sus ideas no fueron aceptadas inicialmente en el extranjero, aunque fue promovido en Kazán y convertido en noble en 1837. Se casó en 1832 con una adinerada aristócrata, Lady Varvara Aleksivna Moisieva, y tuvieron siete hijos. 

Además de su importante trabajo geométrico, Lobachevsky contribuyó en álgebra, series infinitas y teoría de la integración. Sin embargo, este trabajo estaba condimentado por sus ideas geométricas y se relacionaba con su “geometría imaginaria”. Gauss apreció los esfuerzos de Lobachevsky, que eran similares a su propio trabajo sobre geometría no euclidiana, y ayudó a su elección a la Academia de Ciencias de Göttingen después de 1842. 

Lobachevsky, a pesar de su matrimonio ventajoso, experimentó dificultades financieras en sus últimos años, debido al costo de su familia numerosa y al mantenimiento de su patrimonio. Sus ojos se deterioraron con la edad hasta que quedó totalmente ciego. Murió el 24 de febrero de 1856, en Kazán. 

El reconocimiento del trabajo pionero de Lobachevsky llegó lentamente. Muchos matemáticos, como Arthur Cayley, no pudieron comprender su significado y lo denigraron. En la década de 1860, las obras de Bolyai y Lobachevsky ganaron cada vez más renombre entre los franceses, y Eugenio Beltrami más tarde dio una construcción de la geometría lobachevskiana en un círculo cerrado del plano. Después de 1870 Karl Weierstrass y Felix Klein se interesaron por el trabajo de Lobachevsky, y Klein finalmente formuló las diversas geometrías (elíptica, plana e hiperbólica) en términos de invariantes de transformaciones de grupo. Posteriormente se demostró que la geometría lobachevskiana era un caso especial de las geometrías de Cayley. Henri Poincaré, junto con Klein, se basó en las ideas de Bernhard Riemann y Lobachevsky. En el siglo XX se demostró que la geometría no euclidiana era relevante para la teoría general de la relatividad. Es intrigante que luego se demostró que el espacio del universo tiene curvatura variable, con la urdimbre y la trama de su tejido definidas por fuerzas gravitacionales. Esta realidad está modelada por la geometría de Lobachevsky.

 

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Las ecuaciones diferenciales, ya sean ordinarias o parciales, pueden clasificarse de forma rentable como lineales o no lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales son aquellas para las que la suma de dos soluciones es de nuevo una solución. La ecuación que da la forma de una cuerda vibrante es lineal, lo que proporciona la razón matemática por la cual una cuerda puede emitir simultáneamente más de una frecuencia. La linealidad de una ecuación hace que sea fácil encontrar todas sus soluciones, por lo que en general los problemas lineales se han abordado con éxito, mientras que las ecuaciones no lineales siguen siendo difíciles. De hecho, en muchos problemas lineales se puede encontrar una familia finita de soluciones con la propiedad de que cualquier solución es una suma de ellas (convenientemente multiplicada por constantes arbitrarias). La obtención de tal familia, llamada base, y su puesta en su forma más simple y útil, fue una fuente importante de muchas técnicas en el campo del álgebra lineal.

Consideremos, por ejemplo, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales

\frac{dy_{1}}{dx}=ay_{1}+by_{2},\frac{dy_{2}}{dx}=cy_{1}+dy_{2}

Es evidentemente mucho más difícil de estudiar que el sistema

\frac{dy_{1}}{dx}=\alpha y_{1},\frac{dy_{2}}{dx}=\beta y_{2}

cuyas soluciones son (múltiplos constantes de)

y_{1}\exp(\alpha x), y_{2}\exp(\beta x).

Pero si se puede encontrar una combinación lineal adecuada de y_{1}y_{2} para que el primer sistema se reduzca al segundo, entonces es suficiente resolver el segundo sistema. La existencia de tal reducción está determinada por una matriz de cuatro números. En 1858 el matemático inglés Arthur Cayley comenzó el estudio de matrices por derecho propio cuando notó que satisfacen ecuaciones polinómicas. La matriz

A=\begin{pmatrix} a &b \\  c&d \end{pmatrix}

por ejemplo, satisface la ecuación A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)=0. Además, si esta ecuación tiene dos raíces distintas -digamos \alpha y \beta– entonces existirá la reducción buscada, ylos coeficientes del sistema más simple serán las raíces \alpha y \beta. Si la ecuación tiene una raíz repetida, entonces la reducción usualmente no puede ser llevada a cabo. En cualquier caso, la parte difícil de resolver la ecuación diferencial original se ha reducido a álgebra elemental.

El estudio del álgebra lineal iniciado por Cayley y continuado por Leopold Kronecker incluye una poderosa teoría de los espacios vectoriales. Estos son conjuntos cuyos elementos pueden ser sumados y multiplicados por números arbitrarios, como la familia de soluciones de una ecuación diferencial lineal. Un ejemplo más familiar es el del espacio tridimensional. Si uno escoge un origen, entonces cada punto en el espacio puede ser etiquetado por el segmento de línea (llamado vector) uniéndolo al origen. Las matrices aparecen como formas de representar transformaciones lineales de un espacio vectorial, es decir, transformaciones que preservan sumas y multiplicaciones por números: la transformación T es lineal si, para cualquier vector u, v,

T(u+v)=T(u)+T(v)

y, para cualquier escalar \lambda,

T(\lambda v)=\lambda T(v).

Cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, el álgebra lineal y la geometría forman una potente combinación. También se estudian espacios vectoriales de dimensiones infinitas.

 La teoría de los espacios vectoriales es útil de otras maneras. Los vectores en el espacio tridimensional representan conceptos tan importantes desde el punto de vista físico como las velocidades y las fuerzas. Esta asignación de un vector a un punto se denomina campo vectorial. Los ejemplos incluyen campos eléctricos y magnéticos. Científicos como James Clerk Maxwell y Josiah Willard Gibbs tomaron el análisis vectorial y fueron capaces de extender los métodos vectoriales al cálculo. Introdujeron de esta manera las medidas de cómo un campo vectorial varía infinitesimalmente, que bajo los nombres div, grad y curl, se han convertido en las herramientas estándar en el estudio del electromagnetismo y la teoría del potencial.

James Clerk Maxwell

James Clerk Maxwell

Josiah Willard Gibbs

Josiah Willard Gibbs

Para el matemático moderno, div, grad y curl forman parte de una teoría a la que la ley de Stokes (un caso especial del cual es el teorema de Green) es central. El teorema de Gauss-Green-Stokes, llamado así por Gauss y dos matemáticos aplicados ingleses del siglo XIX (George Green y George Stokes), generaliza el teorema fundamental del cálculo a funciones de varias variables. El teorema fundamental del cálculo afirma que

\int_{a}^{b}f'(x) dx=f(b)-f(a)

que se puede leer diciendo que la integral de la derivada de alguna función en un intervalo es igual a la diferencia en los valores de la función en los extremos del intervalo. Generalizado a una parte de una superficie o un espacio, esto afirma que la integral de la derivada de alguna función sobre una región es igual a la integral de la función sobre la frontera de la región. En símbolos esto dice que \int d\omega =\int \omega , donde la primera integral se toma sobre la región en cuestión y la segunda integral sobre su frontera, mientras que d\omega es la derivada de \omega.

 

 

George Stokes

George Stokes

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