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Posts Tagged ‘Aryabhata I’

Los matemáticos indios contribuyeron a un mayor desarrollo del sistema numérico digital, y también complementaron la abundante información geométrica y aritmética disponible. Durante la Edad Oscura de Europa, la matemática progresaba lentamente en Medio Oriente e India, y Bhaskara II fue uno de los matemáticos más conocidos de su tiempo. 

Bhaskara II se distingue de Bhaskara I, un indio del siglo VII conocido por su exposición de la astronomía de Aryabhata I. Bhaskara II fue reconocido por su trabajo en astronomía, pero también por sus esfuerzos en matemática pura. Nació en 1114 en la India, pero se sabe poco de su vida. Aparentemente, provenía de una familia de brahmanes, y nació en la ciudad de Vijayapura. Entre sus contemporáneos, Bhaskara era famoso por sus talentos científicos, ya que no solo dominaba el conocimiento previo de Brahmagupta y otros, sino que también lo expandió a través de sus propias contribuciones. 

Bhaskara fue nombrado jefe del observatorio astronómico en Ujjain, el principal centro de conocimiento matemático en la India en ese momento. Debido a esta eminente posición, Bhaskara representó la cima del conocimiento matemático en el mundo, ya que poco de importancia estaba ocurriendo en Europa en el siglo XII. Bhaskara poseía una comprensión profunda de los sistemas numéricos y la solución de ecuaciones; como sucesor de Brahmagupta, entendió los conceptos de los números negativos y el cero. Estudió numerosas ecuaciones de problemas diofánticos en una o más variables con coeficientes enteros, y a menudo obtuvo soluciones que eran extremadamente grandes (esto hubiera sido imposible de lograr sin un excelente sistema numérico que facilitara tales cálculos). 

Hay al menos seis escritos que definitivamente se pueden atribuir a Bhaskara. el Lilavati que está dirigido a una mujer con ese nombre (tal vez su hija o su esposa), contiene 13 capítulos sobre matemática, incluyendo temas como aritmética, geometría plana, geometría sólida, álgebra, aspectos acerca de un gnomon y combinaciones de dígitos. (Un gnomon es una forma geométrica que había fascinado a los griegos, es la forma L que queda cuando se quita un rectángulo de uno más grande). Bhaskara tiene cuidado de definir sus términos con precisión, y analiza progresiones aritméticas y geométricas de números. Su discusión sobre la combinación de dígitos, esencialmente una contribución a la aritmética moderna, fue tal vez de la mayor importancia. Este fue por mucho el trabajo más popular de Bhaskara, con casi tres docenas de comentarios y numerosas traducciones.

Bhaskara manipula fácilmente la aritmética de los números negativos, y sabe cómo multiplicar por cero. Además, evitó el error de Brahmagupta de intentar dividir por cero, dándose cuenta de la dificultad inherente a esta operación; en su obra Bijaganita, Bhaskara escribe que cualquier número dividido por cero es infinito, que está más cerca de la verdad. Su método de multiplicación para números grandes es algo diferente de la técnica moderna, pero ampliamente efectivo. Bhaskara también demuestra reglas particulares para cuadrar números, aunque este es un caso especial de multiplicación. Trata la proporción inversa al discutir la regla de tres, la regla del cinco, la regla del siete y la regla del nueve. 

El Bijaganita trata acerca de álgebra: números positivos y negativos (los números negativos fueron luego “inventados” por Fibonacci en Europa), el cero, varios tipos de ecuaciones (incluida la cuadrática) y la multiplicación de varias incógnitas. De nuevo, tiene varios comentarios y traducciones. 

El Siddhantasiromani de Bhaskara, escrito en 1150, consta de dos partes. La primera sección, llamada Ganitadhyaya, trata sobre astronomía matemática, abordando la longitud media y real de los planetas, el movimiento diurno, las sicigias, los eclipses lunares y solares, las latitudes planetarias, la luna creciente y las conjunciones planetarias. La segunda porción, llamada Goladhyaya, trata sobre la esfera y es en gran medida una explicación de la primera parte: la naturaleza de la esfera, cosmografía, geografía, movimientos planetarios, construcción de una esfera armilar, trigonometría esférica, cálculos del eclipse, visibilidad de los planetas y luna creciente, instrumentos astronómicos, descripción de las estaciones, y la realización de cálculos astronómicos. También trata la función seno, expresando más interés en esta función por sí misma, desarrollando la conocida suma e identidades del producto. El Siddhantasiromani también tiene más de una docena de comentarios y muchas traducciones. 

Luego, está el Vasanabhasya, que es el comentario de Bhaskara sobre los Siddhantasiromani. El Karanakutuhala (Cálculo de maravillas astronómicas), escrito en 1183, da reglas más simples que las contenidas en el Siddhantasiromani para resolver problemas en astronomía. Discute las longitudes medias y reales de los planetas, el movimiento diurno, los eclipses lunares y solares, la media creciente, las conjunciones planetarias y las sicigias. Finalmente, el Vivarana de Bhaskara no se ha estudiado. Además, el Bijopanaya, escrito en 1151, ha sido atribuido por algunos a Bhaskara, aunque esto parece ser una falsificación posterior.  

Los múltiples logros de Bhaskara y su excelente talento lo colocaron en una posición venerada entre los intelectuales indios, y en 1207 se dotó a una institución educativa para estudiar sus escritos. Ciertamente marcó una huella más tarde en los matemáticos indios, quienes fueron fuertemente influenciados por su trabajo en astronomía y matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Poco se sabe de la vida de Aryabhata, que se llama Aryabhata I para distinguirlo de otro matemático del mismo nombre que vivió cuatro siglos más tarde. Aryabhata desempeñó un papel en el desarrollo del actual sistema de números y contribuyó a la teoría de números en un momento en que gran parte de Europa estaba envuelta en la ignorancia.

Nació en la India y tuvo una conexión con la ciudad Kusumapura, la capital de los Guptas durante los siglos IV y V; este lugar se cree que es la ciudad de su nacimiento. Ciertamente, su Aryabhatiya fue escrito en Kusumapura, que más tarde se convirtió en un centro de aprendizaje matemático.

Aryabhata escribió dos obras: Aryabhatiya en 499, cuando tenía 23 años, y otro tratado que se ha perdido. El primer trabajo es un breve resumen de la matemática hindú, que consta de tres secciones sobre matemática, el tiempo y los modelos planetarios, y la esfera. Las secciones sobre matemática contienen 66 reglas matemáticas sin demostración, que tratan sobre aritmética, álgebra, trigonometría plana y trigonometría esférica. Sin embargo, también contiene conocimientos más avanzados, tales como fracciones continuas, ecuaciones cuadráticas, series infinitas y una tabla de senos. En el año 800 este trabajo fue traducido al árabe, y tenía muchos comentaristas indios.

El sistema numérico de Aryabhata, el que usó en su libro, asigna un número a cada una de las 33 letras del alfabeto indio, representando los primeros 25 números así como 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. Es de notar que estaba familiarizado con un sistema posicional, de modo que números muy grandes podran ser fácilmente descritos y manipulados usando esta notación alfabética. De hecho, parece probable que Aryabhata estuviera familiarizado con el cero como marcador de posición. El sistema de números indios posicional, que más tarde influiría grandemente en la construcción del sistema moderno, facilitó cálculos que serían imposibles bajo modelos más primitivos, como los números romanos. Aryabhata parece ser el creador de este sistema posicional.

En su examen del álgebra, Aryabhata investiga primeramente ecuaciones lineales con coeficientes enteros -aparentemente, el Aryabhatiya es el primer trabajo escrito en hacerlo. La cuestión surgió de ciertos problemas de astronomía, como el cálculo del período de los planetas. La técnica se llama kuttaka, que significa “pulverizar”, y consiste en partir la ecuación en problemas relacionados con coeficientes más pequeños; el método es similar al algoritmo euclidiano para encontrar el máximo divisor común, pero también está relacionado con la teoría de las fracciones continuas. 

Además, Aryabhata dio un valor para el número pi que era preciso a ocho decimales, mejorando las aproximaciones dadas por Arquímedes de Siracusa y Apolonio de Perga. Los eruditos han sostenido que él obtuvo esto independientemente de los griegos, teniendo un cierto método particular para aproximar a pi, pero no se sabe exactamente cómo lo hizo; Aryabhata también se dio cuenta de que pi era un número irracional. Su tabla de senos da valores aproximados a intervalos de menos de cuatro grados, y utiliza una fórmula trigonométrica para lograrlo.

Aryabhata también discute reglas para sumar los primeros n enteros, los primeros n cuadrados, y los primeros n cubos; da fórmulas para el área de triángulos y de círculos. Sus resultados para los volúmenes de una esfera y de una pirámide son incorrectos, pero esto puede haber sido debido a un error de traducción. Por supuesto, estos últimos resultados eran bien conocidos por los griegos y podrían haber llegado a Aryabhata a través de los árabes.

En cuanto a la astronomía presente en el texto, la matemática está diseñada para dilucidarla y hay varios resultados interesantes. Aryabhata da una excelente aproximación a la circunferencia de la Tierra (62.832 millas), y explica la rotación de los cielos a través de una teoría de la rotación axial de la Tierra. Irónicamente, esta teoría (correcta) fue considerada absurda por comentaristas posteriores, que alteraron el texto para remediar los errores de Aryabhata. Igualmente notable es su descripción de las órbitas planetarias como elipses; cabe notar que sólo datos astronómicos altamente precisos proporcionados por telescopios superiores permitieron a los astrónomos europeos diferenciar entre órbitas circulares y elípticas. Aryahbhata da una explicación correcta de los eclipses solares y lunares, y atribuye la luz de la Luna a la luz solar reflejada.

Aryabhata fue de gran influencia para los matemáticos y astrónomos indios posteriores. Tal vez lo más relevante para el desarrollo posterior de la matemática fue su sistema posicional. Sus teorías fueron extremadamente avanzadas considerando el tiempo en que él vivió, y los cálculos exactos de las medidas astronómicas ilustraron el poder de su sistema numérico.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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El legado de la matemática que se practica en el mundo islámico hace cientos de años sigue viviendo con nosotros. Por ejemplo, los términos matemáticos básicos álgebra y algoritmo descienden de palabras árabes. Pero comencemos por el principio.

En la época helenística y en la Antigüedad tardía, el aprendizaje científico en la parte oriental del mundo romano se extendió sobre una gran variedad de centros, y el cierre por parte de Justiniano de las academias de los paganos en Atenas en el año 529 dio un nuevo impulso a esta expansión. Un factor adicional fue la traducción y estudio de textos científicos y filosóficos griegos patrocinados tanto por los centros monásticos de las diversas iglesias cristianas en el Levante, Egipto y Mesopotamia como por los gobernantes ilustrados de la dinastía sasánida en lugares como la escuela de medicina en Gondeshapur.

También hubo importantes desarrollos en la India en los primeros siglos de la era cristiana. Aunque el sistema decimal para los números enteros no parece haber sido conocido por el astrónomo indio Aryabhata I (nacido en el año 476), fue utilizado por su alumno Bhaskara I en 620, y en el año  670 el sistema había llegado al norte de Mesopotamia, donde el obispo nestoriano Severo Sebokht alabó a sus inventores hindúes como los descubridores de cosas más ingeniosas que las de los griegos. Anteriormente, a finales del siglo IV o principios del siglo V, el autor hindú anónimo de un manual astronómico, el Surya Siddhanta, había calculado la función seno (desconocida en Grecia) para cada arco a pasos iguales a 3\ 3/4^{\circ{}} desde 3\ 3/4^{\circ{}} a 90^{\circ{}}.

En este contexto intelectual tuvo lugar la rápida expansión del Islam entre el momento del regreso de Mahoma a la Meca en el año 630 desde su exilio en Medina y la conquista musulmana de tierras que se extendió desde España a las fronteras de China por el año 715. No mucho tiempo después, los musulmanes comenzaron la adquisición de la cultura extranjera, y en el momento del califa al-Mansur (muerto en 775), materiales astronómicos indio y persa como la Brahma-sphuta-siddhanta y las Tablas del Shah habían sido traducidos al árabe. La posterior adquisición de material griego estaba  considerablemente avanzada cuando el califa al-Ma’mun construyó un centro de traducción y de investigación, conocido como la Casa de la Sabiduría, en Bagdad durante su reinado (813-833). La mayoría de las traducciones fueron hechas del griego y siríaco por eruditos cristianos, pero el impulso y el apoyo a esta actividad provino de los patrones musulmanes. Estos incluyen no sólo al califa, sino también a individuos ricos, como los tres hermanos conocidos como los Banu Musa, cuyos tratados sobre geometría y mecánica formaron una parte importante de las obras estudiadas en el mundo islámico.

De las obras de Euclides  fueron traducidos los Elementos, los Datos, la Óptica, Fenómenos y Sobre divisiones. De los trabajos de Arquímedes se sabe que han sido traducidos sólo dos: Esfera y cilindro y la Medida del círculo-, pero éstos fueron suficientes para estimular investigaciones independientes desde el siglo IX hasta el siglo XV. Por otra parte, casi todas las obras de Apolonio fueron traducidas, y de Diofanto y Menelao un libro de cada uno, la Aritmética y la Sphaerica, respectivamente, fueron traducidos al árabe. Por último, la traducción del Almagesto de Ptolomeo brindó importante un material astronómico.

De escritos menores, el tratado sobre espejos de Diocles, la Spherics de Teodosio, el trabajo de Pappus sobre mecánica, el Planisphaerium de Ptolomeo, y el tratado de Hipsicles sobre poliedros regulares (los denominados Libros XIV y XV de los Elementos de Euclides) estaban entre los traducidos.

 

Y un pequeño recreo…

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