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Posts Tagged ‘August Crelle’

En la Alemania de principios del siglo XIX, Carl Jacobi se ubicó entre los principales sucesores matemáticos de Carl Friedrich Gauss. Jacobi se distinguió por sus numerosas contribuciones al análisis, especialmente en el área de las integrales elípticas; por la diversidad de su actividad y la amplitud de su intelecto ha sido comparado con Leonhard Euler

Nacido el 10 de diciembre de 1804 en Potsdam, Alemania, Jacobi fue el segundo hijo de Simon Jacobi, un adinerado banquero judío, y recibió una excelente educación de su tío. Jacobi tenía un hermano mayor, Moritz, que se hizo físico en San Petersburgo, y un hermano y hermana menores. Jacobi era intelectualmente avanzado cuando niño, y entró en la escuela secundaria en Potsdam en 1816. Pronto fue promovido a la clase más alta a pesar de su juventud; cuando se graduó en 1821, Jacobi ya dominaba el griego, el latín y la historia, y poseía un amplio conocimiento de  matemática: ya había intentado la solución de la ecuación de quinto grado. 

Jacobi fue a la Universidad de Berlín, donde se concentró en la matemática. Trabajando en privado, pronto dominó los trabajos de Euler, Joseph-Louis Lagrange y varios otros matemáticos destacados. En 1824 aprobó sus exámenes preliminares, y pronto presentó una  tesis para Ph.D. Después de convertirse al cristianismo se le permitió comenzar su carrera académica en la Universidad de Berlín a la temprana edad de 20 años. 

Las conferencias de Jacobi eran estimulantes, ya que describía su investigación actual a su audiencia. Su primera conferencia en 1825 trató sobre la teoría analítica de curvas y superficies. Este fue el período más prolífico de Jacobi, y estableció contacto con colegas matemáticos como Gauss, Adrien-Marie Legendre y Niels Henrik Abel. Gran parte de la investigación de Jacobi se basó y desarrolló las exploraciones de Gauss. Legendre fue el primero en estudiar integrales elípticas de forma sistemática, y tanto Abel como Jacobi se convirtieron en herederos intelectuales, compitiendo en sus investigaciones acerca de funciones trascendentales.   

Jacobi se mudó a la Universidad de Königsberg en 1826, ya que había más oportunidades para avanzar allí. A través de las interacciones con Friedrich Wilhelm Bessel, Jacobi se interesó cada vez más en problemas aplicados. Las publicaciones de Jacobi disfrutaron de una gran popularidad, y pronto se convirtió en profesor asociado en 1827 y profesor titular en 1832. Durante sus 18 años en Königsberg, Jacobi produjo resultados sorprendentes en la teoría de funciones elípticas, análisis, teoría de números, geometría y mecánica. Muchos de sus trabajos fueron publicados en el Journal for Pure and Applied Mathematics de Crelle, y Jacobi fue en parte responsable de su ascenso a renombre internacional. A pesar de que enérgicamente perseguía su investigación, Jacobi también daba una conferencia de aproximadamente 10 horas a la semana, a menudo discutiendo los avances más recientes en el conocimiento. Jacobi desarrolló un seminario de investigación, esencialmente una colección de estudiantes avanzados, y también alentó el enfoque orientado a la investigación de la enseñanza universitaria. 

Jacobi se casó con Marie Schwinck en 1831, y tuvo cinco hijos y tres hijas con ella. Viajó a París en 1829 para conocer a los principales matemáticos franceses y visitó a Legendre, Jean Baptiste Joseph Fourier y Siméon Denis Poisson, . Más tarde, asistió a una conferencia matemática en Gran Bretaña en 1842. En 1843, Jacobi enfermó de diabetes y viajó por Italia con la esperanza de que el clima más benigno mejorara su salud; a su regreso, Jacobi regresó a Berlín y de vez en cuando daba conferencias en la Universidad de ese lugar. 

Hasta este momento, la investigación de Jacobi se refería principalmente a las funciones elípticas. Un resumen de sus resultados iniciales se publicó en Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (Nuevos fundamentos de la teoría de las funciones elípticas) en 1829; en este documento Jacobi discutió la transformación y representación de funciones elípticas, revelando muchas de las propiedades más importantes. Una de las ideas importantes de Jacobi (que fue desarrollada independientemente por Abel y Gauss) fue la inversión de una integral elíptica, y esto dio lugar a varias fórmulas importantes. Junto con Abel, Jacobi también introdujo números imaginarios en la teoría de las funciones elípticas y descubrió su doble periodicidad. A lo largo de su competencia con Abel, Jacobi se mantuvo generoso y obstinado, abogando por el término abeliano para ciertos resultados en funciones trascendentales. Más tarde, en el mismo trabajo, Jacobi expresó estas integrales como productos infinitos, y pudo aplicar sus resultados a la teoría de números; por ejemplo, pudo demostrar que cualquier número entero se puede representar como la suma de cuatro cuadrados como máximo, lo que había sido conjeturado previamente por Pierre de Fermat

Este trabajo continuó durante la década de 1830, con resultados adicionales sobre la función theta. En teoría de números, Jacobi estudió la teoría de los residuos, las formas cuadráticas y las representaciones de los enteros como sumas de cuadrados y cubos. Jacobi también contribuyó al campo de las ecuaciones diferenciales parciales (en donde introdujo las funciones elípticas), a la física matemática (Jacobi estudió las configuraciones de masas líquidas rotatorias) y a la teoría de los determinantes. Jacobi hizo una presentación sistemática de los determinantes en 1841, e introdujo el «jacobiano», el determinante utilizado en el cambio de cálculos de variables en el cálculo integral. Además de estos trabajos en matemática, Jacobi dio una conferencia sobre la historia de la matemática e incluso comenzó el inmenso proyecto de producir un volumen de las obras completas de Euler. 

Jacobi se interesó en Euler como un alma gemela, ya que su visión de la matemática era similar. Jacobi, como Euler, era un buen calculador y disfrutaba de una perspectiva algorítmica para resolver problemas; era versátil en muchas áreas de la matemática, y escribió prolíficamente. 

Cometió algunos errores políticos en 1848, alienándose de la monarquía prusiana. Como resultado, su salario se redujo y se vio obligado a vender su casa en Berlín. En 1849 recibió una oferta de Viena, y Prusia le restauró su salario, evidentemente no querían perder a un matemático tan eminente. En 1851, Jacobi contrajo gripe seguido de viruela, lo que resultó fatal. Murió el 18 de febrero de 1851 en Berlín. Su buen amigo Peter Lejeune Dirichlet pronunció un panegírico en 1852, describiendo a Jacobi como el mejor matemático de la Academia de Berlín desde Lagrange. 

El trabajo de Jacobi abarcó varios campos, pero su trabajo sobre funciones elípticas e integrales es el más significativo. En su propio tiempo fue reconocido, junto con Dirichlet, como uno de los mejores matemáticos alemanes. Sin embargo, incluso después de su muerte, su trabajo continuó siendo influyente; dejó atrás una escuela de matemáticos y un impresionante cuerpo de ideas matemáticas.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El matemático noruego Niels Abel hizo contribuciones excepcionales a la teoría de las funciones elípticas, uno de los temas matemáticos más populares del siglo XIX. La lucha, las dificultades y la incertidumbre caracterizaron su vida, pero bajo condiciones difíciles él todavía pudo producir un cuerpo prolífico y brillante de investigación matemática. Tristemente murió joven, sin poder alcanzar la gloria y el reconocimiento por los que había trabajado.

Niels Henrik Abel era hijo de Sören Abel, un pastor Luterano, y Ane Marie Simonson, hija de un rico comerciante. La primera parroquia del pastor Abel estuvo ubicada en la isla de Finnöy, donde Niels Abel nació en 1802. Poco después, el padre de Abel se involucró en política.

Hasta ese momento Abel y sus hermanos habían recibido instrucción por parte de su padre, pero en 1815 fueron enviados a la escuela en Oslo. El rendimiento de Abel en la escuela fue marginal, pero en 1817 la llegada de un nuevo profesor de matemática, Bernt Holmboe, cambió grandemente el destino de Abel. Holmboe reconoció el don de Abel para la matemática, y comenzó a estudiar a Leonhard Euler y a los matemáticos franceses. Pronto Abel había superado a su maestro. En este momento se interesó mucho por la teoría de las ecuaciones algebraicas. Holmboe estaba encantado con su descubrimiento del joven matemático.

Durante su último año en la escuela Abel intentó resolver la ecuación de quinto grado, un problema pendiente de la antigüedad, pero falló (la ecuación no tiene soluciones racionales). Sin embargo, sus esfuerzos le introdujeron en la teoría de las funciones elípticas. Mientras tanto, el padre de Abel cayó en desgracia pública debido al alcoholismo, y después de su muerte en 1820 la familia quedó en circunstancias financieras difíciles.

Abel entró en la Universidad de Suecia en 1821, y se le concedió una habitación libre debido a su extrema pobreza. La facultad incluso lo apoyó con sus propios recursos; él era huésped frecuente de la casa de Christoffer Hansteen, el principal científico de la universidad. En el primer año, Abel había terminado su grado preliminar, lo que le permitió contar con tiempo suficiente para seguir sus propios estudios avanzados. Vorazmente leyó todo lo que pudo encontrar con respecto a la matemática, y publicó sus primeros artículos en el diario de Hansteen después de 1823.

En el verano de 1823 Abel recibió ayuda de la facultad para viajar a Copenhague con el fin de conocer a los matemáticos daneses. El viaje fue inspirador; también conoció allí a su futura prometida, Christine Kemp. Cuando volvió a Oslo, Abel comenzó a trabajar una vez más en la ecuación quíntica, pero esta vez intentó demostrar que no había una expresión radical para su solución. Él tuvo éxito, y publicó su resultado en francés a sus expensas. Por desgracia no tuvo reacción por parte de su audiencia, incluso el mismísimo Carl Friedrich Gauss fue indiferente.

Los problemas financieros de Abel se complicaron por su compromiso con Kemp, pero consiguió un pequeño estipendio para estudiar idiomas con el fin de prepararse para viajar al extranjero. Después de esto, recibiría una modesta beca por dos años para estudios en el extranjero. En 1825 partió con algunos amigos hacia Berlín, y en su camino a través de Copenhague conoció a August Crelle, un influyente ingeniero con un vivo interés por  la matemáticas. Los dos se convirtieron en amigos de por vida, y Crelle acordó comenzar una revista alemana para la publicación de matemática pura. Muchos de los artículos de Abel fueron publicados en los primeros volúmenes, incluyendo una versión ampliada de su trabajo sobre la ecuación de quinto grado.

Uno de los notables artículos de Abel en el Diario de Crelle generalizaba la fórmula binomial, que da una expansión para la enésima potencia de una expresión binomial. Abel volvió su pensamiento hacia las series infinitas, y se preocupó por el hecho de que las sumas nunca habían sido rigurosamente determinadas. El resultado de su investigación fue un trabajo clásico sobre series de potencias, con la determinación de la suma de la serie binomial para exponentes arbitrarios. Mientras tanto, Abel no consiguió un puesto que estaba vacante en la Universidad de Suecia; su ex profesor Holmboe fue seleccionado. Cabe señalar que Abel mantuvo su nobleza de carácter a lo largo de su frustrante vida. 

En la primavera de 1826 Abel viajó a París y presentó un artículo a la Academia Francesa de Ciencias que consideró su obra maestra: trataba la suma de las integrales de una función algebraica dada, y por lo tanto generalizaba la relación de Euler para integrales elípticas. Este trabajo, sobre el cual Abel trabajó durante muchos meses pero nunca fue publicado, fue presentado en octubre de 1826, y Augustin-Louis Cauchy  y Adrien-Marie Legendre fueron nombrados árbitros. Ningún informe fue publicado, y nada fue publicado hasta después de la muerte de Abel. Parece que Cauchy fue el culpable de la tardanza, y al parecer perdió el manuscrito. Abel más tarde reescribió el artículo (y tampoco se publicó este trabajo), y el teorema descrito anteriormente llegó a ser conocido como el teorema de Abel.

Después de esta decepcionante temporada en Francia, Abel regresó a Berlín y cayó enfermo con su primer ataque de tuberculosis. Crelle le ayudó con su enfermedad, y trató de conseguirle un puesto en Berlín, pero Abel anhelaba regresar a Noruega. La nueva investigación de Abel transformó la teoría de las integrales elípticas en la teoría de las funciones elípticas usando sus inversas. A través de esta dualidad, las funciones elípticas se convirtieron en una importante generalización de las funciones trigonométricas. Como estudiante en Oslo, Abel ya había desarrollado gran parte de la teoría, y este artículo presentaba  su pensamiento con gran detalle.

A su regreso a Oslo en 1827, Abel no tenía perspectivas de ocupar una posición allí, y logró sobrevivir impartiendo tutorías. Por unos cuantos meses Hansteen se fue de vacaciones a Siberia y Abel se convirtió en su sustituto en la universidad. Mientras tanto, el trabajo de Abel había comenzado a estimular el interés entre los matemáticos europeos. A principios de 1828 Abel descubrió que tenía un joven competidor alemán, Carl Jacobi, en el campo de las funciones elípticas. Consciente de ello Abel escribió una rápida sucesión de artículos sobre funciones elípticas y preparó un libro de memorias que sería publicado póstumamente. 

Parece que Abel tuvo la prioridad de descubrir a Jacobi en el ámbito de las funciones elípticas; sin embargo, también se sabe que Gauss era consciente de los principios de las funciones elípticas mucho antes de Abel o Jacobi, y había decidido no publicar. En este momento Abel comenzó una correspondencia con Legendre, que también estaba interesado en las funciones elípticas. Los matemáticos de Francia, junto con Crelle, intentaron asegurarle un empleo a Abel, e incluso se lo solicitaron al monarca de Suecia.

La salud de Abel se estaba deteriorando, pero siguió escribiendo frenéticamente. Pasó el verano de 1828 con su prometida, y cuando la visitó en Navidad tuvo un cuadro febril debido a la exposición al frío. Mientras se preparaba para su regreso a Oslo, Abel sufrió una violenta hemorragia que lo obligó a estar en cama. A la edad de 26 años murió de tuberculosis el 26 de abril de 1829; dos días más tarde, Crelle le escribió con júbilo que le había asegurado un puesto en Berlín. En 1830 la Academia Francesa de Ciencias concedió su Gran Premio a Abel y Jacobi por sus brillantes descubrimientos matemáticos.

Abel fue reconocido como uno de los matemáticos más grandes después de su muerte, y realmente logró mucho a pesar de su corta vida. La teoría de las funciones elípticas se expandiría mucho durante el siglo XIX, y la obra de Abel contribuyó significativamente a este desarrollo.

En el año 2002 el gobierno noruego creó el Premio Abel en conmemoración del bicentenario de su nacimiento. La Academia Noruega de Ciencias y Letras es la encargada cada año de designar al merecedor de tal galardón, vía el consenso de un comité conformado por cinco matemáticos de varios países. El  primero en recibir el Premio Abel fue el matemático francés Jean-Pierre Serre (2003), mientras que este año, 2017, el agasajado con este honor fue también un matemático francés, Yves Meyer, por sus contribuciones al conocimiento y desarrollo de la teoría de las ondículas.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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