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Posts Tagged ‘August Möbius’

August Möbius fue un excelente matemático, pionero de muchas ideas en topología, el estudio de mapas continuos que actúan sobre superficies de alta dimensión. Este campo de la matemática se estudió poco a poco a principios del siglo XIX y, de hecho, solo recibiría una investigación sistemática por parte de Henri Poincaré, Luitzen Egbertus Jan Brouwer y otros a principios del siglo XX. El trabajo de Möbius presentó las primeras investigaciones de orientación, superficies unilaterales y coordenadas homogéneas.

August Möbius nació el 17 de noviembre de 1790 en Schulpforta, Alemania. Su padre, Johann Heinrich Möbius, era un instructor de baile que murió cuando Möbius tenía solo tres años. Fue criado por su madre, descendiente de Martín Lutero, y fue educado por ella hasta los 13 años. Möbius siguió estudiando en la universidad local y se matriculó en la Universidad de Leipzig en 1809.

En Leipzig, Möbius siguió la preferencia de su familia de que estudiara leyes, pero después de su primer año abandonó este programa para dedicarse a la matemática, la física y la astronomía. Allí Karl Mollweide, un astrónomo con inclinaciones matemáticas, influyó en Möbius. En 1813 viajó a la Universidad de Gotinga para estudios de posgrado, y fue enseñado por el mismo Carl Friedrich Gauss. Como resultado de tener este gran mentor, Möbius adquirió una sólida formación en matemática y astronomía. En 1815, Möbius completó su tesis doctoral, que trataba de la ocultación de las estrellas fijas, y luego comenzó su investigación posdoctoral. Aunque su trabajo en este momento estaba en el campo de la astronomía, tenia un alto sabor matemático.

Evitando la posibilidad de ser reclutado en el ejército prusiano, Möbius completó su segunda tesis sobre ecuaciones trigonométricas, y pronto fue nombrado profesor de astronomía en Leipzig en 1816. El avance de la carrera de Möbius llegó lentamente, esencialmente debido a su pobre capacidad para impartir clases, aunque su trabajo matemático fue de gran calidad y originalidad.

Möbius trabajó de manera silenciosa y constante en una variedad de proyectos matemáticos, produciendo trabajos de gran calidad e integridad. Además de sus artículos sobre mecánica celeste y principios astronómicos, Möbius escribió sobre geometría proyectiva, teoría de números, topología y poliedros. Su trabajo clásico sobre geometría analítica de 1827 introdujo las coordenadas homogéneas (una forma de describir superficies proyectivas) y la red de Möbius (una cierta configuración en el espacio proyectivo). Esta investigación fue fundamental para estudios más modernos en geometría proyectiva. La función de Möbius y la fórmula de inversión de Möbius son significativas en el estudio de los números primos y la factorización en la teoría de números. Pero en el incipiente campo de la topología, Möbius demostró su genio creativo, con investigaciones innovadoras de superficies de un solo lado y el tema de la orientación (la determinación de las direcciones en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj sobre una superficie). En particular, redescubrió la llamada banda de Möbius en 1858 (previamente había sido explorada por Johann Listing). Este objeto es esencialmente una tira de papel torcida que tiene un solo lado. 

En 1844, Möbius se convirtió en profesor titular en Leipzig. Mientras tanto, asumió tareas astronómicas, supervisando la reconstrucción del observatorio local desde 1818 hasta 1821. Se casó en 1820 y tuvo una hija y dos hijos. También en 1844 interactuó brevemente con Hermann Günter Grassmann, cuyo trabajo sobre topología y geometría algebraica fue bastante similar al de Möbius. Murió el 26 de septiembre de 1868 en Leipzig, Alemania.

Möbius es quizás más conocido por la banda  de Möbius y la fórmula de inversión de Möbius, aunque su trabajo más importante fue probablemente en geometría proyectiva. Su trabajo se distinguió por su originalidad y cohesión, así como por su profundidad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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La Revolución Francesa provocó un replanteamiento radical de la educación en Francia, y la matemática recibió un papel destacado. La École Polytechnique fue fundada en 1794 con la ambiciosa tarea de preparar a todos los candidatos para las escuelas especializadas de ingenieros civiles y militares de la república. Los matemáticos de más alto nivel resultaron involucrados. El resultado fue un desarrollo rápido y sostenido del tema. La inspiración para la École fue Gaspard Monge, quien creía firmemente que la matemática debía servir a las necesidades científicas y técnicas del estado. Para tal fin se diseñó un programa que promovía su propia geometría descriptiva, útil en el diseño de fortalezas, en los emplazamientos de armas y el diseño de máquinas, la cual fue utilizada con gran efecto en la epopeya napoleónica de los sitios históricos de Egipto.

Gaspard Monge

En la geometría descriptiva de Monge, los objetos tridimensionales son descritos por sus proyecciones ortogonales sobre un plano horizontal y vertical, la planta y la alzada del objeto. Un alumno de Monge, Jean-Victor Poncelet, fue tomado prisionero durante la retirada de Napoleón de Moscú y trató de mantener su espíritu en la cárcel en Saratov pensando sobre la geometría que había aprendido. Prescindió de la restricción a las proyecciones ortogonales y decidió investigar qué propiedades las figuras tienen en común con sus sombras. Existen varias de estas propiedades: una línea recta proyecta una sombra recta, y una tangente a una curva proyecta una sombra que es tangente a la sombra de la curva. Sin embargo, algunas propiedades se pierden: las longitudes y ángulos de una figura no guardan relación con las longitudes y ángulos de su sombra. Poncelet sintió que las propiedades que sobreviven eran dignas de estudio y, considerando sólo aquellas propiedades que una figura comparte con todas sus sombras, Poncelet esperaba poder presentar un razonamiento geométrico verdaderamente a la altura de la geometría algebraica.

Jean-Victor Poncelet

En 1822 Poncelet publicó el Traité des propriétés projectives des figures (“Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras”). Desde su punto de vista cada sección cónica es equivalente a un círculo, por lo que su tratado contenía un tratamiento unificado de la teoría de las secciones cónicas. También estableció varios nuevos resultados. Los geómetras que tomaron su trabajo se dividían en dos grupos: los que aceptaban sus términos y los que, buscando los oscuros, reformulaban sus ideas en el espíritu de la geometría algebraica. Del lado algebraico estaban en Alemania el matemático August Möbius, que parece haber llegado a sus ideas de forma independiente de Poncelet, y Julius Plücker. Mostraron lo rica que era la geometría proyectiva de curvas definidas por ecuaciones algebraicas y con ello dieron un gran impulso al estudio de las curvas algebraicas, comparable con el ímpetu original proporcionado por Descartes. Alemania también produjo geómetras proyectivos sintéticos, entre los que podemos citar especialmente a Jakob Steiner (nacido en Suiza, pero educado en Alemania) y a Karl Georg Christian von Staudt, quien hizo hincapié en lo que puede ser entendido de una figura a partir de una cuidadosa consideración de todas sus transformaciones.

August Möbius

Julius Plücker

Jakob Steiner

Karl Georg Christian von Staudt

Dentro de los debates acerca de la geometría proyectiva surgió una de las pocas ideas sintéticas descubiertas desde los tiempos de Euclides, la de dualidad. Esta asocia a cada punto una línea y a cada línea  un punto, de tal manera que (1) tres puntos pertenecientes a una línea dan lugar a tres líneas que se intersectan en un punto y, recíprocamente, tres líneas que se intersectan en un punto dan lugar a tres puntos que se intersectan en una línea y (2) si se parte de un punto (o una línea) y se pasa a la línea asociada (punto) y luego se repite el proceso, se regresa al punto (línea) original. Una forma de utilizar la dualidad (presentada por Poncelet) es escoger una cónica arbitraria y luego asociar a un punto P que se encuentra fuera de la cónica la línea que une los puntos R y S en los que las tangentes a la cónica a través de P tocan a la cónica.

Se necesita un segundo método para puntos sobre o dentro de la cónica. La característica de la dualidad que la hace tan interesante es que se puede aplicar mecánicamente a toda prueba en geometría, intercambiando “punto y línea” y “colineal” y “concurrente” en todas partes, obteniendo así un nuevo resultado. A veces un resultado resulta ser equivalente al original, a veces es su recíproco, pero de un solo golpe el número de teoremas más o menos se duplicó.

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