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Posts Tagged ‘Axioma de Completitud’

Recordemos que en Axioma de Completitud analizamos en un ejemplo la búsqueda del supremo del conjunto S=\left\{r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\right\}, y nos quedó algo pendiente por demostrar. Es momento que completemos la cuestión:


Existe un número real \alpha\in\mathbb{R} que satisface \alpha^{2}=2.

Dem: Consideremos el conjunto

T=\left\{t\in\mathbb{R}:t^{2}<2\right\}

y sea \alpha=\sup T. Vamos a demostrar que \alpha^{2}=2 descartando las posibilidades \alpha^{2}<2 y \alpha^{2}>2. Tengamos en cuenta que hay dos partes en la definición de \sup T, y ambas serán importantes. (Esto siempre ocurre cuando se utiliza el supremo en un argumento.) La estrategia es demostrar que \alpha^{2}<2 viola el hecho de que \alpha es una cota superior de T, y que \alpha^{2}>2 viola el hecho de que es la menor cota superior.

Primero vamos a ver qué pasa si asumimos \alpha^{2}<2. En la búsqueda de un elemento de T que sea mayor que \alpha, escribimos

Pero ahora suponer que \alpha^{2}<2 nos da un poco de espacio en el que encajar el término (2\alpha+1)/n y mantiene el total menor que 2. Específicamente, elegimos n_{0}\in\mathbb{N} suficientemente grande para que

\displaystyle\frac{1}{n_{0}}<\frac{2-\alpha^{2}}{2\alpha+1}.

Esto implica que (2\alpha+1)/n_{0}<2-\alpha^{2}, y en consecuencia

\left(\alpha+\frac{1}{n_{0}}\right)^{2}<\alpha^{2}+(2-\alpha^{2})=2.

Así, \alpha+1/n_{0}\in T, lo que contradice el hecho que \alpha es una cota superior de T. Concluimos que no puede ocurrir que \alpha^{2}<2.

Ahora, ¿qué sucede en caso de que \alpha^{2}>2?. Esta vez escribimos

El resto del argumento resulta análogo al anterior. \clubsuit


Hemos demostrado entonces la existencia de la raíz cuadrada de dos.

Una pequeña modificación de esta demostración puede emplearse para probar que \sqrt{x} existe para cualquier x\geq 0. Una fórmula para desarrollar (\alpha+1/n)^{m}, conocida como Fórmula Binomial, puede utilizarse para demostrar que \sqrt[m]{x} existe para valores arbitrarios de m\in\mathbb{N}.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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Hemos enunciado aquí  el Axioma de Completitud, una caracterización del conjunto de los números reales. Este Axioma tiene varias aplicaciones, y hoy nos dedicaremos a la primera de ellas que trataremos en este blog. Se trata de  un resultado que puede verse como una forma más natural de expresar matemáticamente el sentimiento de que la recta real no contiene huecos, del que hablamos también aquí.


Principio de los Intervalos Encajados. Para cada n\in\mathbb{N}, suponemos dado un intervalo cerrado I_{n}=[a_{n},b_{n}]=\left\{x\in\mathbb{R}:a_{n}\leq x\leq b_{n}\right\}. Supongamos también que cada I_{n} contiene a I_{n+1}. Entonces, la sucesión anidada resultante de intervalos cerrados

I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq I_{4}\supseteq\cdots

tiene intersección no vacía; es decir, \bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}\neq\emptyset.

Dem. Con el fin de demostrar que \bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n} es no vacío vamos a usar el Axioma de Completitud para producir un único número real x que satisface x\in I_{n} para todo n\in\mathbb{N}. Ahora, el Axioma de Completitud es una afirmación acerca de conjuntos acotados, y lo que queremos considerar es el conjunto

A=\left\{a_{n}:n\in\mathbb{N}\right\}

de extremos izquierdos de los intervalos.

Debido a que los intervalos están anidados, vemos que cada b_{n} sirve como una cota superior de A. Por lo tanto, está justificado el establecimiento de

x=\sup A.

Ahora, consideremos un intervalo particular I_{n}=[a_{n},b_{n}]. Debido a que x es una cota superior de A, tenemos a\leq x. El hecho de que cada b_{n} es una cota superior de A y que x es la menor cota superior implica que x\leq b_{n}.

En resumen, tenemos entonces a\leq x\leq b_{n}, lo que significa que x\in I_{n} para cada elección de n\in\mathbb{N}. Por lo tanto, x\in\bigcap^{\infty}_{n=1}I_{n}, y la intersección es no vacía. \clubsuit


Este principio se asocia al nombre de un famoso matemático alemán: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918), considerado junto a Dedekind y Frege el creador de la Teoría de Conjuntos.

Georg Cantor

Como veremos más adelante, el Principio de los Intervalos Encajados sirve de soporte para importantes resultados del Análisis Real.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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¿Qué es exactamente un número real? En la entrada Raíz cuadrada de dos es irracional dijimos que el conjunto \mathbb{R} de los números reales es una extensión de los números racionales \mathbb{Q} en la que no hay agujeros o huecos. Queremos que cada longitud a lo largo de la recta numérica –tal como \sqrt{2}— corresponda a un número real y viceversa. Retomemos un poco estas ideas con el objeto de precisar cuáles serán nuestros supuestos sobre el conjunto de los números reales para iniciar nuestro estudio del Análisis Real.

En primer lugar, \mathbb{R} es un conjunto que contiene a \mathbb{Q}. Las operaciones de adición y multiplicación en \mathbb{Q} se extienden a todos los elementos de \mathbb{R} de tal manera que cada elemento de \mathbb{R} tiene un inverso aditivo y cada elemento distinto de cero de \mathbb{R} tiene un inverso multiplicativo. Recordando la discusión planteada en Raíz cuadrada de dos es irracional, se supone que \mathbb{R} es un cuerpo, lo que significa que la suma y la multiplicación de números reales es conmutativa, asociativa y cumple la propiedad distributiva. Esto nos permite realizar todas las manipulaciones algebraicas estándar que son tan naturales para nosotros. También suponemos que las propiedades conocidas del orden de \mathbb{Q} se extienden a todo \mathbb{R}. Así, por ejemplo, deducciones tales como “Si a<b y c>0, entonces ac<bc” se llevan a cabo libremente y sin muchos comentarios. Para resumir la situación en la terminología oficial del tema, suponemos que \mathbb{R} es un cuerpo ordenado, que contiene a \mathbb{Q} como un subcuerpo. (En el futuro espero tratar una definición rigurosa de “cuerpo ordenado”.)

Esto nos lleva a la final, y más distintiva, suposición sobre el sistema de números reales. Debemos encontrar la manera de articular claramente lo que queremos decir al insistir en que \mathbb{R} no contiene los vacíos que impregnan a \mathbb{Q}. Debido a que esta es la diferencia entre la definición de los números racionales y los números reales, vamos a ser excesivamente precisos acerca de la forma en que redactamos esta suposición, en lo sucesivo conocida como el Axioma de Completitud.

Axioma de Completitud: Cada conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene una cota superior mínima.

Ahora, ¿qué significa esto exactamente?

Primero vamos a exponer las definiciones pertinentes, y luego veremos algunos ejemplos.


Un conjunto A\subseteq\mathbb{R} está acotado superiormente si existe un número b\in\mathbb{R} tal que a\leq b para todo a\in A. Al número b se lo llama una cota superior de A.

Del mismo modo,

el conjunto A está acotado inferiormente si existe una cota inferior l\in\mathbb{R} que satisface l\leq a para todo a\in A.


Un número real s es la menor cota superior de un conjunto A\subseteq\mathbb{R} si cumple los dos criterios siguientes:

  • s es una cota superior de A;
  • si b es cualquier cota superior de A, entonces s\leq b.

A la menor cota superior se la llama también frecuentemente el supremo del conjunto A. Aunque la notación s=\text{lub }A es común todavía, siempre vamos a escribir s=\sup A para la menor cota superior.

La mayor cota inferior o ínfimo de A se define de forma similar y se denota por \inf A.


 

Aunque un conjunto puede tener una serie de cotas superiores, sólo puede tener una menor cota superior o supremo. Si s_{1} y s_{2} son ambos supremos para un conjunto A, entonces por la segunda propiedad en la Definición podemos afirmar que s_{1}\leq s_{2} y que s_{2}\leq s_{1}. La conclusión es que s_{1}=s_{2} y los supremos son únicos.


Ejemplo. Sea

A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\ldots\right\}.

El conjunto A está acotado por arriba y por abajo. Los candidatos seleccionados para una cota superior incluyen a 3, 2 y 3/2. Para el supremo, afirmamos que \sup A=1. Para argumentar esto rigurosamente utilizando la Definición dada, tenemos que verificar que se cumplen las dos propiedades. Para la primera sólo observamos que 1\geq 1/n para todas las elecciones de n\in\mathbb{N}. Para verificar la segunda partimos del supuesto de que estamos en posesión de alguna otra cota superior b. Debido a que 1\in A y que b es una cota superior de A, debemos tener 1\leq b. Esto es precisamente lo que la propiedad nos pide demostrar.

A pesar de que no tenemos en absoluto las herramientas que necesitamos para una demostración rigurosa, debe ser algo evidente que \inf A=0. \diamondsuit


Una lección importante que nos deja el Ejemplo anterior es que \sup A e \inf A pueden o no ser elementos del conjunto A. Este problema está ligado a la comprensión de la diferencia crucial entre el máximo y el supremo (o el mínimo y el ínfimo) de un conjunto dado.


Un número real a_{0} es un máximo del conjunto A si a_{0} es un elemento de A y a_{0}\geq a para todo a\in A. Del mismo modo, un número a_{1} es un mínimo de A si a_{1}\in A y a_{1}\leq a para todo a\in A.


Ejemplo. Consideremos el intervalo abierto

(0,2)=\left\{x\in\mathbb{R}:0<x<2\right\},

y el intervalo cerrado

[0,2]=\left\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq 2\right\}.

Ambos conjuntos están acotados superiormente (e inferiormente), y ambos tienen el mismo supremo: 2. Sin embargo, no es el caso que ambos conjuntos tienen un máximo. Un máximo es un tipo específico de cota superior de la que se requiere ser un elemento del conjunto en cuestión, y el intervalo abierto (0,2) no posee tal elemento. Por lo tanto, puede existir el supremo y no ser un máximo, pero cuando un máximo existe entonces también es el supremo. \diamondsuit


Vamos a dirigir ahora nuestra atención hacia el Axioma de Completitud. Aunque podemos ver ahora que no todo conjunto acotado no vacío contiene un máximo, el Axioma de Completitud afirma que todos estos conjuntos tiene una menor cota superior o supremo. No vamos a probar esto. En matemática un axioma es una suposición aceptada para ser utilizada sin demostración. Preferiblemente, un axioma debe ser una afirmación elemental sobre el sistema en cuestión que es tan fundamental que no parece necesitar ninguna justificación. Tal vez el Axioma de Completitud se ajusta a esta descripción, y tal vez no lo hace. Antes de decidir, recordemos por qué no es una afirmación válida sobre \mathbb{Q}.


Ejemplo. Consideremos nuevamente el conjunto

S=\left\{r\in\mathbb{Q}:r^{2}<2\right\},

y pretendamos por un momento que nuestro mundo se compone sólo de los números racionales. El conjunto S está sin duda acotado superiormente. Tomar b=2 funciona, al igual que b=3/2. Pero notemos lo que sucede a medida que avanzamos en busca de la menor cota superior. (Puede ser útil aquí saber que el desarrollo decimal de \sqrt{2} comienza con 1,4142\ldots.) Podríamos probar con b=142/100, que de hecho es una cota superior, pero luego descubrimos que b=1415/1000 es una cota superior que es más pequeña aún. ¿Hay una aún más pequeña?

En los números racionales no lo hay. En los números reales, sí lo hay. De vuelta en \mathbb{R}, el Axioma de Completitud afirma que podemos tomar \alpha=\sup S y estar seguros de que existe un número tal. Ya demostraremos más adelante que \alpha^{2}=2. Pero de acuerdo con el Teorema respecto de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, esto implica que \alpha no es un número racional. Si restringimos nuestra atención sólo a los números racionales, entonces \alpha no es una opción admisible para \sup S, y la búsqueda de una menor cota superior continúa indefinidamente. Cualquiera sea la cota superior racional descubierta, siempre es posible encontrar una más pequeña. \diamondsuit


Las herramientas necesarias para llevar a cabo los cálculos descritos en el Ejemplo anterior dependen de algunos resultados sobre la forma en que \mathbb{Q} y \mathbb{N} caben dentro de \mathbb{R}, lo que será tema de otra entrada.

Tenemos así, o al menos eso pretendía esta entrada, una caracterización clara del Axioma de Completitud, así como una primera aproximación a nuestra definición del conjunto de los números reales como un cuerpo completo.


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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