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Posts Tagged ‘Bertrand Russell’

Gottlob Frege realizó un trabajo sustancial en lógica matemática durante el siglo XIX; de hecho, es visto por muchos como el padre de la lógica matemática moderna. El lenguaje que creó para analizar rigurosamente la aritmética se desarrollaría luego en la sintaxis y la notación de la teoría de la demostración moderna. 

Gottlob Frege nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, Alemania, hijo de Alexander Frege y Auguste Bialloblotzky. Su padre era director de una escuela secundaria para niñas en Wismar, y Gottlob asistió al Gymnasium allí. De 1869 a 1871 fue alumno en Jena, y después de este período se matriculó en la Universidad de Göttingen, donde tomó cursos de matemática, física, química y filosofía. Dos años más tarde obtuvo su doctorado en filosofía con la tesis Über eine geometrische Darstellung der imaginaren Gebilde in der Ebene (Sobre una representación geométrica de cosas imaginarias en el plano). Su disertación de 1874 se refería a ciertos grupos de funciones. En esta época, comenzó a trabajar en el proyecto de proporcionar una base rigurosa a la aritmética. Frege deseaba definir el número y la cantidad de una manera satisfactoria, y recurrió a la lógica como un vehículo apropiado.  

En este período de la historia, había poco en el camino acerca de un tratamiento coherente de la lógica matemática. Como Frege quería ser preciso en su desarrollo de la teoría de números, decidió construir un lenguaje de lógica para formular sus ideas. Las herramientas para analizar demostraciones matemáticas se publicaron en Begriffschrift en 1879, y algunas de las ideas de su disertación en Jena entraron en su concepto de cantidad. En el mismo año, fue nombrado profesor extraordinario en Jena, y fue nombrado profesor honorario en 1896. Su diligente trabajo hacia la construcción lógica de la aritmética a lo largo de los años dio lugar a su Grundgesetze der Arithmetik en dos volúmenes (Leyes básicas de la aritmética) ) (1893-1903). En 1902 Bertrand Russell señaló una contradicción en el sistema de la aritmética de Frege; este comentario resultó ser desastroso, ya que Frege no pudo encontrar ninguna forma de remediar el problema. De hecho, como demostraría el trabajo posterior de Kurt Gödel, cualquier esfuerzo para construir teorías de números completas y consistentes estaba condenado al fracaso. 

El Begriffschrift debe verse como un lenguaje formal, como un vehículo, para el pensamiento puro. Este lenguaje consistía en varios símbolos (como letras) que podían combinarse de acuerdo con ciertas reglas (la gramática) para formar enunciados. Al igual que con la aritmética, después de la cual se modeló el lenguaje de Frege, se podían realizar cálculos cuyo resultado sería un cálculo lógico en lugar de una cantidad numérica. La idea de un cálculo lógico se remonta al menos a Gottfried Leibniz, quien supuso que un día todo el debate filosófico podría reducirse a cálculos lógicos. El cálculo de Frege podía usarse para formalizar la noción de una demostración matemática, de modo que uno pudiera, esencialmente, calcular la conclusión.  

Los componentes básicos del cálculo de Frege son un símbolo de afirmación (representado por un trazo vertical), un símbolo condicional (por ejemplo, A implica B) y una regla de deducción que establece lo siguiente: si afirmamos A y A implica B, entonces podemos afirmar B. Frege también desarrolló la notación para la negación, y demostró que el “y” y el “o” podían expresarse en términos de los símbolos condicional y de negación. Además de estas nociones básicas, añadió una teoría de la cantidad, definiendo rigurosamente nociones tales como “para todo” y “existe”.

Hay una escuela de matemática llamada formalismo, cuyos partidarios creen que no hay un significado verdadero o inherente a la matemática, sino que la matemática es puramente un lenguaje formal con el cual otras ideas pueden expresarse, y la verdad matemática puede alcanzarse solo jugando de acuerdo a las reglas del juego. Frege no era un formalista y no estaba interesado en aplicar su sistema a las preguntas relacionadas con una agenda formalista. Irónicamente, su trabajo fue bastante adecuado como base para la lógica formal.

El trabajo de Frege Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la aritmética) (1884) define la noción de número y se basa en el lenguaje introducido en Begriffschrift. Aquí hace una crítica a las teorías de números anteriores, señalando sus insuficiencias; él argumenta que la igualdad de número es un componente esencial de la noción de número. Grundgesetze incorpora y refina su trabajo anterior, incluidas las mejoras basadas en varios artículos. Muchas de estas ideas tuvieron una gran influencia en la discusión filosófica subsiguiente, en particular influyendo en la filosofía de Wittgenstein.

Después de 1903, la potencia del pensamiento de Frege estaba en declive; parecía incapaz de mantenerse al día con una cultura matemática cada vez más moderna y extraña. En este último período, gastó su energía reaccionando contra varios nuevos desarrollos en matemática, y especialmente entró en conflicto con David Hilbert y su programa para la axiomatización de la matemática. En 1917 Frege se retiró, y después de esto produjo Logische Untersuchungen (Investigaciones lógicas) como una extensión del trabajo anterior. Murió en Bad Kleinen, Alemania, el 26 de julio de 1925.

Frege es principalmente recordado por su trabajo en lógica matemática, que condujo a la teoría moderna de la demostración. Otros grandes lógicos como Russell y Gödel continuaron su trabajo. Aunque el esfuerzo de Frege para construir una teoría de números completa y consistente estaba condenado al fracaso, las ideas que formuló en el curso de su investigación influyeron mucho en las generaciones posteriores de matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Uno de los temas más controvertidos de la matemática del siglo XX fue la base lógica de la disciplina; específicamente, ciertos matemáticos estaban trabajando para demostrar que la formulación axiomática de la matemática era consistente (que cualquier proposición podría ser verdadera o falsa, pero no ambas). Brouwer representó una oposición a esta agenda, presentando su matemática intuicionista como una alternativa deseable.  

Luitzen Brouwer nació el 27 de febrero de 1881, en la ciudad de Overschie en los Países Bajos. Era intelectualmente precoz, completando su educación secundaria a la edad de 14 años; en 1897 ingresó en la Universidad de Ámsterdam, donde estudió matemática durante los siguientes siete años. Brouwer dominó rápidamente la matemática contemporánea, y obtuvo nuevos resultados con respecto a los movimientos continuos en variedades. 

Los intereses de Brouwer eran diversos. Su actividad matemática incluía topología, mapeos y lógica, así como filosofía mística. Su visión personal de la matemática como una actividad mental libre era constructivista y difería mucho del enfoque formalista defendido por David Hilbert y Bertrand Russell. Brouwer participó en el debate sobre los fundamentos de la matemática; rechazó la idea de que la lógica debería ser el pilar de la matemática; más bien, la lógica era solo una expresión de regularidades y patrones notorios en los sistemas construidos. La extrañeza de este punto de vista se hizo evidente cuando Brouwer atacó la ley del tercero excluido, que establece que o bien una declaración dada o su negación lógica debe ser verdadera (que se utiliza en el método “prueba por contradicción”). 

La tesis doctoral de Brouwer de 1907, On the Foundations of Mathematics, expresa sus opiniones. De estas ideas nació la “matemática intuicionista”, que pone énfasis en la capacidad de construir objetos matemáticos. Rechazó la ley del tercero excluido en su sistema y criticó el intento de Hilbert de probar la coherencia de la aritmética. 

En los cinco años desde 1907 hasta 1912, Brouwer descubrió varios valiosos resultados. Estudió el quinto problema de Hilbert, la teoría de grupos continuos, y en el proceso descubrió el teorema de la traslación plano y el “teorema de la bola peluda“. 

Brouwer también estudió varios mapeos topológicos, desarrollando la técnica de usar las llamadas “simplices” para aproximar mapeos continuos. El grado asociado condujo a la noción de clase de homotopía, que permitió la clasificación topológica de muchas variedades. Como resultado, la noción de dimensión (en el sentido topológico) se asentó en una posición más rigurosa.  

En 1912 fue nombrado profesor de matemática en la Universidad de Ámsterdam, y pronto reanudó su investigación sobre los fundamentos de la matemáticas En 1918 publicó una teoría de conjuntos diferente, que no se basaba en la ley del tercero excluido, seguida de nociones similares de medida y función en los años siguientes. Como era de esperar, los teoremas que obtuvo son algo diferentes (por ejemplo, las funciones reales son siempre uniformemente continuas). Por estas razones, sus resultados no fueron totalmente aceptados, y muchos matemáticos simplemente han ignorado su punto de vista. La prueba por contradicción es un método de demostración muy poderoso y comúnmente utilizado; los matemáticos no están dispuestos a renunciar a los muchos teoremas que pueden establecer abrazando el sistema potencialmente más riguroso de Brouwer. 

A partir de 1923, Brouwer se centró en su agenda intuicionista, intentando persuadir a los matemáticos para que rechazaran la ley del tercero excluido. A fines de la década de 1920, los lógicos comenzaron a investigar la conexión de la lógica de Brouwer con la lógica clásica; después de que los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel aniquilaran el programa de David Hilbert, más personas se interesaron en el enfoque intuicionista de la matemática. 

Brouwer ganó el reconocimiento internacional de varias sociedades y academias. Murió en Blaricum, Países Bajos, el 2 de diciembre de 1966. Aunque sus esfuerzos por persuadir a los matemáticos de su propio punto de vista no tuvieron éxito (nuevamente, esto se debió en parte a la renuencia a abandonar la poderosa herramienta de la prueba por contradicción, y también porque el marco intuicionista está enraizado en la filosofía mística), Brouwer concientizó sobre las limitaciones de cualquier sistema matemático y predijo correctamente la desaparición de cualquier intento de establecer la consistencia y la integridad de un sistema axiomático. Es un personaje importante en la historia de la lógica matemática, que representa el contramovimiento antirracionalista de la mística que surgió en el siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Una serie de matemáticos del siglo XIX encontró fallas en el programa de reducción de la matemática a la aritmética y la teoría de conjuntos, como sugiere la obra de Cantor y Frege. En particular, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) se opuso a las construcciones impredicativas, que construyen una entidad de cierto tipo en términos de entidades del mismo tipo o de tipo superior, es decir, construcciones y definiciones auto-referenciadas.

Henri Poincaré

Parecía que para hacer un análisis ordinario se requerían construcciones impredicativas. Russell y Whitehead intentaron infructuosamente basar la matemática en una teoría de tipo predicativo.

B. Russell y A. N. Whitehead

Pero, aunque renuentes, tuvieron que introducir un axioma adicional, el axioma de la reducibilidad, que lograba alcanzar el objetivo después de todo. Más recientemente, el lógico sueco Per Martin-Löf presentó una nueva teoría de tipo predicativo, pero nadie afirma que sea adecuada para todo el análisis clásico. Sin embargo, el matemático alemán-americano Hermann Weyl (1885-1955) y el matemático estadounidense Solomon Feferman demostraron que argumentos impredicativos como los anteriores pueden ser evitados y no son necesarios para la mayoría, o incluso para todo el análisis. Por otro lado, como lo señaló el científico italiano Giuseppe Longo (1941-), las construcciones impredicativas son extremadamente útiles en informática, es decir, para producir puntos fijos (entidades que permanecen sin cambios en un proceso dado).

Per Martin-Löf

Hermann Weyl

Solomon Feferman

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