Giuseppe Peano

Giuseppe Peano fue uno de los matemáticos más talentosos de finales del siglo XIX; destacaba por su atención al rigor y al detalle. Su trabajo sobre lógica matemática y teoría de conjuntos le ha ganado fama, pero también contribuyó a proyectos pedagógicos que demostraron no ser importantes. El genio creativo de Peano dio a luz a la famosa curva de Peano, y también construyó los axiomas de Peano.

Giuseppe Peano nació el 27 de agosto de 1858 en Cuneo, Italia. Sus padres eran agricultores, y Peano viajaba a pie todos los días a la escuela en Cuneo. Su tío era un sacerdote que reconoció los talentos naturales del niño y lo llevó a Turín en 1870 para prepararlo para los estudios universitarios. Peano comenzó en la Universidad de Turín en 1876, y allí estudió matemática, recibiendo su doctorado en 1880.

Peano tenía una habilidad notable para detectar las fallas lógicas en los argumentos. Al graduarse, fue nombrado asistente de Angelo Genocchi, y Peano pronto detectó un error en el libro de texto para uno de los cursos. La mayoría de las veces se hacía cargo de las clases de Genocchi, ya que el profesor ya mayor estaba enfermo, y en 1884 publicó un texto de las notas del curso. También había publicado ya varios trabajos de investigación después de 1880, y calificó para enseñar a nivel universitario en 1884.

En 1886, Peano investigó cuestiones de existencia y singularidad en la teoría de las ecuaciones diferenciales, y luego desarrolló un método para resolver tales ecuaciones utilizando aproximaciones sucesivas. También estaba enseñando en la Academia Militar en este momento, y luego fue designado para ocupar el cargo de Genocchi en Turín después de su muerte en 1889. Mientras tanto, publicó Geometrical Calculus en 1888, que comenzaba con un capítulo sobre lógica matemática, y desarrolló el concepto de espacio vectorial de Hermann Günter Grassmann. Peano empleó una notación moderna para este trabajo, que se basó en las ideas de Charles Sanders Peirce y George Boole. En 1889 publicó sus famosos axiomas de Peano, que definían los números naturales en términos de conjuntos, y definía de manera rigurosa tales ideas como prueba por inducción. Esta fue una contribución significativa a los fundamentos de la matemática, y sería explotada y desarrollada por muchos de los sucesores de Peano. 

Peano también es famoso por sus «curvas que rellenan el espacio». Definió un mapeo continuo del intervalo unitario en el cuadrado unitario, en esencia construyendo una curva unidimensional que llenaba un espacio bidimensional. Este mapeo no tiene un inverso continuo, ya que eso equivaldría a establecer que la línea y el plano tienen la misma dimensión. Sin embargo, muchos matemáticos se vieron perturbados por el resultado patológico, que siguió el mismo espíritu de la obra de Georg Cantor.

Una vez nombrado para su nuevo cargo en la Universidad de Turín, Peano fundó la revista Rivista de matematica en 1891. Como editor de la revista, pudo asegurarse de que se mantuvieran altos estándares de rigor. En 1892 se embarcó en un nuevo proyecto, el Formulario matematico, que debía ser una colección de definiciones, teoremas y métodos de todos los temas de la matemática, que podría usarse como texto básico para cada curso de matemática. Este monumental esfuerzo no se completó hasta 1908. Resultó tener poca popularidad, ya que este enfoque meticuloso de la matemática no facilitó su aprendizaje. Peano fue considerado un buen maestro antes de la implementación del Formulario; después, los estudiantes y miembros de la facultad se quejaron de la aburrida exactitud de su método. 

Uno de los puntos culminantes de la carrera de Peano fue el Congreso Internacional de Filosofía celebrado en París en 1900. La formación lógica de Peano le permitió brillar entre sus colegas filósofos menos rigurosos, ya que pudo ganar todos los argumentos filosóficos en los que se vio envuelto. Su presencia allí causó una gran impresión en el joven Bertrand Russell, quien estaba emocionado por el poder de su notación y metodología. Peano también asistió a un congreso similar de matemáticos, en el que David Hilbert expuso sus famosos 23 problemas para el siglo XX. Peano estaba intrigado por el problema de Hilbert sobre los axiomas de la aritmética.

Los últimos años de Peano se dedicaron a un nuevo proyecto: la construcción de un nuevo idioma basado en el francés, el latín, el inglés y el alemán. El resultado «Latino sine flexione«, más tarde llamado Interlingua, ha tenido poca utilidad y es irrelevante para el desarrollo de la matemática. Peano murió el 20 de abril de 1932 en Turín, Italia. Fue un matemático brillante de gran precisión, estableciendo estándares de rigor que no eran comunes en ese momento. Su meticulosidad parece más apropiada para la era actual de la matemática. A pesar de que su trabajo en el Formulario y el Latino sine flexione pueden considerarse distracciones, sus contribuciones a la matemática son, sin embargo, muy importantes. Debe ser considerado como uno de los primeros fundadores de la lógica matemática. La curva de Peano también es una importante contribución a la topología y al estudio de la geometría fractal.

 

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Kurt Friedrich Gödel

A principios del siglo XX, tres escuelas de pensamiento dominaban la lógica matemática: el formalismo, el intuicionismo y el logicismo. El formalismo enseñaba que la matemática era principalmente una sintaxis en la cual se introduce el significado, el intuicionismo enfatizaba el papel de la intuición sobre la razón pura, y el logicismo veía la matemática como parte de la lógica. Kurt Gödel estableció un nuevo modo de pensamiento, a saber, que la lógica matemática era una rama de la matemática, que tenía solo ramificaciones indirectas en la filosofía. Sus teoremas, especialmente su teorema de incompletitud, le han valido una considerable fama como matemático de primer nivel, ya que su trabajo es extremadamente relevante para las preguntas epistemológicas (preguntas relacionadas con los fundamentos del conocimiento). 

Kurt Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brno, República Checa, que en ese momento era parte del Imperio austriaco. Rudolf Gödel, su padre, era un tejedor que finalmente obtuvo una cantidad significativa de propiedades. Marianne Handschuh, su madre, tuvo una educación liberal, y la casa en la que crecieron Gödel y su hermano mayor Rudolf fue de clase alta. Gödel tuvo una infancia feliz, y era llamado «Sr. Por qué» por su familia, debido a sus numerosas preguntas. Fue bautizado como luterano y permaneció como teísta (creyente en un Dios personal) durante toda su vida. 

Gödel avanzó rápidamente a través de la escuela, sobresaliendo en matemáticas, idiomas y religión en una escuela secundaria alemana en Brno. También se interesó en la filosofía después de 1920, y el famoso filósofo Immanuel Kant fue influyente a lo largo de la vida de Gödel. Cuando se graduó en 1924, Gödel ya dominaba gran parte de las matemáticas universitarias, y por eso estaba muy bien preparado para ingresar a la Universidad de Viena. Inicialmente consideró tomar un título en física, pero después de algunas clases de teoría de números, Gödel se cambió a la matemática. De 1926 a 1928 estuvo involucrado en el Círculo de Viena, un grupo de positivistas lógicos interesados en la epistemología. Poco a poco, Gödel se alejó de estos filósofos debido a su propia posición platónica. El platonismo, tal como se aplica a la filosofía de la matemática, defiende la creencia en la verdadera realidad abstracta de los objetos matemáticos (como los números), que alcanzan realizaciones particulares concretas en el mundo. 

En 1929 murió el padre de Gödel, y en el mismo año Gödel completó su disertación. Recibió su doctorado en matemática en 1930. Este documento proporcionaba el teorema de completitud para la lógica de primer orden, que mostraba que cada fórmula válida en lógica de primer orden era demostrable. El término completitud se refiere a la cuestión de si cada teorema matemático verdadero tiene una prueba; por lo tanto, los sistemas incompletos son algo místicos, ya que contienen afirmaciones verdaderas que no pueden establecerse solo a través de la razón y la lógica. Más tarde, en 1930, Gödel anunció su famoso teorema de la incompletitud: existen proposiciones verdaderas de la teoría de números para las cuales no existe ninguna prueba. Este resultado tuvo enormes ramificaciones en la matemática, ya que destruyó efectivamente los esfuerzos de los matemáticos para construir un cálculo lógico que probaría todas las afirmaciones verdaderas; también influyó en la filosofía y la epistemología. La versión filosófica del teorema dice que en cualquier sistema de pensamiento, uno no puede producir una prueba para cada enunciado verdadero, siempre y cuando uno esté restringido a ese sistema. 

En los años siguientes, Gödel publicó numerosos artículos sobre lógica y trabajó como profesor en la Universidad de Viena. Aunque la extrema timidez lo convirtió en un pobre orador público, el contenido de sus conferencias incluía la investigación más reciente sobre los fundamentos de la matemática. En 1933 visitó el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton donde pasaría cada vez más tiempo a medida que empeoraba la situación política en Europa. Gödel también sufría de depresión mental, y estuvo internado en un sanatorio en Europa en 1934 después de un ataque de nervios. En 1935 regresó a los Estados Unidos y continuó su importante trabajo nuevo en la teoría de conjuntos, obteniendo un avance significativo en relación con el axioma de elección. Poco después renunció, sufriendo de exceso de trabajo y depresión, y regresó a Austria. Su trabajo de este período de tiempo mostró que el axioma de elección y la hipótesis del continuo, dos postulados importantes de la teoría de conjuntos, eran relativamente consistentes (consistencia significa que un postulado dado no contradice los otros axiomas del sistema). 

En 1938 Gödel se casó con Adele Porkert Nimbersky, una bailarina de discoteca. Pronto se vieron obligados a huir a los Estados Unidos debido a la persecución nazi en Austria: la asociación de Gödel con judíos y liberales lo convirtió en blanco de la discriminación. Se le impidió continuar su cátedra en Viena, e incluso fue atacado por estudiantes de derecha. Como resultado, Gödel y su esposa regresaron a Princeton en 1940, escapando de Austria hacia el este a través del Ferrocarril Transiberiano. 

En Princeton, el introvertido Gödel tenía una vida social tranquila; sin embargo, desarrolló algunas amistades cercanas con sus colegas, incluido Albert Einstein. Fuera de esta relación, Gödel se interesó cada vez más por la teoría de la relatividad; más tarde, después de 1947, contribuyó a la cosmología presentando modelos matemáticos en los que el viaje en el tiempo era lógicamente posible. En 1943, Gödel recurrió cada vez más a la investigación filosófica, donde expresó sus puntos de vista platónicos y criticó el logicismo de Bertrand Russell. 

En la última parte de su vida, Gödel recibió numerosos honores y premios, como el Einstein Award en 1951 y la National Medal of Science en 1974. Es interesante que se negó rotundamente a recibir honores de las instituciones académicas austriacas debido al tratamiento previo que recibió. En 1953 se convirtió en profesor titular en el instituto, continuó su trabajo sobre lógica y cosmología, y en 1976 se retiró como profesor emérito. Murió el 14 de enero de 1978, en Princeton, después de sufrir depresión, paranoia y desnutrición: creyendo que su comida estaba siendo envenenada, Gödel se negó a comer y murió de hambre. 

Kurt Gödel hizo descubrimientos extraordinarios en lógica matemática y teoría de conjuntos. Su trabajo en cosmología y filosofía también es digno de mención. Gödel estableció esencialmente el marco para las investigaciones modernas. Como demostró que la teoría de números era incompleta, el proyecto de David Hilbert y los lógicos anteriores para mecanizar la demostración de la matemática se volvió impráctico. En cambio, los lógicos comenzaron a enfocarse en las preguntas de integridad y consistencia de varios tipos de sistemas lógicos. Este cambio de paradigma se debió al épico teorema de incompletitud de Gödel. Sus resultados sobre el axioma de elección y la hipótesis del continuo enfatizaron la naturaleza relativa de cualquier respuesta a estas preguntas; también aquí un nuevo y rico campo de investigación teórica se generó a partir de los descubrimientos iniciales de Gödel. En un sentido más amplio, las ideas de Gödel han influido en innumerables filósofos y científicos informáticos, con ramificaciones en epistemología e inteligencia artificial.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Friedrich Ludwig Gottlob Frege

Gottlob Frege realizó un trabajo sustancial en lógica matemática durante el siglo XIX; de hecho, es visto por muchos como el padre de la lógica matemática moderna. El lenguaje que creó para analizar rigurosamente la aritmética se desarrollaría luego en la sintaxis y la notación de la teoría de la demostración moderna. 

Gottlob Frege nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, Alemania, hijo de Alexander Frege y Auguste Bialloblotzky. Su padre era director de una escuela secundaria para niñas en Wismar, y Gottlob asistió al Gymnasium allí. De 1869 a 1871 fue alumno en Jena, y después de este período se matriculó en la Universidad de Göttingen, donde tomó cursos de matemática, física, química y filosofía. Dos años más tarde obtuvo su doctorado en filosofía con la tesis Über eine geometrische Darstellung der imaginaren Gebilde in der Ebene (Sobre una representación geométrica de cosas imaginarias en el plano). Su disertación de 1874 se refería a ciertos grupos de funciones. En esta época, comenzó a trabajar en el proyecto de proporcionar una base rigurosa a la aritmética. Frege deseaba definir el número y la cantidad de una manera satisfactoria, y recurrió a la lógica como un vehículo apropiado.  

En este período de la historia, había poco en el camino acerca de un tratamiento coherente de la lógica matemática. Como Frege quería ser preciso en su desarrollo de la teoría de números, decidió construir un lenguaje de lógica para formular sus ideas. Las herramientas para analizar demostraciones matemáticas se publicaron en Begriffschrift en 1879, y algunas de las ideas de su disertación en Jena entraron en su concepto de cantidad. En el mismo año, fue nombrado profesor extraordinario en Jena, y fue nombrado profesor honorario en 1896. Su diligente trabajo hacia la construcción lógica de la aritmética a lo largo de los años dio lugar a su Grundgesetze der Arithmetik en dos volúmenes (Leyes básicas de la aritmética) ) (1893-1903). En 1902 Bertrand Russell señaló una contradicción en el sistema de la aritmética de Frege; este comentario resultó ser desastroso, ya que Frege no pudo encontrar ninguna forma de remediar el problema. De hecho, como demostraría el trabajo posterior de Kurt Gödel, cualquier esfuerzo para construir teorías de números completas y consistentes estaba condenado al fracaso. 

El Begriffschrift debe verse como un lenguaje formal, como un vehículo, para el pensamiento puro. Este lenguaje consistía en varios símbolos (como letras) que podían combinarse de acuerdo con ciertas reglas (la gramática) para formar enunciados. Al igual que con la aritmética, después de la cual se modeló el lenguaje de Frege, se podían realizar cálculos cuyo resultado sería un cálculo lógico en lugar de una cantidad numérica. La idea de un cálculo lógico se remonta al menos a Gottfried Leibniz, quien supuso que un día todo el debate filosófico podría reducirse a cálculos lógicos. El cálculo de Frege podía usarse para formalizar la noción de una demostración matemática, de modo que uno pudiera, esencialmente, calcular la conclusión.  

Los componentes básicos del cálculo de Frege son un símbolo de afirmación (representado por un trazo vertical), un símbolo condicional (por ejemplo, A implica B) y una regla de deducción que establece lo siguiente: si afirmamos A y A implica B, entonces podemos afirmar B. Frege también desarrolló la notación para la negación, y demostró que el «y» y el «o» podían expresarse en términos de los símbolos condicional y de negación. Además de estas nociones básicas, añadió una teoría de la cantidad, definiendo rigurosamente nociones tales como «para todo» y «existe».

Hay una escuela de matemática llamada formalismo, cuyos partidarios creen que no hay un significado verdadero o inherente a la matemática, sino que la matemática es puramente un lenguaje formal con el cual otras ideas pueden expresarse, y la verdad matemática puede alcanzarse solo jugando de acuerdo a las reglas del juego. Frege no era un formalista y no estaba interesado en aplicar su sistema a las preguntas relacionadas con una agenda formalista. Irónicamente, su trabajo fue bastante adecuado como base para la lógica formal.

El trabajo de Frege Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la aritmética) (1884) define la noción de número y se basa en el lenguaje introducido en Begriffschrift. Aquí hace una crítica a las teorías de números anteriores, señalando sus insuficiencias; él argumenta que la igualdad de número es un componente esencial de la noción de número. Grundgesetze incorpora y refina su trabajo anterior, incluidas las mejoras basadas en varios artículos. Muchas de estas ideas tuvieron una gran influencia en la discusión filosófica subsiguiente, en particular influyendo en la filosofía de Wittgenstein.

Después de 1903, la potencia del pensamiento de Frege estaba en declive; parecía incapaz de mantenerse al día con una cultura matemática cada vez más moderna y extraña. En este último período, gastó su energía reaccionando contra varios nuevos desarrollos en matemática, y especialmente entró en conflicto con David Hilbert y su programa para la axiomatización de la matemática. En 1917 Frege se retiró, y después de esto produjo Logische Untersuchungen (Investigaciones lógicas) como una extensión del trabajo anterior. Murió en Bad Kleinen, Alemania, el 26 de julio de 1925.

Frege es principalmente recordado por su trabajo en lógica matemática, que condujo a la teoría moderna de la demostración. Otros grandes lógicos como Russell y Gödel continuaron su trabajo. Aunque el esfuerzo de Frege para construir una teoría de números completa y consistente estaba condenado al fracaso, las ideas que formuló en el curso de su investigación influyeron mucho en las generaciones posteriores de matemáticos.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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