Zenón de Elea

Los matemáticos griegos clásicos rehuyeron el estudio del infinito, tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño (lo infinitesimal). Los infinitesimales son la piedra angular del cálculo, y muchos griegos, como Arquímedes de Siracusa, dieron los primeros pasos vacilantes hacia un descubrimiento completo del cálculo. Sin embargo, la mayoría rechazó la noción de cantidades infinitamente divisibles, como un continuo, y esta reacción se debió en gran parte a las paradojas de Zenón.

Zenón de Elea nació aproximadamente en el año 490 a.C. en Elea, Italia. Él es de ascendencia griega a pesar de su nacimiento en Italia, y es considerado en la historia miembro del grupo de filósofos griegos. Existe muy poca información confiable sobre su vida, pero se dice que su padre era Telautagoras. Zenón finalmente estudió en la escuela de filosofía de Elea, donde conoció a su maestro Parménides. La escuela eleática, fundada por Parménides, enseñó el monismo, el concepto de que todo es uno. Esta filosofía influyó en Zenón para formular varias paradojas que desafiaban los conceptos de divisibilidad infinita.

Platón afirma que Zenón y Parménides viajaron a Atenas en el 450 a.C., donde se encontraron con el joven Sócrates y discutieron filosofía con él. Antes de viajar a Atenas, Zenón ya había adquirido cierta fama a través de la publicación de un libro (que no ha sobrevivido) que contenía 40 paradojas. Estas paradojas forman una disección profundamente estimulante del concepto del continuo, perturbando así las cómodas nociones de cosas comunes como el movimiento, el tiempo y el espacio. Una de las suposiciones de Zenón es la divisibilidad: si una magnitud se puede dividir en dos, entonces se puede dividir para siempre. El trabajo de Richard Dedekind luego establecería esta propiedad de continuo para los números reales. Zenón también asumió que no existe ningún objeto de magnitud cero (no lo expresó de esta manera, ya que los griegos no tenían el cero).

En la paradoja llamada «La dicotomía», Zenón afirma que para atravesar una distancia, primero es necesario atravesar la mitad de esa distancia; pero para llegar a la mitad, primero se requiere ir un cuarto del camino. Continuando con este razonamiento indefinidamente, Zenón concluye que comenzar es imposible y que, por lo tanto, el movimiento es imposible. Esta paradoja generalmente se resuelve sumando la serie geométrica de potencias recíprocas de dos. En «La flecha», Zenón declara que el movimiento es imposible, porque (suponiendo que la instancia actual de tiempo «ahora» es indivisible) si una flecha se mueve cierta distancia en un instante de tiempo indivisible, entonces se movió la mitad de esa distancia en la mitad del tiempo, lo que resulta en una división del instante. Esto puede resolverse permitiendo que el tiempo sea un continuo, infinitamente divisible.

La paradoja más famosa de Zenón es la de Aquiles: establece que se ejecuta una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga, donde la lenta tortuga comienza con una ventaja. Después de un tiempo, Aquiles alcanza la mitad de la distancia intermedia. Pero la tortuga ha seguido su camino; Aquiles luego corre la mitad de la distancia restante, pero nuevamente la tortuga ha avanzado más. ¡Llevando este argumento hasta el infinito, Zenón concluye que Aquiles nunca puede ponerse al día! Esto también se puede resolver configurando una serie geométrica adecuada. Sin embargo, las resoluciones de estas paradojas se basan en ciertas nociones de infinito y propiedades del continuo. La estructura matemática detrás de estos conceptos no se desarrolló hasta muchos siglos después. Sir Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Blaise Pascal sentaron las bases modernas del cálculo. A finales del siglo XIX, Georg Cantor, Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Bertrand Arthur William Russell realizaron trabajos más avanzados sobre el continuo, así como las propiedades básicas de los números reales, entre otros. Por lo tanto, la influencia de Zenón fue de gran alcance, ya que hizo algunas preguntas muy profundas sobre el tiempo, el espacio y el movimiento.

Zenón murió en algún momento alrededor del año 425 a.C., y una fuente cuestionable relata que fue ejecutado después de un intento fallido de eliminar a un tirano de Elea. Aunque era filósofo, las ideas de Zenón provocaron una revolución matemática milenios después, ya que sus paradojas apuntaban a la necesidad de proporcionar una base rigurosa a los conceptos intuitivos del espacio y el tiempo. Sus paradojas sobre el movimiento demostraron las dificultades de considerar la velocidad como una distancia dividida por el tiempo, ya que esta relación parece ser cero dividida por cero cuando el tiempo transcurrido de viaje se reduce a cero; solo con el descubrimiento de límites e infinitesimales en la disciplina del cálculo diferencial se resolvió este enigma. Además de proporcionar una gran cantidad de obstáculos mentales para los intelectuales posteriores, Zenón también sirvió para inhibir el crecimiento de las matemáticas griegas para abarcar el infinito; por lo tanto, fue una influencia retardadora clásica, pero milenios más tarde se convirtió en un impulso para el desarrollo matemático.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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François Viète

François Viète, junto con Pierre de Fermat, René Descartes y Blaise Pascal, fue uno de los principales fundadores de las matemáticas europeas. Se le conoce como el «padre del álgebra» debido a su introducción de tantos conceptos y notaciones importantes que todavía están en uso. Sin embargo, su trabajo matemático no se limitó al álgebra, sino que también contribuyó con la geometría, la trigonometría y el análisis.

Viète nació en 1540 en Fontenay-le-Comte, una ciudad en la provincia de Poitou, Francia. Su padre, Étienne Viète, era abogado en Fontenay-le-Comte, y su madre era Marguerite Dupont. Viète siguió la profesión de su padre y se graduó con una licenciatura en derecho de la Universidad de Poitiers en 1560. Durante cuatro años siguió una carrera legal antes de abandonarla para dedicarse a la ciencia y la matemática. Viète se convirtió en tutor de la hija de un noble en la ciudad de La Rochelle.

En los años siguientes, las guerras de religión francesas continuaron causando furor entre los católicos romanos y los protestantes. Viète era un hugonote, y naturalmente se alió con los protestantes. Más tarde en su vida se convirtió en víctima de persecución religiosa. Antes de 1570, cuando se fue de La Rochelle a París, trabajó en varios temas de matemática y ciencias, y publicó su primer trabajo matemático, el Canon Mathematicus seu ad triangular, en 1571. Este libro fue diseñado para proporcionar material matemático introductorio pertinente al área de la astronomía; incluía varias tablas trigonométricas, así como técnicas para estudiar triángulos planos y esféricos. Aquí, Viète primero da una notación para las fracciones decimales siendo un precursor de las notaciones modernas. La notación, especialmente en esta etapa inmadura en la historia de la matemática, era tremendamente importante para el avance del conocimiento, ya que daba un lenguaje conveniente y apropiado para expresar ideas sutiles. Podría decirse que la buena notación sigue siendo de vital importancia para las matemáticas abstractas modernas. Un ejemplo destacado de este punto es el sistema de números arábigos, que es esencialmente una notación que ha facilitado enormemente el cálculo y la teoría de números; otro ejemplo son las notaciones de ecuaciones algebraicas (con exponentes para potencias de cantidades desconocidas y letras para designar variables o constantes) introducidas en gran parte por el propio Viète.

En 1572, el rey Carlos IX autorizó la masacre de los hugonotes, pero Viète escapó y fue nombrado consejero del gobierno de Bretaña en 1573. En los años posteriores de inestabilidad política trabajó para Enrique III y, después de su asesinato, para Enrique IV. Viète fue nombrado primer consejero real de Enrique III en 1580 pero, después del ascenso del poder católico en París, fue desterrado en 1584 por su fe protestante. Pasó los siguientes cinco años en Beauvoir-sur-Mer, dedicándose a actividades matemáticas.

Enfocó sus labores iniciales en la astronomía, pues deseaba publicar un libro importante, que se convertiría en su Ad harmonicon coeleste, sobre astronomía. Esto nunca se completó, pero cuatro versiones manuscritas han sobrevivido a los estragos del tiempo. Estos manuscritos muestran que Viète se preocupaba principalmente por la geometría y las teorías planetarias de Copérnico y Claudio Ptolomeo.

En 1588, los católicos obligaron a Enrique III a huir de París, y instaron a Viète para que lo acompañara en el exilio. Viète fue nombrado miembro del parlamento del rey en su gobierno en Tours. Un fraile católico asesinó a Enrique III en 1589, y Viète entró al servicio del heredero, Enrique IV. Enrique IV, anteriormente protestante, se basó en gran medida en las habilidades de Viète, quien finalmente decodificó las transmisiones secretas del rey de España, que estaba tramando una invasión de Francia. Es interesante señalar que el rey español Felipe II, confiado en su cifrado, creyó que el conocimiento francés de sus planes militares se logró mediante magia negra. En este caso, fue la matemática en lugar de la brujería quien contribuyó en la tarea.

Estos eventos tuvieron lugar en 1590, y Viète, por su parte, dio conferencias en Tours. Éstas trataron varios supuestos avances en matemática, por ejemplo, había por entonces una prueba de que el círculo podía cuadrarse, y Viète demostró que estos argumentos eran erróneos. Quizás muestra una debilidad de carácter en él que se convirtiera al catolicismo romano en 1593, siguiendo el ejemplo de su señor, que probablemente se convirtió por razones políticas. Como resultado, Viète regresó a París.

Poco después, Viète participó en una competencia con el matemático holandés Adriaan von Roomen, quien planteó un problema que involucraba una ecuación de grado 45. Viète resolvió este problema y planteó una pregunta geométrica propia. Como resultado de este intercambio, surgió una amistad entre Roomen y Viète. Este último  continuó al servicio del rey hasta su despido en 1602. Murió el 13 de diciembre de 1603 en París, Francia.

Viète es considerado el fundador preeminente del álgebra. Por supuesto, hay numerosos matemáticos árabes (sin mencionar a los griegos) que hicieron contribuciones fundamentales al dar forma a las concepciones de lo que constituye la aritmética (por ejemplo, la introducción del número cero y los números negativos). Sin embargo, Viète ciertamente produjo el primer sistema algebraico completo con una notación consistente. En Introduction to the Analytic Art, publicado en Tours en 1591, Viète usó símbolos alfabéticos familiares para designar variables y constantes, usando vocales para incógnitas y consonantes para cantidades conocidas. Más tarde, Descartes introdujo la convención de que las letras del final del alfabeto deberían designar incógnitas, mientras que las letras del principio del alfabeto debían indicar cantidades conocidas. Sin embargo, Viète hizo una defensa convincente de su sistema de notación; la literatura anterior sobre ecuaciones algebraicas se basaba en expresiones inconvenientes, y con frecuencia las ecuaciones se describían con oraciones en lugar de símbolos abstractos. El uso de símbolos facilitó el cómputo.

Viète hizo poco uso de la matemática árabe, prefiriendo el estilo de los algebraistas italianos como Girolamo Cardano. Debería haber investigado los escritos árabes con más cuidado, ya que muchas de las ideas que presentó ya eran conocidas por los árabes. Sin embargo, Viète estableció un marco algebraico superior para los matemáticos europeos. Además, desarrolló la teoría de las ecuaciones algebraicas, aunque todavía adjuntaba una interpretación geométrica a las cantidades, como lo hacían los griegos. En esencia, esto limitaba los tipos de ecuaciones que podía examinar (por ejemplo, ecuaciones homogéneas). El siguiente nivel de abstracción algebraica fue iniciado por la siguiente generación, incluidos Descartes y Fermat. Sin embargo, la anotación de Viète para las ecuaciones algebraicas fue adoptada con ajustes menores por estos sucesores. Uno puede medir su influencia observando que el término coeficiente para la constante conocida que multiplica una variable desconocida se debe a Viète.

Además del trabajo estrictamente algebraico, Viète también investigó sobre análisis, geometría y trigonometría. Produjo métodos numéricos tempranos para resolver ecuaciones algebraicas, dio una nueva aproximación decimal para pi (así como una caracterización infinita del producto) y presentó métodos geométricos para duplicar el cubo y trisecar un ángulo.

El trabajo matemático de Viète es claramente parte de un movimiento intelectual de Arabia a Italia a Francia, y sus ideas dependían de varios contemporáneos, así como de sus predecesores, como Cardano y Leonardo Fibonacci. Pero su sistema algebraico representa la siguiente etapa en el pensamiento matemático sobre el álgebra, ya que proporcionó una base para futuras exploraciones y generalizaciones. A pesar de que se consideraba a sí mismo como un aficionado (y, de hecho, carecía de formación formal en matemáticas), pudo hacer contribuciones intelectuales que afectarían un cambio de paradigma en los círculos matemáticos.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Blaise Pascal

Blaise Pascal es famoso por su brillante trabajo fundacional en probabilidad, geometría e hidrostática, así como por sus reflexiones sobre la filosofía y la religión. El trabajo de Pascal en la matemática del juego, junto con el de Pierre de Fermat, sentó las bases de la teoría moderna de la probabilidad y la estadística y provocó un movimiento en Europa occidental hacia una sociedad «estocástica». Sus trabajos en el campo de la hidrostática fueron innovadores, proporcionando gran parte de la teoría detrás de la moderna tecnología hidráulica, mientras que sus esfuerzos en la apologética cristiana son notables por su claridad de pensamiento y comprensión de la naturaleza humana.

Pascal nació el 19 de junio de 1623 en Clermont (ahora Clermont-Ferrand) en la región francesa de Auvernia. Blaise fue el tercer hijo de Étienne Pascal, un matemático, quien educó a su único hijo. Antoinette Begon, su madre, murió cuando Pascal tenía solo tres años. Curiosamente, al joven Pascal no se le permitió estudiar matemática hasta los 12 años, cuando comenzó a leer los Elementos de Euclides de Alejandría. Sin embargo, incluso antes de este tiempo, el precoz niño estaba investigando la geometría por su cuenta.

Blaise acompañaría a su padre a las reuniones celebradas en París por Marin Mersenne, un sacerdote que promovió en gran medida la difusión y la comunicación de la matemática. En este contexto, Pascal desarrolló aún más sus habilidades matemáticas, siendo influenciado por el pensamiento de Girard Desargues. Pascal pronto se convirtió en el principal discípulo de Desargues en el estudio de la geometría, y en junio de 1639 descubrió el «hexagrama místico». Había encontrado que los lados opuestos de un hexágono inscritos en una sección cónica forman tres puntos que son colineales.

En diciembre de 1639 la familia Pascal se mudó a Rouen, donde Étienne logró un puesto como recaudador de impuestos. En 1640, Blaise publicó su primer trabajo, Ensayo sobre secciones cónicas, un resumen de un tratado sobre cónicas. Poco después, en 1642, comenzó un intento de mecanizar la suma y la resta para ayudar a su padre con sus cálculos contables. En 1645, Pascal había completado la construcción de la primera calculadora digital (aunque Wilhelm Schickard había diseñado un prototipo anterior en 1623 que no fue fabricado). El dispositivo, aunque no tuvo éxito financiero debido al costo de la construcción, era bastante similar a una calculadora mecánica de los años cuarenta.

Después de varios experimentos con la presión atmosférica, Pascal concluyó que a medida que la altitud aumenta, la presión del aire disminuye y que existe un vacío por encima de la atmósfera. Aunque cierto, estos hallazgos, publicados en 1647 como New Experiments Concerning Vacuums resultaron controvertidos en la comunidad científica, y hubo cierto debate sobre quién tenía prioridad en los descubrimientos, ya que varios científicos estaban investigando la hidrostática, que se define como el estudio de los fluidos en reposo y las presiones que ejercen, y el Treatise on the Equilibrium of Liquids de Pascal de 1654 dio una descripción rigurosa del tema. Este tratado demostró claramente los efectos del peso del aire, así como varias leyes de la hidrostática, incluida la ley de de la presión de Pascal. Este principio es la base de la prensa hidráulica, esencialmente un tipo de palanca. Su tratamiento dio una síntesis de conocimientos previos y nuevos trabajos, y presentó lúcidamente el concepto de presión.

El joven Pascal había estado interesado en la religión desde 1646, y cuando su padre murió en 1651 se volvió profundamente contemplativo sobre los asuntos espirituales. Sus ideas se publicaron más tarde en su obra filosófica Pensées de Monsieur Pascal sur la religion et surquelques autres sujets (Pensamientos de Monsieur Pascal sobre la religión y algunos otros temas) de 1670. Su trabajo sobre geometría proyectiva, el estudio matemático de la perspectiva, quedó plasmado en la obra The Generation of Conic Sections (1654). Sección cónica es el nombre de una curva obtenida al cortar un cono por un plano en ciertos ángulos. Este gran trabajo abordó la generación proyectiva de cónicas y sus propiedades, la definición del hexagrama místico y la teoría proyectiva de centros y diámetros. Además, su Treatise on the Arithmetical Triangle apareció en el mismo año, donde trata el llamado triángulo de Pascal, un triángulo de números en el que cada entrada se obtiene sumando las dos entradas que se encuentran arriba. Aunque no inventó el triángulo aritmético, su trabajo fue bastante influyente en el desarrollo del teorema binomial general.

En 1654, Pascal estaba trabajando en algunos problemas de juego con Fermat. Las dos preguntas principales que investigaron fueron: el problema de los dados, calcular la probabilidad de obtener un par de seises en un número dado de lanzamientos; y el problema de las apuestas, relacionado con cómo dividir el pozo de manera justa entre los jugadores si se interrumpe un juego de azar. Al formular este tipo de problemas, Pascal se convirtió en el padre fundador de la teoría occidental de la probabilidad. En los siglos siguientes, la cultura occidental se volvería cada vez más cuantitativa, abarcando un enfoque estocástico (es decir, relacionado con la probabilidad y la posibilidad) de los fenómenos. Se hizo evidente, después de estos humildes orígenes, que se podía obtener información confiable de eventos inciertos, siempre que se pudiera realizar y medir un gran número de ensayos repetidos. Pascal trabajó en un cálculo de probabilidades, utilizando el razonamiento inductivo para encontrar soluciones. Su trabajo sobre juegos parece haber afectado la visión de Pascal de la apologética cristiana (defensas retóricas o racionales de una creencia), ya que Pensées incluye la famosa «apuesta de Pascal»:

Si Dios no existe, uno no perderá nada creyendo en él, mientras que si existe, perderá todo al no creer.

De hecho, el enfoque de Pascal de la probabilidad prefigura la teoría moderna de la decisión, en la cual la elección está íntimamente relacionada con la probabilidad de eventos inciertos. Uno puede ver el método apologético de Pascal como un problema clásico en la teoría de la decisión.

Pascal sufrió durante mucho tiempo de mala salud (indigestión y dolores de cabeza constantes), estuvo enfermo durante su juventud y se temía que no tuviera mucho tiempo para vivir. En 1654 fue arrastrado más profundamente por las preocupaciones religiosas; en la noche del 23 de noviembre, designado como su «noche de fuego», experimentó una segunda conversión al cristianismo; a partir de este momento, se apartaría de la ciencia y la matemática para adentrarse  de lleno en la religión y la epistemología (el estudio del conocimiento y las estructuras de creencias). En 1656 y 1657 compuso sus Lettres provinciales (Cartas provinciales), una polémica jansenista contra los jesuitas. Fueron publicadas de forma anónima, y se dice que su rigor de pensamiento y claridad de presentación causaron una herida al jesuitismo de la que nunca se recuperó. Su defensa del cristianismo a los incrédulos, formulada en Pensées, fue escrita en este momento.

Animado incluso por sus amigos jansenistas, Pascal hizo un trabajo final en matemática. En 1657 preparó los Elementos de Geometría, que desafortunadamente no fue completado. Su último trabajo en 1658 y 1659 fue sobre la cicloide, una curva trazada por la trayectoria de un punto marcado en la circunferencia de un círculo rodante. En sus investigaciones de esta curva, desarrolló la «teoría de los indivisibles», siendo un precursor del cálculo integral que pronto formularon Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz, Pascal consideró problemas tales como calcular áreas bajo curvas, y centros de gravedad para superficies y volúmenes debajo de superficies de revolución (la superficie obtenida al girar una curva alrededor de un eje fijo). Curiosamente, parece que este trabajo se desarrolló a lo largo de varios concursos matemáticos públicos, en los que Pascal planteó problemas de cálculo a la comunidad.

En 1659, Pascal cayó gravemente enfermo y buscó la soledad, dedicándose a obras de caridad. Su último proyecto fue el desarrollo de un proyecto de transporte público en París que involucraba carruajes tirados por caballos. Murió a los 39 años con gran dolor, el 19 de agosto de 1662, en París. Por sus contribuciones a la matemática, así como a la física y la religión, Pascal se ubica como uno de los intelectos más grandes de Occidente. Parece que su alma estaba dividida entre el orgullo por sus habilidades y logros intelectuales y la abnegación de una austera marca agustiniana, pero tal vez fue esta misma tensión la que produjo un trabajo tan brillante. Aunque algunos matemáticos pueden exceder a Pascal en términos de originalidad, profundidad o volumen, la sistematización de gran parte de la ciencia y la matemática de Pascal debe llamar la atención y ser motivo de admiración.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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