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Posts Tagged ‘Blaise Pascal’

Pierre de Fermat es conocido como uno de los matemáticos más grandes del siglo XVI, que hizo contribuciones a los fundamentos del cálculo, la probabilidad y la teoría de números. En este último tema su influencia es particularmente famosa, ya que su investigación sobre la divisibilidad y las propiedades de los números primos alimentaría más tarde la investigación de los siglos XIX y XX. 

Pierre de Fermat nació en Beaumont-Lomagne, Francia, el 20 de agosto de 1601. Su padre, Dominique Fermat, era un próspero comerciante, mientras que su madre, Claire de Long, era una mujer noble. Como resultado del pedigrí de su madre, Fermat disfrutó de un alto estatus social y más tarde eligió la profesión de abogado. Recibió una educación secundaria clásica, y probablemente estudió en la Universidad de Toulouse. En cualquier caso, sin duda vivió en Burdeos a finales de 1620, y en este momento comenzó sus investigaciones matemáticas.  

Fermat recibió el grado de licenciado en leyes civiles de la Universidad de Orleans en 1631, y se embarcó en su carrera legal en el parlamento local. El mismo año, Fermat se casó con su prima Louise de Long, con quien tuvo cinco hijos. Parece que Fermat disfrutaba de prosperidad financiera, y se le permitió el privilegio, como miembro de la aristocracia, de agregar “de” a su apellido. Sin embargo, su actuación en su oficina no fue satisfactoria, y Fermat avanzó solo a través de la muerte de sus colegas profesionales. En 1642 ascendió a los consejos más altos del parlamento, luego sirvió como presidente de la Chambre de l’Édit, que tenía jurisdicción sobre demandas legales entre hugonotes y católicos. Fermat fue un devoto católico a lo largo de toda su vida. 

Fermat disfrutó de cierta fama como matemático durante su propia vida, aunque su renuencia a publicar lo mantuvo alejado del renombre que podría haber obtenido. También tenía fama de ser un erudito clásico, ya que dominaba varios idiomas. Gozó de buena salud, sobrevivió a un ataque de peste en 1652 y murió en Castres el 12 de enero de 1665. 

El desarrollo de Fermat como matemático puede haber comenzado durante su período de Burdeos, momento en el que se familiarizó con las obras de François Viète. De Viète fue que Fermat adquirió la nueva álgebra simbólica, así como la concepción del álgebra como una herramienta útil para problemas geométricos. Fermat buscó basarse en los conceptos de Viète, incluida la capacidad de resolver y construir ecuaciones determinadas; su método a menudo implicaba reducir un problema dado a una clase conocida de problemas (muy parecido a un tipo de inducción inversa). Al principio, Fermat dependía en gran medida de los antiguos griegos para obtener ideas sobre análisis matemático, pero a menudo generalizaba los problemas originales considerados, utilizando el análisis de reducción y su genio natural para llegar a soluciones generales. 

En la primavera de 1636, Fermat ya había completado su Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a planos y sólidos), un trabajo que establece una geometría analítica que era extremadamente similar a la Géométrie (Geometría) de 1639 de René Descartes. Aunque estos trabajos fueron virtualmente idénticos en el uso de ecuaciones algebraicas para describir curvas geométricas, la cuestión de la prioridad no está resuelta, ya que cada matemático estaba trabajando independientemente. Fermat partió de los trabajos de Pappus de Alejandría y Apolonio de Perga, y se dio cuenta de que los loci de puntos discutidos por este último podían describirse mediante ecuaciones algebraicas en dos incógnitas. Luego empleó un solo eje con origen y ordenada en movimiento (similar al método gráfico de Descartes, que no involucraba coordenadas) para describir una curva dada. Luego, Fermat consideró la ecuación general de segundo grado re dirigiéndola a siete formas irreducibles (o casos especiales), que incluían líneas, hipérbolas, elipses, parábolas y círculos. La presentación de Fermat difería sustancialmente de la de Descartes, quien pasó por alto el tema de la construcción y se centró en una teoría avanzada de ecuaciones. Siguiendo las implicaciones de su investigación después de 1636, Fermat demostró la solución gráfica de ecuaciones algebraicas determinadas. En 1643 trató de extender sus métodos a sólidos de revolución (los sólidos obtenidos al hacer girar una curva sobre un eje fijo). Este último esfuerzo no tuvo éxito, ya que Fermat aún no tenía las herramientas de un sistema de coordenadas tridimensional, aunque estableció la base algebraica correcta para dicho sistema de geometría sólida. Fermat estableció la conexión entre la dimensión y el número de incógnitas, una contribución conceptual importante a la matemática del siglo XVII. 

Fermat también desarrolló un método de cálculo de máximos y mínimos de curvas, que esencialmente implicaba un cálculo de la derivada de un polinomio. Sin embargo, Fermat no utilizó ningún infinitesimal en su método, y por lo tanto su trabajo fue periférico a los fundamentos del cálculo. Utilizando su técnica, Fermat pudo determinar los centros de gravedad para figuras geométricas, así como la formación de rectas tangentes para una curva determinada. Este trabajo se convirtió en un punto central en un debate de 1638 con Descartes, quien criticó el trabajo de Fermat porque rivalizaba con sus propia matemática establecida en su Géométrie. Aunque finalmente hicieron las paces cuando Descartes admitió que su crítica a la obra de Fermat era inválida, los dos hombres permanecieron en conflicto; la reputación de Fermat, quien se negó rotundamente a publicar su obra, sufrió como resultado. 

La cuadratura de curvas (es decir, el cálculo del área bajo una curva por medio de su aproximación por rectángulos) también fue estudiada por Fermat, quien amplió las labores de Arquímedes de Siracusa sobre la espiral. Fermat fue capaz de aproximar un área determinada con una precisión arbitraria (a través del número de rectángulos elegidos), y así calcular el área debajo de ciertos polinomios simples. Al principio, su estilo era geométrico, basándose en figuras cuidadosamente dibujadas, pero luego adoptó un enfoque más algebraico. Sus diversos resultados sobre cuadraturas finalmente circularon en 1679, y para entonces ya estaban obsoletos, en vista del trabajo más completo de Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Parece que Fermat no se dio cuenta de que el método de las tangentes y la cuadratura eran inversos entre sí, y este trabajo ejerció poca influencia en la matemática posterior. 

Fermat es mejor conocido por su trabajo en teoría de números, que fue en gran parte descuidado por sus colegas del siglo XVII. Sus trabajos fueron completamente ignorados hasta que Leonhard Euler revivió el interés en el número; finalmente, en el siglo XIX Carl Friedrich Gauss y otros demostraron muchos de los resultados importantes y establecieron la teoría de números como un campo moderno de investigación matemática. Fermat estaba interesado en soluciones enteras de ecuaciones algebraicas, y su investigación inicial se centró en la divisibilidad y el estudio de los números primos. Sus métodos no son conocidos, porque la mayoría de sus resultados fueron escritos en cartas a amigos o en los márgenes de otros libros; aparentemente, Fermat usó la criba de Eratóstenes de Cirene como criterio de excelencia. Derivó varios teoremas importantes (sin pruebas), investigando la descomposición de primos como sumas de cuadrados. En este sentido, Fermat estaba interesado en soluciones enteras para x^n+y^n=z^n donde n es al menos dos. El hecho (probado recientemente por Andrew Wiles en 1994) de que no hay soluciones para n mayores que dos se conoce como el Último Teorema de Fermat; él anotó esta conjetura en el margen de uno de sus libros. 

Una técnica que Fermat aplicó repetidas veces era el método del descenso infinito: argumentaba por contradicción, construyendo una sucesión infinita de enteros decrecientes (positivos), que no podían existir. La principal importancia del trabajo de Fermat en teoría de números es el estímulo que le dio a la investigación a fines del siglo XVIII y XIX. 

Fermat también contribuyó al estudio de la óptica (sobre cuyo tema también debatió con Descartes, oponiéndose a su razonamiento a priori), y se le atribuye, junto con Blaise Pascal, como el fundador de la teoría de la probabilidad. A través de una serie de cartas escritas durante 1654, estos dos matemáticos intercambiaron una variedad de preguntas sobre probabilidad, como por ejemplo, cómo dividir justamente las apuestas de un juego interrumpido. Aunque sus métodos diferían un tanto (Fermat hacía cálculos directos en lugar de derivar fórmulas generales), ambos usaron el concepto de “ganancias esperadas”, definido a través de la expectativa matemática. 

Los últimos años de la vida de Fermat vieron poca interacción con otros matemáticos, ya que dedicaba cada vez más su tiempo libre a la teoría de números. Aunque su trabajo, especialmente sus esfuerzos en teoría de números, mereció el reconocimiento de sus colegas, Fermat cayó en una oscuridad creciente debido a su renuencia a publicar. Después del siglo XVII fue completamente olvidado, hasta que fue redescubierto por Euler y otros en el siglo XIX, cuando el renovado interés en la teoría de números se inspiró en su intelecto.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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A fines del siglo XVI, la matemática estaba en vísperas de un renacimiento dramático. Emergería de la oscuridad de la edad medieval, y los principales matemáticos de esta época buscaron refundir y desarrollar la matemática griega clásica. Simultáneamente con el poderoso enfoque algebraico de la geometría desarrollado por René Descartes, Desargues abogó por una perspectiva gráfica unificada. Sus ideas influyeron en grandes pensadores como Blaise Pascal y Sir Isaac Newton, a pesar de que fueron inevitablemente eclipsados por el poder del sistema cartesiano. 

Girard Desargues nació en una familia de nueve hijos el 21 de febrero de 1591 en Lyon. Su padre era un rico  coleccionista de diezmos, y los primeros estudios de Girard tuvieron lugar en Lyon. Sin embargo, se sabe poco de sus primeros años y educación, y su primera actividad científica registrada tuvo lugar en 1626, cuando propuso que el estado construyera máquinas para elevar el nivel del agua del Sena. 

Alrededor de 1630 Desargues entabló amistad con varios matemáticos de París, como Marin Mersenne y Gilles de Roberval; asistía regularmente a las reuniones de la Académie Parisienne, en las que más tarde participaría el joven Blaise Pascal. En 1636 Desargues publicó una obra describiendo su llamado método universal de la perspectiva. Allí esbozó un vasto programa de investigación: unificar las diversas técnicas gráficas (como las utilizadas por los arquitectos y dibujantes) a través de sus “métodos universales”, y al mismo tiempo incorporar la geometría proyectiva en el cuerpo del conocimiento matemático a través del estudio riguroso de la perspectiva. La geometría proyectiva tuvo pocos seguidores hasta el siglo XIX, y el trabajo de Desargues fue muy pasado por alto (e incluso ridiculizado) durante su propia vida; su significado se entendería siglos después. 

Una obra en competencia de Jean de Beaugrand evocó discusiones intelectuales sobre los temas de centro de gravedad, óptica y tangentes, así como otros temas geométricos. Desargues fue un ávido participante en estas disputas, distinguiéndose por su intención de comprender el aspecto más general de los problemas dados. Aunque alienó a Beaugrand, ganó la estima de Descartes y Mersenne. En contraste con el programa de Descartes para dar a la geometría una base algebraica, Desargues deseaba extender la influencia de los métodos geométricos a las técnicas gráficas a través de la mecánica. Su Brouillon projet d’une atteinte aux événements des recontres du cône avec un plan (Borrador aproximado de un ensayo sobre los resultados de tomar secciones planas de un cono) de 1639 dio una descripción de las secciones cónicas desde la perspectiva de la geometría proyectiva; este trabajo no fue popular, tal vez debido a su divergencia del enfoque cartesiano. Sin embargo, Blaise Pascal pudo apreciar el valor del Brouillon projet de Desargues, y Pascal escribió su Essay pour les coniques (Ensayo sobre secciones cónicas) como un tributo. Aunque este trabajo influyó en otros grandes matemáticos, como Newton, su impacto total no se percibió hasta el siglo XIX, cuando los geómetras adquirieron un renovado interés en la geometría proyectiva. Esta falta de popularidad fue seguramente el resultado del creciente interés en los problemas del cálculo infinitesimal. 

Beaugrand criticó el trabajo de Desargues con vehemencia, aparentemente por razones personales más que profesionales. En 1640 Desargues publicó un ensayo sobre el tallado de la piedra, aplicando sus técnicas a métodos gráficos prácticos. Sin embargo, sus útiles innovaciones eran contrarias a la práctica establecida de los poderosos gremios comerciales, y por lo tanto Desargues atrajo la animosidad de los veteranos artesanos. 

En 1641, Desargues se interesó por el problema de determinar varias secciones circulares de conos que tenían una base cónica. Su solución general dependía únicamente de la geometría pura. Roberval, Descartes y Pascal se interesaron en este problema, y Desargues luego generalizó su técnica. 

Posteriormente, Desargues se involucró en una disputa sobre la prioridad de sus métodos. Había trabajado para difundir sus técnicas gráficas entre picapedreros, pero en 1642 una publicación anónima plagió y distorsionó su trabajo. El debate resultante dañó la credibilidad y la confianza de Desargues. Desargues designó la tarea de diseminación de su obra a su discípulo Abraham Bosse, un grabador, quien más tarde publicó dos tratados que discutían el método de Desargues. Una nueva disputa surgió en 1644 con un cantero llamado Curabelle, con el aparente resultado de que Desargues decidió renunciar a publicar más. Sin embargo, Bosse continuó componiendo tratados sobre el método de la perspectiva de su maestro.  

Después de 1644 la actividad científica de Desargues disminuyó. Comenzó una nueva carrera como arquitecto, formando algunas estructuras espectaculares de una delicada figura. Por ejemplo, Desargues usó su conocimiento matemático para construir escaleras curvas que eran tanto funcionales como elegantes. Implementó sus técnicas directamente en aplicaciones prácticas, y de esta manera silenció la acusación de sus enemigos de que sus métodos eran puramente teóricos. Sus hazañas de ingeniería fueron extensas, incluyendo un sistema para elevar agua, que se instaló cerca de París. Murió en París en octubre de 1661. 

Se debe dar crédito a Desargues por ser uno de los fundadores de la geometría proyectiva: el estudio de espacios de líneas rectas que se encuentran infinitamente lejos del observador. También contribuyó al conocimiento de las cónicas, introdujo transformaciones proyectivas y fomentó el desarrollo de técnicas gráficas útiles en los dibujos. Lamentablemente, su trabajo fue salvajemente impugnado en su propia vida, e incluso entre los matemáticos que lo apoyaban recibió poca circulación debido a su engorroso estilo de escritura. Sus trabajos dieron frutos solo siglos después de su muerte, cuando sus papeles fueron redescubiertos por agradecidos geógrafos del siglo XIX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Antes de que Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaran sistemáticamente el cálculo integral, algunos otros matemáticos trabajaron como predecesores, basándose en las ideas insinuadas por Arquímedes de Siracusa. El concepto de indivisibles, esas cantidades tan pequeñas que no pueden dividirse por la mitad, había comenzado a afianzarse, y Cavalieri fue uno de los primeros exponentes; su trabajo sobre la integración inspiraría más tarde a Blaise Pascal, Newton y Leibniz. 

Se desconoce la fecha exacta del nacimiento de Bonaventura Cavalieri, y no se sabe nada de su familia. Nació en Milán, Italia, y adoptó el nombre de Bonaventura al ingresar a la orden religiosa de los jesuitas cuando era niño, y permaneció monástico durante toda su vida. En 1616 fue trasladado al monasterio de Pisa, donde conoció a Castelli, un monje benedictino y estudiante de Galileo Galilei. En ese momento, Castelli era profesor de matemática en Pisa, y adoptó a Cavalieri como su alumno. El niño dominó rápidamente las obras de Euclides de Alejandría, Arquímedes y Apolonio de Perga, y demostró un notable talento para la geometría, a veces actuando como sustituto de Castelli. Más tarde, Cavalieri fue presentado a Galileo, con quien intercambió muchas cartas a lo largo de los años. 

De 1620 a 1623 Cavalieri enseñó teología en Milán, después de haber sido ordenado diácono del cardenal Borromeo. Durante este período desarrolló sus primeras ideas sobre el método de los indivisibles: uno ve una superficie plana como la unión de infinitas líneas paralelas (los indivisibles), por lo que el área se calcula a partir de la suma de todas sus longitudes. De la misma manera, una figura sólida se componía de infinitas superficies apiladas, de modo que el volumen podía calcularse sumando todas las áreas. Su siguiente tarea fue en Lodi, donde permaneció tres años, y en 1626 se convirtió en prior del monasterio en Parma; buscó una cátedra en Parma, pero sin éxito. Cayó enfermo en 1626 de gota, lo que lo atormentó durante toda su vida, Cavalieri se recuperó en Milán y pronto anunció a Galileo la finalización de su Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (Un método determinado para el desarrollo de una nueva geometría de indivisibles continuos). Con la ayuda de este último, Cavalieri obtuvo en 1629 la primera cátedra de matemática en Bolonia, que mantuvo hasta su muerte el 30 de noviembre de 1647.

Cavalieri se dio cuenta de que Arquímedes conocía un método para calcular áreas y volúmenes que no estaba dispuesto a revelar, ya fuera por secreto competitivo o por el deseo de evitar la burla de sus conservadores colegas. Cavalieri desarrolló un sistema racional de los llamados indivisibles e intentó establecer la validez de este enfoque. A partir de sus principios, Cavalieri dedujo varios de los teoremas básicos del cálculo integral, pero sin el formalismo propio de la integral. Su método de cálculo, que implica el concepto de congruencia bajo traslación, se muestra como válido para paralelogramos y figuras planas que se encuentran entre dos líneas paralelas.  

Sus contemporáneos rechazaron en gran parte la metodología de Cavalieri, sin saber que el mismo Arquímedes había utilizado técnicas similares. Cavalieri obtuvo algunas fórmulas básicas, como la regla de potencias para la integración de un polinomio, en 1639, aunque había sido descubierta tres años antes por Pierre de Fermat y Gilles de Roberval. También descubrió el volumen de sólidos obtenidos al rotar alrededor de un eje. 

También en Geometria hay una formulación temprana del teorema del valor medio, que establece que entre dos puntos cualquiera de una curva se puede encontrar una línea tangente paralela a la cuerda que conecta los dos puntos. Cavalieri también investigó los logaritmos, que habían sido inventados recientemente por John Napier, así como la trigonometría con aplicaciones a la astronomía. Su Centuria di varii problema de 1639 trató la definición de superficies cilíndricas y cónicas, y también dio fórmulas para el volumen de un barril y la capacidad de una bóveda. Entre sus otras contribuciones a la ciencia están una teoría de las cónicas aplicadas a la óptica y la acústica, la idea del telescopio reflector (aparentemente anterior a Newton), la determinación de la distancia focal de una lente y las explicaciones de los espejos ustorios de Arquímedes. 

La obra de Cavalieri fue un primer paso moderno hacia el cálculo, y debería verse como un eslabón esencial en la cadena entre Arquímedes y los grandes matemáticos del siglo XVII que desarrollaron el cálculo: Pascal, Leibniz y Newton, junto con John Wallis e Isaac Barrow.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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