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Posts Tagged ‘Bonaventura Cavalieri’

De los matemáticos de la antigüedad griega, Arquímedes debe ser considerado el más grande. Sus contribuciones a la geometría y a la mecánica, así como a la hidrostática, lo colocan en un pedestal más alto que sus contemporáneos. Y como sus obras fueron gradualmente traducidas e introducidas en Occidente, ejerció una influencia tan grande allí como su pensamiento ya lo había hecho en Bizancio y Arabia. En su método de agotamiento puede verse un predecesor clásico del cálculo integral, que sería desarrollado formalmente por Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton y otros en el siglo XVII. Sólo su historia de vida ha inspirado a muchos matemáticos.

Como con muchas personas antiguas, los detalles exactos de la vida de Arquímedes son difíciles de determinar, ya que hay varios relatos de calidad variable. Su padre era el astrónomo Fidias, y es posible que Arquímedes fuera pariente del tirano de Siracusa, el rey Hierón II. Ciertamente él era íntimo del rey, pues su trabajo El Contador de Arena fue dedicado a Gelón, hijo de Hierón. Nacido en Siracusa, Arquímedes partió a Alejandría para seguir una educación matemática; allí estudió con Euclides de Alejandría y asistió al desarrollo de la matemática euclidiana. Pero fue en Siracusa, a donde pronto volvió, donde hizo la mayor parte de sus descubrimientos.

Aunque famoso por sus contribuciones a la matemática, Arquímedes también diseñó numerosas invenciones mecánicas. El caracol de agua, inventado en Egipto para ayudar al riego, era un artefacto tipo tornillo usado para levantar agua. Más impresionantes son las historias relacionadas con su construcción y aplicación de la polea compuesta: Hierón había solicitado a Arquímedes que demostrara cómo una pequeña fuerza podía mover un gran peso. El matemático ató una cuerda a un gran buque mercante que estaba cargado de carga y pasajeros, y pasó la cuerda por un sistema de poleas. De esta manera, sentado a cierta distancia del buque, Arquímedes pudo arrastrar sin esfuerzo el barco a la orilla del puerto.

Arquímedes también descubrió la utilidad de la palanca, al observar que cuanto más larga es la distancia desde el fulcro, más peso podía mover la palanca. Extendiendo lógicamente este principio, afirmó que era factible mover el mundo dada una palanca suficientemente larga. Otra historia popular relata que Hierón le dio a Arquímedes la tarea de averiguar si una cierta corona estaba hecha de oro puro, o si se había adulterado fraudulentamente con plata. Cuando Arquímedes reflexionó sobre este rompecabezas se encontraba en pleno baño y notó que la cantidad de agua desplazada era igual a la cantidad de su cuerpo que estaba sumergida. Esto inmediatamente le disparó un método para resolver el problema de Hierón, y saltó de la bañera con alegría, corriendo desnudo hacia su casa, gritando “Eureka”. 

Su habilidad en objetos mecánicos fue inigualable, y Hierón aprovechó a menudo esto para mejorar las defensas de la ciudad, insistiendo en que el intelecto de Arquímedes debía ser puesto al servicio de alguna aplicación práctica. Cuando Marcelo y los romanos llegaron a atacar Siracusa, encontraron la ciudad inexpugnable debido a la multiplicidad de catapultas, brazos mecánicos, espejos ardientes y varios dispositivos balísticos que Arquímedes había construido. Arquímedes escribió un libro titulado On Spheremaking en el que describe cómo construir un modelo planetario diseñado para simular el movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Parece que Arquímedes estaba familiarizado con el heliocentrismo de Arquitas, y lo utilizó en su planetario.

Según Plutarco, Arquímedes se dedicó a la teoría pura y desdeñaba las aplicaciones prácticas de la matemática a la ingeniería; sólo aquellos sujetos libres de cualquier utilidad para la sociedad eran considerados dignos de perseguir de todo corazón. Las obras matemáticas de Arquímedes consisten principalmente en estudios de área y volumen, y el análisis geométrico de la estática y la hidrostática. Al calcular el área o el volumen de varias figuras planas y sólidas, utiliza el llamado Lema de Arquímedes y el “método de agotamiento”. Este lema afirma que la diferencia de dos magnitudes desiguales puede ser formada en una proporción con cualquier magnitud semejante; así, la diferencia de dos líneas será siempre una línea y no un punto. El método de agotamiento consiste en sustraer indefinidamente una cantidad mayor que la mitad de una magnitud dada, y apunta a la idea de la eterna divisibilidad del continuo (que siempre se puede quitar la mitad de un número y todavía queda algo). Estas ideas se limitan a las nociones de lo infinitesimal -lo infinitamente pequeño- y a la idea de límite, que son ingredientes clave del cálculo integral; sin embargo, los griegos eran adversos a la noción de infinito e infinitesimales, y Arquímedes se apartaba de hacer cualquier cosa que él sentía sería considerado como absurdo.

El método de agotamiento, que se usó raramente en los Elementos de Euclides, se ilustrará a través del siguiente ejemplo: En Sobre la medida de un círculo, Arquímedes asume, en aras de la contradicción, que el área de un triángulo rectángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio del círculo es realmente mayor que el área del círculo. Entonces él puede, usando el lema de Arquímedes, inscribir un polígono en el círculo, con la misma área que el triángulo; esta contradicción muestra que el área del triángulo no puede ser mayor que el círculo, y hace un argumento similar de que no puede ser menor.

El concepto básico del método de aproximación, que es similar al método de agotamiento, consiste en inscribir figuras regulares dentro de una figura plana y sólida tal que el área o el volumen restante se reduce constantemente; el área o el volumen de las figuras regulares se pueden calcular fácilmente, y ésta será una aproximación cada vez más exacta. El área o volumen restante está “agotado”. Por supuesto, la manera moderna de obtener una determinación exacta de la medida es a través del límite; Arquímedes evitó esta cuestión al demostrar que el área o el volumen restante podría hacerse tan pequeño como se deseara inscribiendo figuras más regulares. Por supuesto, uno podría realizar el mismo procedimiento circunscribiendo figuras regulares.

También aplicó estos métodos a los sólidos, calculando la superficie y el volumen de la esfera, y el volumen de conos y pirámides. Los métodos de Arquímedes eran a veces puramente geométricos, pero a veces usaban principios de estática, como un “método de equilibrio”. Su conocimiento de la ley de la palanca y el centro de gravedad del triángulo, junto con sus métodos de aproximación y agotamiento le permitieron mejorar demostraciones de teoremas conocidos, así como establecer resultados completamente nuevos.

Arquímedes también hizo algunas contribuciones en el ámbito del  cálculo numérico, produciendo algunas aproximaciones muy precisas para el número pi y para la raíz cuadrada de tres. En El contador de Arena crea una notación para números muy grandes y estima el número de granos de arena para llenar el universo. En Sobre el equilibrio de los planos prueba la ley de la palanca a partir de principios geométricos, y en Sobre los cuerpos flotantes  explica el concepto de presión hidrostática. El llamado Principio de Arquímedes establece que sólidos colocados en un fluido serán más ligeros en el fluido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.

Su influencia en la matemática posterior fue extensa, aunque Arquímedes pudo no haber gozado de mucha fama en su propia vida. Griegos posteriores, entre ellos Pappus de Alejandría y Teón de Alejandría, escribieron comentarios sobre sus escritos, y más tarde los autores bizantinos estudiaron su obra. Desde Bizancio sus textos llegaron a Occidente antes del comienzo del Renacimiento; mientras tanto, los matemáticos árabes conocían a Arquímedes y explotaron sus métodos en sus propias investigaciones sobre  secciones cónicas. En el siglo XII aparecieron traducciones del árabe al latín, de las que Leonardo de Pisa (Fibonacci) hizo uso en el siglo XIII. En los años 1400, el conocimiento de Arquímedes se había expandido por partes de Europa, y su matemática influyó más tarde en Simon Stevin, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Bonaventura Cavalieri.

Tal vez la historia más conocida acerca de Arquímedes es la que relata su muerte, que se produjo en el año 212 a.C. durante el asedio de Siracusa por los romanos. Al parecer, no estaba preocupado por la situación cívica, y estaba ocupado haciendo diagramas en la arena de su casa (en ese momento tenía al menos 75 años de edad). Aunque el general romano Marcelo había dado órdenes estrictas para que el famoso matemático siciliano no fuera perjudicado, un soldado romano irrumpió en la casa de Arquímedes y arruinó su diagrama. Cuando el anciano matemático expresó verbalmente su disgusto, el soldado lo mató rápidamente.

Arquímedes fue un destacado matemático y científico. De hecho, es considerado por muchos como uno de los tres mejores matemáticos de todos los tiempos, junto con Carl Friedrich Gauss y Newton. Una vez descubierto por los europeos medievales, sus obras propulsaron el descubrimiento del cálculo. Es interesante que este profundo intelecto fuera remoto en tiempo y espacio al de los grandes matemáticos griegos clásicos; Arquímedes trabajó en la isla de Siracusa, lejos de Atenas, fuente de mucho pensamiento griego, y trabajó siglos después del declive de la cultura griega.

 

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Y… para los más chicos…

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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El historiador Carl Boyer llama cálculo “al instrumento más eficaz para la investigación científica que la matemática haya producido jamás.” Como la matemática de la variabilidad y el cambio, el cálculo fue el producto característico de la revolución científica. El tema fue propiamente la invención de dos matemáticos, el alemán Gottfried Leibniz y el inglés Isaac Newton. Ambos publicaron sus investigaciones en la década de 1680, Leibniz en 1684 en la revista recién fundada Acta Eruditorum y Newton en 1687 en su gran tratado, los Principia. A pesar de una amarga disputa sobre la prioridad que se desarrolló más tarde entre los seguidores de los dos hombres, ahora está claro que cada uno de ellos llegó al cálculo  de manera independiente.

El cálculo se desarrolló a partir de técnicas para resolver dos tipos de problemas, la determinación de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. En la geometría clásica Arquímedes había llegado bastante lejos en esta parte de la matemática, después de haber utilizado el método de agotamiento para establecer rigurosamente diferentes resultados acerca de áreas y volúmenes y de haber derivado para algunas curvas (por ejemplo, para la espiral) resultados significativos relacionados con las tangentes. A principios del siglo XVII hubo un resurgimiento sostenido del interés en ambas clases de problemas. Las décadas entre 1610 y 1670 en general son recordadas en la historia de la matemática como “el período del pre-cálculo”, fueron una época de notable actividad en la que investigadores de toda Europa contribuyeron con soluciones novedosas y compitieron entre sí para llegar a importantes nuevos métodos.

El  período del  pre-cálculo

En su tratado Geometria indivisibilibus continuorum de 1635, Bonaventura Cavalieri, un profesor de matemática en la Universidad de Bolonia, formuló un método sistemático para la determinación de áreas y volúmenes.

Al igual que Arquímedes, Cavalieri consideró una figura plana compuesta de una colección de líneas indivisibles, “todas las líneas” de la figura plana. La colección fue generada por una línea fija en movimiento a través del espacio paralelo a sí mismo. Cavalieri demostró que estas colecciones podían interpretarse como magnitudes que obedecen a las reglas de la teoría de la proporción euclidiana. En la Proposición 4 del Libro II, derivó el resultado de que hoy se escribe como

\int_0^1 x^2  dx=\frac{1}{3}

Dado un paralelogramo en el que se dibuja una diagonal; entonces  “todos los cuadrados” del paralelogramo serán el triple de “todos los cuadrados” de cada uno de los triángulos determinados por la diagonal.

Cavalieri mostró que esta proposición podía interpretarse de diferentes maneras -como por ejemplo, afirma, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro circunscrito o que el área bajo un segmento de una parábola es un tercio del área del rectángulo asociado. En un tratado posterior generalizó el resultado demostrando que

\int_0^1 x^n=\frac{1}{n+1}

desde n=3 hasta n=9. Para establecer estos resultados, introdujo transformaciones entre las variables del problema, usando un resultado equivalente al teorema binomial para exponentes enteros. Las ideas en cuestión fueron más allá de lo que había aparecido en la teoría clásica de Arquímedes.

Aunque Cavalieri tuvo éxito en la formulación de un método sistemático basado en conceptos generales, sus ideas no eran fáciles de aplicar. La derivación de resultados muy simples requería consideraciones geométricas complejas, y el estilo ampuloso de la Geometria indivisibilibus era una barrera para su recepción.

John Wallis presentó un enfoque muy diferente para la teoría de cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum  de 1655. Wallis, sucesor de Henry Briggs como profesor savilian de geometría en Oxford,era defensor de los nuevos métodos del álgebra aritmética que había aprendido de su maestro William Oughtred. Wallis expresó el área bajo una curva como la suma de una serie infinita y utilizó inteligentes y poco rigurosas inducciones para determinar su valor. Para calcular el área bajo la parábola,

\int_0^1 x^2  dx

él consideró las sumas sucesivas

\frac{0+1}{1+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}

\frac{0+1+4}{4+4+4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}

\frac{0+1+4+9}{9+9+9+9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}

y por “inducción” dedujo la relación general

\frac{0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2}{n^2+n^2+n^2+\ldots+n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}

Al permitir que el número de términos sea infinito, obtuvo 1/3 como el valor límite de la expresión. Con curvas más complicadas logró resultados muy impresionantes, incluyendo la expresión infinita ahora conocida como producto de Wallis:

\frac{4}{\pi }=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{6}\ldots

La investigación sobre la determinación de tangentes, el otro tema  que condujo al cálculo, procedió a lo largo de diferentes líneas. En La Géométrie Descartes había presentado un método que podía, en principio, aplicarse a cualquier curva “geométrica” o algebraica -es decir, a cualquier curva cuya ecuación era un polinomio de grado finito en dos variables. El método dependía de la búsqueda de la normal, la línea perpendicular a la tangente, con la condición algebraica de ser el único radio que intersecta la curva en un solo punto. El método de Descartes fue simplificado por Hudde, un miembro del grupo de matemáticos de Leiden, y fue publicado en 1659 en la edición de Van Schooten de La Géométrie.

Una clase de curvas de interés cada vez mayor en el siglo XVII comprendía las generadas cinemáticamente por un punto que se mueve a través del espacio. La famosa curva cicloidal, por ejemplo, era trazada por un punto en el perímetro de una rueda que rodaba sobre una línea sin deslizamiento.

Estas curvas eran no algebraicas y por lo tanto no podían ser tratadas por el método de Descartes. Gilles Personne de Roberval, profesor en el Collège Royale de París, ideó un método tomado de la dinámica para determinar sus tangentes. En su análisis del movimiento de proyectiles Galileo había demostrado que la velocidad instantánea de una partícula está compuesta por dos movimientos distintos: un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical en aumento debido a la gravedad. Si el movimiento del punto generador de una curva cinemática es considerado igualmente como la suma de dos velocidades, entonces la tangente estará en la dirección de su suma. Roberval aplicó esta idea a varias curvas cinemáticas diferentes, obteniendo resultados que fueron a menudo ingeniosos y elegantes.

En un ensayo de 1636 que circuló entre los matemáticos franceses, Fermat presentó un método de tangentes adaptado de un procedimiento que había ideado para determinar máximos y mínimos y lo utilizó para encontrar tangentes a varias curvas algebraicas de la forma y=x^n. Su relato era breve y no contenía ninguna explicación acerca de la base matemática del nuevo método. Es posible ver en su procedimiento un argumento que involucra a  los infinitesimales, y muchas veces se proclama a Fermat como el descubridor del cálculo diferencial. El estudio histórico moderno, sin embargo, sugiere que él estaba trabajando con conceptos introducidos por Viète y que su método se basaba en ideas algebraicas finitas.

Isaac Barrow, profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge, publicó en 1670 su Geometrical Lectures, un tratado que más que cualquier otro anticipa las ideas unificadoras del cálculo. En él adoptó una forma puramente geométrica de exposición para mostrar cómo la determinación de áreas y tangentes son problemas inversos. Empezó con una curva y consideró la pendiente de su tangente correspondiente a cada valor de la abscisa. A continuación definió una curva auxiliar bajo la condición de que su ordenada sea igual a esta pendiente y mostró que el área bajo la curva auxiliar correspondiente a una abscisa dada es igual al rectángulo cuyos lados son la unidad y la ordenada de la curva original. Cuando se reformula analíticamente, este resultado expresa el carácter inverso de la diferenciación y la integración, el teorema fundamental del cálculo. Aunque la decisión de Barrow de proceder geométricamente le impidió tomar el paso final para un verdadero cálculo, sus lecturas influyeron tanto en Newton como en Leibniz.

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Notables en la fase de cierre de la matemática griega fueron Pappus (principios del siglo IV d.C.), Teón (finales del siglo IV) y su hija Hipatia. Todos estaban activos en Alejandría como profesores de matemática y astronomía, y produjeron extensos comentarios sobre las principales autoridades de la época -Pappus y Teón de Ptolomeo, Hipatia de Diofanto y Apolonio. Más tarde, Eutocio (principios del siglo VI) produjo comentarios sobre Arquímedes y Apolonio. Si bien gran parte de esta producción se ha perdido, otro tanto sobrevive. Ellos demostraron ser razonablemente competentes en materia técnica, pero poco inclinados a dar luz al tema (su objetivo era generalmente llenar pasos menores asumidos en las pruebas, anexar pruebas alternativas, y similares), y su nivel de originalidad fue muy bajo. Pero estos eruditos con frecuencia conservaron fragmentos de obras más antiguas que se han perdido, y su enseñanza y esfuerzo editorial aseguró la supervivencia de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto, Ptolomeo y otros que ahora existen, ya sea en manuscritos griegos o en traducciones medievales (al árabe, hebreo y latín) derivados de ellos.

El legado de la matemática griega, sobre todo en los campos de la geometría y la ciencia geométrica, fue enorme. Desde los primeros tiempos los griegos formularon los objetivos de la matemática no en términos de procedimientos prácticos sino como una disciplina teórica comprometida con el desarrollo de proposiciones generales y demostraciones formales. El alcance y la diversidad de sus hallazgos geométricos, especialmente los de los maestros del siglo III a.C., suministraron material durante siglos a partir de entonces, a pesar de que la cultura que fue transmitida a la Edad Media y al Renacimiento estaba incompleta y defectuosa.

El rápido crecimiento de la matemática en el siglo XVII se basó en parte en la imitación consciente de los clásicos antiguos y en la competencia de ellos. En la mecánica geométrica de Galileo y en las investigaciones infinitesimales de Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri, es posible percibir una inspiración directa en Arquímedes. El estudio de la geometría avanzada de Apolonio y Pappus estimuló nuevos enfoques en la geometría, por ejemplo, los métodos analíticos de René Descartes y la teoría proyectiva de Girard Desargues. Los puristas como Christiaan Huygens e Isaac Newton insistieron en el estilo geométrico griego como un modelo de rigor, al igual que otros buscaban escapar de sus demandas prohibiendo completamente pruebas elaboradas. El impacto total de la obra de Diofanto es evidente sobre todo con Pierre de Fermat en sus investigaciones en álgebra y teoría de números. A pesar de que la matemática ha ido hoy mucho más allá de los logros antiguos, las obras de las principales figuras de la antigüedad, como Arquímedes, Apolonio y Ptolomeo, todavía pueden ser una gratificante lectura para ilustrarnos de su ingenio y sus puntos de vista.

Antes de abandonar la matemática griega, es interesante resumir un poco los hechos acaecidos.

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