El comentario del siglo III de Liu Hui sobre Los Nueve Capítulos es el texto más importante que data de antes del siglo XIII que contiene pruebas en el sentido moderno. Su comentario sobre los algoritmos para calcular los volúmenes de cuerpos ejemplifica el tipo de trabajo matemático que llevó a cabo a lo largo del libro por el bien de la exégesis. Liu demostró los algoritmos ya presentados en Los Nueve Capítulos, y también proporcionó y probó nuevos algoritmos para los mismos volúmenes tridimensionales. Además, organizó estos algoritmos, dados uno tras otro sin comentario en Los Nueve Capítulos, en un sistema en el que las pruebas de un algoritmo utilizan sólo algoritmos que ya se habían establecido de forma independiente. Utilizó un pequeño conjunto de técnicas de demostración, incluyendo la disección (incluso para un número infinito de piezas), la descomposición en piezas conocidas y la recomposición, y una versión simplificada de lo que se conoció más tarde en Occidente como el principio de Cavalieri, que establece que si dos sólidos de la misma altura son tales que sus correspondientes secciones en cualquier nivel tienen la misma área, entonces ellos tienen el mismo volumen. Liu dedujo el volumen de un sólido cuyas secciones transversales son círculos circunscribiendo cada sección con un cuadrado (una versión más fina del principio de Cavalieri fue utilizada por Zu Gengzhi en el siglo V para establecer la corrección del algoritmo de cálculo del volumen de una esfera.)
La gran importancia del comentario de Liu Hui sobre Los Nueve Capítulos reside en el hecho de que demostró la exactitud de algoritmos no sólo en geometría sino también en aritmética y álgebra. En el curso de probar los algoritmos dados en varias secciones del trabajo, él los comparó con otros y demostró cómo las mismas operaciones formales, que él llamó los «pasos claves» del cálculo, se ponen en juego en diversos algoritmos. Por ejemplo, al comparar los procedimientos de adición de fracciones y de resolución de ecuaciones lineales simultáneas -una comparación que se lleva a cabo al establecer su corrección- Liu mostró que los conjuntos de números que están involucrados (numerador y denominador para una fracción, coeficientes de una ecuación para sistemas de ecuaciones) comparten la propiedad de que todos los números de un conjunto pueden multiplicarse por el mismo número sin alterar el significado matemático de ese conjunto. Ambos algoritmos, demuestra Liu, proceden de multiplicar los conjuntos de números que entran en un problema, cada uno por un factor apropiado, de tal manera que algunos números correspondientes de los conjuntos se hacen iguales y otros números se multiplican para mantener intacto el significado de los conjuntos en su totalidad. En el caso de las fracciones, los denominadores se hacen iguales, y los numeradores se cambian apropiadamente. Para las ecuaciones lineales, el procedimiento es el mismo cuando dos números en la misma fila pero en diferentes columnas se tornan iguales mediante una multiplicación apropiada, de modo que uno de ellos pueda eliminarse mediante una resta de columna a columna. Las columnas completas se multiplican por el mismo número para que las ecuaciones sigan siendo válidas. Liu procedió a partir de estas analogías para establecer nuevos algoritmos para los mismos problemas.
Los Nueve Capítulos ofrecen fórmulas para figuras elementales planas y sólidas, incluyendo las áreas de triángulos, rectángulos, trapecios, círculos y segmentos de círculos, y volúmenes de prismas, cilindros, pirámides y esferas. Todas estas fórmulas se expresan como listas de operaciones a realizar en los datos para obtener el resultado, es decir, como algoritmos. Por ejemplo, para calcular el área de un círculo, se da el siguiente algoritmo: «multiplique el diámetro por sí mismo, triplique esto, divida por cuatro». Este algoritmo equivale a usar como el valor de . Los comentaristas agregaron valores mejorados para junto con algunas derivaciones. El comentario atribuido a Liu Hui calcula otras dos aproximaciones para , una ligeramente baja (157/50) y otra alta (3,927/1,250). Los Nueve Capítulos también proporcionan la fórmula correcta para el área del círculo: «multiplicando la mitad del diámetro y la mitad de la circunferencia, se obtiene el área», que Liu Hui demostró.
Diagrama de la desigualdad de Liu Hui para el número pi.
Una importante actividad de los geómetras en el siglo III a.C. fue el desarrollo de enfoques geométricos en el estudio de las ciencias físicas -específicamente en óptica, mecánica y astronomía. En cada caso el objetivo era formular los conceptos y principios básicos en términos de cantidades geométricas y numéricas y luego derivar los fenómenos fundamentales del tema por construcciones geométricas y demostraciones.
En óptica, el libro de texto de Euclides (llamado Óptica) estableció el precedente. Euclides postuló rayos visuales como líneas rectas, y definió el tamaño aparente de un objeto en términos del ángulo formado por los rayos procedentes de la parte superior y la parte inferior del objeto al ojo del observador. A continuación demostró, por ejemplo, que los objetos más cercanos se ven más grandes y parecen moverse más rápido, y mostró cómo medir la altura de objetos distantes a partir de sus sombras o imágenes reflejadas y así sucesivamente. Otros libros de texto exponen teoremas sobre los fenómenos de reflexión y refracción (el campo llamado catóptrica). El más amplio estudio de los fenómenos ópticos es un tratado atribuido al astrónomo Ptolomeo (siglo II d.C.), que sobrevive sólo en la forma de una traducción latina incompleta (siglo XII), basado en una traducción árabe perdida. Cubre los campos de la óptica geométrica y catóptrica, así como áreas experimentales, como la visión binocular y principios filosóficos más generales (la naturaleza de la luz, la visión y el color). De un tipo algo diferente son los estudios de espejos incendiarios de Diocles (finales del siglo II a.C.), quien demostró que la superficie que refleja los rayos del sol a un único punto es un paraboloide de revolución. Las construcciones de este tipo de dispositivos mantuvieron su interés hasta finales del siglo VI d.C., cuando Antemio de Tralles, mejor conocido por su trabajo como arquitecto de Santa Sofía en Constantinopla, compiló las notables configuraciones de espejos.
La mecánica estaba dominada por la obra de Arquímedes, que fue el primero en demostrar el principio de equilibrio: que dos pesos están en equilibrio cuando son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo. De este principio desarrolló una teoría de los centros de gravedad de figuras planas y sólidas. También fue el primero en expresar y probar el principio de flotabilidad, que los cuerpos flotantes desplazan su igual en peso, y utilizarlo para probar las condiciones de estabilidad de los segmentos de esferas y paraboloides, sólidos formados mediante la rotación de un segmento parabólico alrededor de su eje. Arquímedes demostró las condiciones en que estos sólidos vuelven a su posición inicial si se inclinan, en particular para posiciones que ahora se llaman «estable I» y «estable II».
En su obra Métodos relativos a teoremas mecánicos Arquímedes también estableció un «método mecánico» especial que utilizó para el descubrimiento de resultados sobre volúmenes y centros de gravedad. Empleó la oscura noción de sólidos constituidos a partir de figuras planas formadas como sus secciones (por ejemplo, círculos que son secciones planas de esferas, conos, cilindros y otros sólidos de revolución), asignando a esas figuras un peso proporcional a su área. Por ejemplo, para medir el volumen de una esfera, imaginó una barra de equilibrio, uno de cuyos brazos es un diámetro de la esfera con el punto de apoyo en un punto final de este diámetro y el otro brazo una extensión del diámetro hasta el otro lado del punto de apoyo a una longitud igual al diámetro. Arquímedes demostró que las tres secciones transversales circulares hechas por un plano de corte de la esfera y el cono y el cilindro asociados estarán en equilibrio (el círculo en el cilindro con los círculos en la esfera y el cono) si el círculo en el cilindro se mantiene en su lugar original, mientras que los círculos en la esfera y el cono se colocan con sus centros de gravedad en el extremo opuesto de la balanza. Haciendo esto para todos los conjuntos de círculos formados como secciones transversales de estos sólidos por planos, llegó a la conclusión de que los propios sólidos están en equilibrio -el cilindro con la esfera y el cono juntos- si el cilindro se deja donde está, mientras que la esfera y el cono se colocan con sus centros de gravedad en el extremo opuesto de la balanza. Dado que el centro de gravedad del cilindro es el punto medio de su eje, dedujo que (esfera+cono):cilindro=1:2 (por la proporción inversa de los pesos y las distancias). Dado que el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro, encontró sin embargo el volumen de la esfera como una sexta parte del volumen del cilindro. En forma similar, Arquímedes trabajó los volúmenes y los centros de gravedad de segmentos esféricos y segmentos de sólidos de revolución de secciones cónicas -paraboloides, elipsoides e hiperboloides. Las nociones críticas, que constituyen sólidos fuera de sus secciones planas y la asignación de pesos a figuras geométricas, no eran formalmente válidas dentro de las concepciones convencionales de la geometría griega, y Arquímedes admitió esto. Sin embargo, sostuvo que aunque sus argumentos no eran «demostraciones» (es decir, pruebas), tenían valor para el descubrimiento de resultados sobre estas figuras. (Más aquí)
El estudio de la astronomía geométrica tiene raíces pre-euclidianas, habiendo desarrollado Eudoxo un modelo para el movimiento de los planetas alrededor de una Tierra estacionaria. Al aceptar el principio -que, según Eudemo, fue propuesto por primera vez por Platón- que indica que sólo se van a utilizar combinaciones de movimientos circulares uniformes, Eudoxo representó la trayectoria de un planeta como el resultado de la superposición de rotaciones de tres o más esferas concéntricas cuyos ejes son ubicados en diferentes ángulos. Aunque el ajuste con los fenómenos fue insatisfactorio, las curvas así generadas (la hipopede) seguían siendo de interés por sus propiedades geométricas, como se conoce a través de observaciones de Proclo. Geómetras posteriores continuaron la búsqueda de patrones geométricos que cumplan las condiciones platónicas. El modelo más simple, un esquema de órbitas circulares centradas en el Sol, fue introducido por Aristarco de Samos (siglo III a.C.), pero esto fue rechazado por otros, ya que una Tierra en movimiento se consideraba imposible por razones físicas.
Pero el esquema de Aristarco pudo haber sugerido el uso de un modelo «excéntrico», en el que los planetas giran alrededor del Sol y el Sol a su vez gira alrededor de la Tierra. Apolonio introdujo un modelo alternativo «epicicloidal», en el que el planeta gira alrededor de un punto que él mismo orbita en un círculo (la «deferente») con centro en o cerca de la Tierra. Como sabía Apolonio, su modelo epicicloidal es geométricamente equivalente a uno excéntrico.
Estos modelos se adaptaban bien para explicar otros fenómenos del movimiento planetario. Por ejemplo, si la Tierra se desplaza desde el centro de una órbita circular (como en el esquema excéntrico), el cuerpo en órbita aparecerá variando la velocidad (apareciendo más rápido cuanto más cerca del observador, más lento cuanto más lejos), como es de hecho observado para el Sol, la Luna y los planetas. Mediante la variación de los tamaños relativos y las tasas de rotación del epiciclo y deferente, en combinación con la excéntrica, puede obtenerse un dispositivo flexible para la representación del movimiento planetario.
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