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Posts Tagged ‘Cálculo’

Aunque la matemática floreció después de finalizar el período clásico griego durante 800 años en Alejandría y, después de un interludio en la India y el mundo islámico, de nuevo en la Europa renacentista, las cuestiones filosóficas acerca de los fundamentos de la matemática no se plantearon hasta la invención del cálculo y no por matemáticos sino por el filósofo George Berkeley (1685-1753).

George Berkeley

Sir Isaac Newton en Inglaterra y Gottfried Wilhelm Leibniz en Alemania habían desarrollado independientemente el cálculo sobre la base de reglas heurísticas y métodos marcadamente deficientes en cuanto a justificación lógica. Como es el caso en muchos nuevos desarrollos, la utilidad sobrepasaba el rigor y, aunque las fluxiones (o derivadas) de Newton y los infinitesimales (o diferenciales) de Leibniz carecían de una explicación racional coherente, su poder para responder a preguntas hasta ahora incontrovertibles era innegable. A diferencia de Newton, que hizo poco esfuerzo por explicar y justificar las fluxiones, Leibniz, como un filósofo eminente y muy considerado, influyó en la propagación de la idea de los infinitesimales, que describió como números reales infinitamente pequeños, es decir, menores a 1/n en valor absoluto para cada entero positivo n y sin embargo no iguales a cero. Berkeley, preocupado por las implicaciones deterministas y ateas del mecanismo filosófico, se propuso revelar ciertas contradicciones en el cálculo en su influyente libro The Analyst; or, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. Allí escribió mordazmente sobre estas fluxiones e infinitesimales: «No son ni cantidades finitas, ni cantidades infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No los llamamos los fantasmas de las cantidades que se han ido?» Y preguntó: «Los matemáticos, que son tan delicados en los puntos religiosos, ¿son estrictamente escrupulosos en su propia ciencia? Si no se someten a la autoridad, toman las cosas por confianza, y creen en puntos inconcebibles? «

La crítica de Berkeley no se tuvo completamente en cuenta hasta el siglo XIX, cuando se comprendió que, en la expresión dy/dx, dx y dy no necesitaban llevar una existencia independiente. Más bien, esta expresión podía definirse como el límite de las razones ordinarias \Delta y/\Delta x cuando \Delta x se aproxima a cero sin nunca ser cero. Por otra parte, la noción de límite se explicó entonces con bastante rigor, en respuesta a pensadores como Zenón y Berkeley.

No fue hasta mediados del siglo XX que el lógico Abraham Robinson (1918-1974) demostró que la noción de infinitesimal era en realidad lógicamente consistente y que, por lo tanto, los infinitesimales podían ser introducidos como nuevos tipos de números. Esto condujo a una forma novedosa de presentar el cálculo, llamado análisis no estándar que, sin embargo, no ha llegado a ser tan extenso e influyente como podría serlo.

Abraham Robinson

El argumento de Robinson era éste: si las suposiciones detrás de la existencia de un infinitesimal \xi condujeron a una contradicción, entonces esta contradicción debería ser obtenible de un conjunto finito de estas suposiciones, digamos de:

0<\xi, \xi<1, \xi<\frac{1}{2}, \ldots, \xi<\frac{1}{n}.

Pero este conjunto finito es consistente, como se ve tomando \xi=1/(n+1).

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Las ideas educativas de Gaspard Monge se oponían a las de Joseph-Louis Lagrange, quien estaba a favor de una visión más tradicional y teórica del cálculo avanzado y de la mecánica racional (la aplicación del cálculo al estudio del movimiento de sólidos y líquidos). Eventualmente ganó Lagrange, y la visión de la matemática que se presentó al mundo fue la de un tema autónomo, que también era aplicable a una amplia gama de fenómenos en virtud de su gran generalidad, una visión que ha persistido hasta nuestros días.

Durante la década de 1820 Augustin-Louis, Barón de Cauchy, dictó en la École Polytechnique los fundamentos del cálculo. Desde su invención había sido generalmente aceptado que el cálculo daba respuestas correctas, pero nadie había sido capaz de dar una explicación satisfactoria de por qué esto era así. Cauchy rechazó el enfoque algebraico de Lagrange y demostró que el supuesto básico de Lagrange acerca de que cada función tiene un desarrollo en serie de potencias es de hecho falso. Newton había sugerido una base geométrica o dinámica para el cálculo, pero esto corría el riesgo de introducir un círculo vicioso cuando el cálculo se aplicaba a problemas mecánicos o geométricos. Cauchy propone basar el cálculo en una interpretación sofisticada y difícil de la idea de dos puntos o números arbitrariamente próximos entre sí. A pesar de que a los alumnos de Cauchy no les gustaba el nuevo enfoque, y de que Cauchy recibió la orden de enseñar a los estudiantes material que en realidad pudieran entender y utilizar, sus métodos poco a poco se establecieron y refinaron para formar el núcleo del cálculo riguroso moderno, un tema que ahora se llama análisis matemático.

Tradicionalmente, el cálculo se había ocupado de los dos procesos de diferenciación e integración y de la relación recíproca que existe entre ellos. Cauchy proporcionó un nuevo fundamento haciendo hincapié en la importancia del concepto de continuidad. Demostró que, una vez que se definen los conceptos de función continua y límite, los conceptos de función diferenciable y  función integrable pueden ser definidos en términos de ellos. Por desgracia, ninguno de estos conceptos es fácil de entender, y el alto grado de precisión necesario que aporta a la matemática demostró ser difícil de apreciar. En términos generales, una función es continua en un punto de su dominio si pequeños cambios en la entrada alrededor del valor especificado producen sólo pequeños cambios en la salida.

Así, el familiar gráfico de una parábola y=x^2 es continuo alrededor del punto x=0; cuando x varía en pequeñas cantidades, también necesariamente lo hace y. Por otro lado, el gráfico de la función que toma el valor 0 cuando x es negativo o cero, y el valor 1 cuando x es positivo claramente tiene una gráfica discontinua en el punto x=0, y es de hecho discontinua de acuerdo a la definición. Si x varía de 0 por cualquier cantidad positiva pequeña, el valor de la función salta por la cantidad fija 1, que no es una cantidad arbitrariamente pequeña.

Cauchy decía que una función f(x) tiende a un valor límite 1 cuando x tiende al valor a cada vez que el valor de la diferencia f(x)-f(a) se hace arbitrariamente pequeña cuando la diferencia x-a misma se hace arbitrariamente pequeña. A continuación demostró que, si f(x) es continua en a, el valor límite de la función cuando x tendía a a era de hecho f(a). La característica fundamental de esta definición es que define lo que significa para una cantidad variable tender a algo sin hacer referencia alguna a las ideas del movimiento.

Cauchy dijo entonces que una función f(x) es diferenciable en el punto a si, cuando $latex x$ tiende a a (pero nunca lo alcanza), el valor del cociente [f(x)-f(a)]/(x-a) tiende a un valor límite, llamado la derivada de la función f(x) en a. Para definir la integral de una función f(x) entre los valores a y b, Cauchy volvió a la idea primitiva de la integral como la medida del área bajo la gráfica de la función. Él aproximó esta área con rectángulos y dijo que, si la suma de las áreas de los rectángulos tiende a un límite en cuanto su número aumenta indefinidamente y si este valor límite es el mismo sin importar cómo se obtienen los rectángulos, entonces la función es integrable. Su integral es el valor límite común. Después de haber definido la integral independientemente del cálculo diferencial, Cauchy tenía que demostrar que los procesos de integración y diferenciación son mutuamente inversos. Esto lo hizo, dando por primera vez una base rigurosa para todo el cálculo elemental de su época.

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El enfoque analítico de Euler del cálculo recibió el apoyo de su contemporáneo más joven Joseph-Louis Lagrange quien, tras la muerte de Euler en 1783, lo reemplazó como el líder de la matemática europea. En 1755 el joven Lagrange  con 19 años de edad le escribió a Euler para anunciarle el descubrimiento de un nuevo algoritmo en el cálculo de variaciones, un tema al que Euler había dedicado un importante tratado 11 años atrás. Euler había utilizado ideas geométricas y había hecho hincapié en la necesidad de métodos analíticos. La idea de Lagrange era introducir el nuevo símbolo \delta al cálculo y experimentar formalmente hasta idear un algoritmo para obtener las ecuaciones variacionales. Matemáticamente muy distinto del procedimiento de Euler, su método no  requería ninguna referencia a la configuración geométrica. Euler adoptó de inmediato la idea de Lagrange, y en los próximos años los dos hombres revisaron sistemáticamente el tema usando las nuevas técnicas.

En 1766 Lagrange fue invitado por el rey de Prusia, Federico el Grande, para convertirse en el director en matemática de la Academia de Berlín. Durante las próximas dos décadas escribió importantes memorias en casi todas las principales áreas de la matemática. En 1788 publicó su famoso Mécanique analytique, un tratado que utilizaba las ideas variacionales para presentar la mecánica desde un punto de vista analítico unificado. En el prefacio Lagrange escribió:

No se encontrará ninguna figura en este trabajo. Los métodos que presento no requieren ni construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos, sino sólo operaciones algebraicas sujetas a un curso regular y uniforme. Los admiradores del análisis, verán  con placer que la mecánica se convierte en una nueva rama de él, y estarán agradecidos conmigo por haber extendido su dominio.

Después de la muerte de Federico el Grande, Lagrange viajó a París para convertirse en un pensionnaire de la Academia de Ciencias. Con el establecimiento de la École Polytechnique en 1794, se le pidió conferencias sobre matemática. Había preocupación en la matemática europea al momento de ubicar al cálculo sobre una base sólida, y Lagrange aprovechó la ocasión para desarrollar sus ideas para una base algebraica del tema. Las conferencias fueron publicadas en 1797 bajo el título Théorie des fonctions analytiques («Teoría de las funciones analíticas»), un tratado cuyo contenido contiene los Principios del Cálculo Diferencial desacoplados de toda consideración de infinitesimales, límites que se anulan o fluxiones y lo reduce al análisis algebraico de cantidades finitas. Lagrange publicó un segundo tratado sobre el tema en 1801, una obra que apareció en una forma revisada y ampliada en 1806.

La gama de temas presentados y la consistencia de estilo  distinguía los escritos didácticos de Lagrange de otras exposiciones contemporáneas del cálculo. Comenzó con la noción de Euler de una función como una expresión analítica compuesta de variables y constantes. Definió la «función derivada,» o derivada f '(x) de f(x), como el coeficiente de i en el desarrollo de Taylor de f(x+i). Asumiendo la posibilidad general de tales desarrollos, intentó una teoría más completa del cálculo diferencial e integral, incluyendo aplicaciones extensivas a la geometría y la mecánica. Las conferencias de Lagrange representan el desarrollo más avanzado del siglo XVIII de la concepción analítica del cálculo.

Comenzando con el Barón de Cauchy en la década de 1820, los matemáticos posteriores utilizaron el concepto de límite para establecer el cálculo sobre una base aritmética. El punto de vista algebraico de Euler y LaGrange fue rechazado. Para llegar a una apreciación histórica adecuada de su trabajo, es necesario reflexionar sobre el significado del análisis en el siglo XVIII. Desde Viète, el análisis se había referido en general a métodos matemáticos que empleaban ecuaciones, variables y constantes. Con el amplio desarrollo del cálculo de Leibniz y su escuela, el análisis se identificó con todos los temas relacionados con el cálculo. Además de esta asociación histórica, había un sentido más profundo en el que los métodos analíticos eran fundamentales para la nueva matemática. Una ecuación analítica implicaba la existencia de una relación que sigue siendo válida cuando las variables cambian continuamente en magnitud. Los algoritmos del análisis y las transformaciones presuponían una correspondencia entre el cambio local y global, la preocupación fundamental del cálculo. Es este aspecto del análisis lo que fascinó a Euler y Lagrange y les provocó ver en él la «metafísica verdadera» del cálculo.

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